冀教版第九章 三角形综合与测试随堂练习题

冀教版七年级数学下册第九章 三角形定向训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是（       ）

A．45° B．60° C．75° D．85°

2、如图，将一副三角板平放在一平面上（点D在上），则的度数为（       ）

A． B． C． D．

3、如图，图形中的的值是（       ）

A．50 B．60 C．70 D．80

4、如图，已知，，，则的度数为（       ）

A．155° B．125° C．135° D．145°

5、已知三角形的两边长分别是3cm和7cm，则下列长度的线段中能作为第三边的是（　　）

A．3cm B．4cm C．7cm D．10cm

6、下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ）

A．3，4，7 B．3，4，8 C．3，4，5 D．3，3，7

7、如图，直线l1、l2分别与△ABC的两边AB、BC相交，且l1∥l2，若∠B＝35°，∠1＝105°，则∠2的度数为（　　）

A．45° B．50° C．40° D．60°

8、下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ）

A．2，3，6 B．2，4，7 C．3，3，5 D．3，3，7

9、如图，四边形ABCD是梯形，，与的角平分线交于点E，与的角平分线交于点F，则与的大小关系为（     ）

A． B． C． D．无法确定

10、小明把一副含有45°，30°角的直角三角板如图摆放其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠a+∠β等于（       ）

A．180° B．210° C．360° D．270°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，三角形ABC的面积为1，，E为AC的中点，AD与BE相交于P，那么四边形PDCE的面积为______．

2、在中，若，则_______．

3、如图，一副三角板按如图放置，则∠DOC的度数为______．

4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，交BC于点D，CD=5cm，AC=12cm，则△ABD的面积是__________cm2．

5、两根长度分别为3，5的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是________．（写一个值即可）

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P

(1)当∠A=60°时，求∠BPC的的度数；（提示：三角形内角和180°）；

(2)当∠A=α°时，直接写出∠A与∠BPC的数量关系．

2、平面上有三个点A，B，O．点A在点O的北偏东方向上，，点B在点O的南偏东30°方向上，，连接AB，点C为线段AB的中点，连接OC．

（1）依题意补全图形（借助量角器、刻度尺画图）；

（2）写出的依据：

（3）比较线段OC与AC的长短并说明理由：

（4）直接写出∠AOB的度数．

3、如图，点E为直线AB上一点，∠CAE＝2∠B，BC平分∠ACD，求证：AB∥CD．

4、如图：已知AB∥CD，BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，求∠BOC的度数．

∵AB∥CD（已知），

∴∠ABC+　     　＝180°（　     　）．

∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，（已知），

∴∠DBC＝∠ABC，∠ACB＝∠BCD（角平分线的意义）．

∴∠DBC+∠ACB＝（　     　）（等式性质），

即∠DBC+∠ACB＝　     　°．

∵∠DBC+∠ACB+∠BOC＝180°（　     　），

∴∠BOC＝　     　°（等式性质）．

5、上小学时，我们已学过三角形三个内角的和为180°．定义：如果一个三角形的两个内角与满足．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若是“准互余三角形”，，，则______；

（2）若是直角三角形，．

①如图，若AD是的平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由．

②点E是边BC上一点，是“准互余三角形”，若，则______．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．

【详解】

解：如图:

∵∠ACD=90°、∠F=45°，

∴∠CGF=∠DGB=45°，

∴∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°．

故选C．

【点睛】

本题主要考查三角形的外角的性质，掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质是解答本题的关键．

2、B

【解析】

【分析】

根据三角尺可得，根据三角形的外角性质即可求得

【详解】

解：

故选B

【点睛】

本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的外角性质是解题的关键．

3、B

【解析】

【分析】

根据三角形外角的性质：三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数和进行求解即可．

【详解】

解：由题意得：

∴，

∴，

故选B．

【点睛】

本题主要考查了三角形外角的性质，解一元一次方程，熟知三角形外角的性质是解题的关键．

4、B

【解析】

【分析】

根据三角形外角的性质得出，再求即可．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

故选：B．

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质，解题关键是准确识图，理清角之间的关系．

5、C

【解析】

【分析】

设三角形第三边的长为x cm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．

【详解】

解：设三角形的第三边是xcm．则

7-3＜x＜7+3．

即4＜x＜10，

四个选项中，只有选项C符合题意，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了三角形三边关系的应用．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．

6、C

【解析】

【分析】

根据组成三角形的三边关系依次判断即可．

【详解】

A、 3，4，7中3+4=7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．

B、 3，4，8中3+4＜8，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．

C、 3，4，5中任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边，故能组成三角形，符合题意，选项正确．

