人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第4课时导学案

第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例

1．基线的概念与选择原则

(1)定义

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．

(2)性质

在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．

思考1：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？

[提示]　利用正弦定理和余弦定理．

2．测量中的有关角的概念

(1)仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)

(2)方向角

从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. (如图所示)

思考2：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？

[提示]　东南方向．

1．如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据(　　)

A．α，a，b　　　　　　　 B．α，β，a

C．a，b，γ   D．α，β，b

C　[选择a，b，γ可直接利用余弦定理AB＝求解．]

2．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为(　　)

A．α＋β   B．α－β

C．β－α   D．α

C　[如图所示，设小强观测山顶的仰角为γ，则β－γ＝α，因此γ＝β－α，故选C项．]

3．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为(　　)

A.   B．2

C．2或   D．3

C　[如图，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos 30°，

即x2－3x＋6＝0，解得x＝2或.]

【例1】　海上有A，B两个小岛相距10 海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)

A．10 海里　　　 B. 海里

C．5 海里   D．5 海里

D　[根据题意，可得如图．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里)．]

三角形中与距离有关问题的求解策略：

(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．

(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．

1．为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为        m.

60　[由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽：BD＝120·sin 30°＝60(m)．]

【例2】　济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)

[解]　如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．

依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m，

则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.

在△ABD中，根据正弦定理，＝.

∴BD＝＝≈38.5(m)．

在Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°＝38.5×sin 80°≈38(m)，

即泉城广场上泉标的高约为38 m.

解决测量高度问题的一般步骤：

(1)画图：根据已知条件画出示意图．

(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．

(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用.

2．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值．

[解]　由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，

得＋＝，

解得H＝＝＝124.

因此电视塔的高度H是124 m.

[探究问题]

1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是60°，距离是4 km，从B到C，方位角是120°，距离是8 km，从C到D，方位角是150°，距离是3 km，试画出示意图．

[提示]　如图所示：

2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C点，则此人的速度至少是多少？

[提示]　在探究1图中，在△ABC中，∠ABC＝60°＋(180°－120°)＝120°，由余弦定理得AC＝＝4，则此人的最小速度为v＝＝8 (km/h)．

3．在探究1中若投递员以24 km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16 km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？

[提示]　投递员到达C点的时间为t1＝＝(小时)＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t2＝＝(小时)＝15分钟；由于30>15＋10，所以此人在C点能与投递员相遇．

【例3】　如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值)

[思路探究]　根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将实际问题转化为数学问题，运用正、余弦定理解决．

[解]　设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，

则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，

∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，

由余弦定理得，

(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×，

即128t2－60t－27＝0，

解得t＝或t＝－(舍去)，

∴AC＝21(海里)，BC＝15(海里)．

根据正弦定理，

得sin∠BAC＝＝，

则cos∠BAC＝＝.

又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，∴θ＝45°－∠BAC，

sin θ＝sin(45°－∠BAC)

＝sin 45°cos∠BAC－cos 45°sin ∠BAC＝.

(变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度．

[解]　设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在△ABC中，AC＝28t，BC＝xt，∠CAB＝30°，∠ABC＝135°.

由正弦定理得＝，

即＝.

所以x＝＝＝14(海里每小时)．

故乙船的速度为14海里每小时．

解决实际问题应注意的问题

(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．

(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．

正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．

(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．

(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．

1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)

A．北偏东5°　　　　 B．北偏西10°

C．南偏东5°   D．南偏西10°

B　[由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.]

2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于(　　)

A．50米   B．100米

C．50米   D．100米

A　[因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，

所以△ADC为等腰三角形，

所以AC＝DC＝100米，

在Rt△ABC中，AB＝ACsin 60°＝50米．]

3．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是(　　)

A．8(＋)海里/时

B．8(－)海里/时

C．16(＋)海里/时

D．16(－)海里/时

D　[由题意得在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.

由正弦定理得＝，

即＝，得AB＝8(－)，

因此此船的航速为＝16(－)(海里/小时)．]

4．在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为        m.

200(＋1)　[过点A作AH⊥BC于点H，

由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，

则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200 m.

故两船距离BC＝BH＋CH＝200(＋1) m．]

5．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处之间的距离；

(2)灯塔C与D处之间的距离．

[解]　由题意，画出示意图．

(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12.

由正弦定理得AD＝·sin 45°＝24(海里)．

(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，

∴CD＝8(海里)．

即A处与D处之间的距离为24海里，C，D之间的距离为8海里．