D、 3，3，7中3+3＜7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

7、C

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理球场∠3的度数，利用平行线的性质求出答案．

【详解】

解：∵∠B＝35°，∠1＝105°，

∴∠3=180-∠1-∠B=，

∵l1∥l2，

∴∠2=∠3=，

故选：C．

．

【点睛】

此题考查三角形内角和定理，两直线平行内错角相等的性质，熟记三角形内角和等于180度及平行线的性质并熟练解决问题是解题的关键．

8、C

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解．

【详解】

解：A、因为 ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；

B、因为 ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；

C、因为 ，所以能组成三角形，故本选项符合题意；

D、因为 ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．

9、B

【解析】

【分析】

由AD∥BC可得∠BAD+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，由角平分线的性质可得∠AEB=90°，∠DFC=90°，由三角形内角和定理可得到∠1=∠2=90°．

【详解】

解：∵AD∥BC，

∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，

∵∠DAB与∠ABC的角平分线交于点E，∠CDA与∠BCD的角平分线交于点F，

∴∠BAE=∠BAD，∠ABE=∠ABC，∠CDF=∠ADC，∠DCF=∠BCD，

∴∠BAE+∠ABE=(∠BAD+∠ABC)=90°，

∠CDF+∠DCF=(∠ADC+∠BCD) =90°，

∴∠1=180°-(∠BAE+∠ABE)= 90°，∠2=∠CDF+∠DCF= 90°，

∴∠1=∠2=90°，

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

10、B

【解析】

【分析】

已知，得到，根据外角性质，得到，，再将两式相加，等量代换，即可得解；

【详解】

解：如图所示，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴；

故选D．

【点睛】

本题主要考查了三角形外角定理的应用，准确分析计算是解题的关键．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

连接CP．设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．根据BD：DC=2：1，E为AC的中点，得△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，进而得到△ABP的面积是4x．再根据△ABE的面积是△BCE的面积相等，得4x+x=2y+x+y，解得，再根据△ABC的面积是1即可求得x、y的值，从而求解．

【详解】

解：连接CP， 设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．

∵BD：DC=2：1，E为AC的中点，

∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，

∵BD：DC=2：1，CE：AC=1：2，

∴△ABP的面积是4x．

∴4x+x=2y+x+y，

解得．

又∵4x+x=，

解得：x=，则

则四边形PDCE的面积为x+y=．

故答案为：．

【点睛】

本题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比；等底的两个三角形的面积比等于它们的高的比．

2、65°##65度

【解析】

【分析】

由三角形的内角和定理，得到，即可得到答案；

【详解】

解：在中，，

∵，

∴，

∴；

故答案为：65°．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和等于360°．

3、

【解析】

【分析】

根据题意得：∠ACB=30°，∠ACD=45°，∠D=90°，从而得到∠OCD=15°，再由再由直角三角形两锐角互余，即可求解．

【详解】

解：根据题意得：∠ACB=30°，∠ACD=45°，∠D=90°，

∴∠OCD=∠ACD-∠ACB=15°，

∴∠DOC=90°-∠OCD=75°．

故答案为：75°

【点睛】

本题主要考查了直角三角形的性质，根据题意得到∠ACB=30°，∠ACD=45°，∠D=90°是解题的关键．

4、30

【解析】

【分析】

根据三角形的面积公式求出△ACD的面积，利用三角形中线的性质即可求解．

【详解】

解：∵∠C=90°，CD=5cm，AC=12cm，

∴△ACD的面积为(cm2)，

∵AD是BC边上的中线，

∴△ACD的面积=△ABD的面积为(cm2)，

故答案为：30．

【点睛】

本题考查了三角形的面积和三角形中线的性质，关键是根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解答．

5、4（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．

【详解】

解：根据三角形的三边关系，得

第三边应大于两边之差，即；而小于两边之和，即，

即第三边，

故第三根木棒的长度可以是4．

故答案为：4（答案不唯一）．

【点睛】

本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)120°

(2)∠BPC=

【解析】

【分析】

（1）根据BP是∠ABC的平分线，得出∠PBC=．根据CP是∠ACB的平分线，∠PCB=，根据∠A=60°，得出=120°，求∠PBC+∠PCB==60°即可；

（2）根据BP是∠ABC的平分线，得出∠PBC=．根据CP是∠ACB的平分线，得出∠PCB=，根据∠A=α°，得出=180°-α°，可求∠PBC+∠PCB=即可．

(1)

解：如图，∵BP是∠ABC的平分线，

∴∠PBC=．(角平分线定义)

∵CP是∠ACB的平分线，

∴∠PCB=，

∴∠PBC+∠PCB= ，

∵∠A=60°，

∴=120°，

∴∠PBC+∠PCB==60°，

∴∠BPC=180°－∠PBC－∠PCB=180°－（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°．

(2)

如图，∵BP是∠ABC的平分线，

∴∠PBC=．(角平分线定义)

∵CP是∠ACB的平分线，

∴∠PCB=，

∴∠PBC+∠PCB=，

∵∠A=α°，

∴=180°-α°，

∴∠PBC+∠PCB=，

∴∠BPC=180°－∠PBC－∠PCB=180°－（∠PBC+∠PCB）=180°-90°=90°．

∴∠BPC=．

【点睛】

本题考查角平分线定义，三角形内角和，掌握角平分线定义，三角形内角和是解题关键．

2、（1）见解析；（2）三角形的两边之和大于第三边；（3） ，理由见解析；（4）70°

【解析】

【分析】

（1）根据题意画出图形，即可求解；

（2）根据三角形的两边之和大于第三边，即可求解；

（3）利用刻度尺测量得： ，即可求解；

（4）用180°减去80°，再减去30°，即可求解．

【详解】

解：（1）根据题意画出图形，如图所示：

（2）在△AOB中，因为三角形的两边之和大于第三边，

所以；

（3） ，理由如下：利用刻度尺测量得： ，

AC=2cm，

∴；

（4）根据题意得： ．

【点睛】

本题主要考查了方位角，三角形的三边关系及其应用，中点的定义，明确题意，准确画出图形是解题的关键．

3、见解析

【解析】

【分析】

根据三角形外角的性质，可得∠B＝∠ACB，再由BC平分∠ACD，可得∠B＝∠DCB，即可求证．

【详解】

证明：∵∠CAE＝∠ACB＋∠B，∠CAE＝2∠B，

∴∠B＝∠ACB，

又∵BC平分∠ACD，

∴∠ACB＝∠DCB，

∴∠B＝∠DCB，

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理，三角形外角的性质定理是解题的关键．

4、∠BCD，两直线平行，同旁内角互补，∠ABC+∠BCD，90，三角形内角和等于180°，90

【解析】

【分析】

根据题意利用AB∥CD得∠ABC+∠BCD=180；等式的性质得∠DBC+∠ACB=（∠ABC+∠ACD），进而由三角形内角和为180°得∠BOC=90°．

【详解】

解：∵AB∥CD（已知），

∴∠ABC+∠BCD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），

∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD（已知），

∴∠DBC＝∠ABC，∠ACB＝∠BCD（角平分线定义），

∴∠DBC+∠ACB＝（∠ABC+∠BCD）（等式性质），

即∠DBC+∠ACB＝90°，

∴∠DBC+∠ACB+∠BOC＝180°（三角形内角和等于180°），

∴∠BOC＝90°（等式性质），

故答案为：∠BCD，两直线平行，同旁内角互补，∠ABC+∠BCD，90，三角形内角和等于180°，90．

【点睛】

本题考查平行线的性质，等式的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等，解题的关键是掌握相关性质的应用．

5、（1）15°；（2）①是，见解析；②24°或33°

【解析】

【分析】

（1）根据是“准互余三角形”，得出，从中求出∠B即可；

（2）①是“准互余三角形”，理由如下：根据AD平分，得出，根据三角形内角和 ，得出即可；

②点E是边BC上一点，是“唯互余三角形”，分两种情况，当2∠BAE+∠ABC=90°时，先求出，可得∠EAC=33°，当∠BAE+2∠ABC=90°时，

可求，根据∠EAC=90°-∠BAE-∠ABC=24°即可．

【详解】

（1）∵是“准互余三角形”，，

∴，

∴，

故答案为：15°

（2）①解：是“准互余三角形”，理由如下：

∵AD平分，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴是“准互余三角形”．

②点E是边BC上一点，是“准互余三角形”，

∴当2∠BAE+∠ABC=90°时，

∴，

∴∠EAC=90°-∠BAE-∠ABC=33°，

∴当∠BAE+2∠ABC=90°时，

∴，

∴∠EAC=90°-∠BAE-∠ABC=90°-42°-24°=24°．

故答案为33°或24°．

【点睛】

本题考查新定义“准互余三角形”，角平分线定义，角的倍分，掌握如果一个三角形的两个内角与满足或．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”是解题关键．