考点23图形的相似（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

考点23图形的相似

考点总结

一、相似图形及比例线段

相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.

相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。

特征：对应角相等，对应边成比例。

比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。

二、相似三角形

相似图形的概念：形状相同的图形叫做相似图形。

相似图形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”，读作“相似于”。

相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比

相似三角形的判定:

判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.

判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　

判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

判定方法（五）：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。

相似三角形的性质：

1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比；

相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

3.相似三角形的面积比等于相似比的平方．

相似三角形与实际应用：

关键：巧妙利用相似三角形性质，构建相似三角形求解。

三、位似

位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

注意：

1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。

2.位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点，位似图形的对应边互相平行或者共线。

位似中心的位置：形内、形外、形上。

画位似图形的步骤：

1.确定位似中心.

2.确定原图形的关键点.

3.确定位似比.

4.根据对应点所在直线经过位似中心且到位似中心的距离之比等于位似比，作出关键点的对应点，再按照原图的顺序连接各点 ( 对应点都在位似中心同侧，或两侧 ) .

在直角坐标系中的位似图形坐标关系：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形的位似图形，使它与原图形的相似比为k，若原图形上点的坐标为(x，y)，则位似图形上与它对应的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).

平移、轴对称、旋转、位似的区别：

1.平移：和原图形一模一样 （和原图形全等且能与原图形重合）
2.轴对称：面积和原图形一样 也是全等，和平移的不同点就是轴对称之后的图形不能与原图形重合，虽然它们全等）
3.旋转：面积和原图形一样，也是全等，和轴对称的不同点是轴对称只有一个和原图形轴对称的图形，而旋转可以旋转出无数个。
4.位似：位似出的图形只和原图形的角相等 边就不一定相等了。

真题演练

一、单选题

1．如图，等边三角形ABC中，AB=3，点D在边AB上，且AD=1，点E是边B上的一动点，作射线ED．射线ED绕点E顺时针旋转60°得到射线EF，交AC于点F，则点E从B→C的运动过程中，CF的最大值是（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】

根据等边三角形的性质及角的等量代换可得，依据相似三角形的判定和性质可得~，，设，，将各边长代入相似比中可得二次函数，利用二次函数的性质，求其最值即可．

【详解】

解：∵为等边三角形，

∴，

在中，

，

由题意旋转，

∴，

∴，

∴，

在与中，

，

，

∴~，

设，，，

∴，

∴，

∴，

当时，

，

∴当，为最大值，

故选：C．

2．在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为的竹竿的影长为，某一高楼的影长为，那么这幢高楼的高度是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

设此高楼的高度为x米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关于x的比例式，求出x的值即可．

【详解】

解：设这幢高楼的高度为米，依题意得：，

解得：．

故这栋高楼的高度为36米．

故选：．

3．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（    ）mm

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意，得、，结合相似三角形的性质，通过相似比计算，即可得到答案．

【详解】

根据题意，得，且

∴

∴

∴

故选：C．

4．如图所示的4个三角形中，相似三角形有（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

【答案】A

【分析】

根据相似三角形的判定方法判断即可．

【详解】

解：如图：

AC2=12+22=5，BC2=42+22=20，AB2=25，

∵5+20=25，∴AC2+ BC2= AB2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，；

△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°，；

∴△ABC△DEF；

△JKL是直角三角形，且∠JKL=90°，；

HI2=12+12=2，HG2=12+22=5，GI2=12+22=5，

∵5+25，∴HG2+ HI2= GI2，

∴△HGI不是直角三角形，

综上，只有△ABC△DEF；

故选：A．

5．若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（    ）

A．1：16 B．16：1 C．1：4 D．1：2

【答案】A

【分析】

根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答．

【详解】

两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16，

故正确的答案为：A

6．如图，在中，∥，若，，则等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

首先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．

【详解】

解：∵DE∥BC，AD＝2，AB＝3，

∴．

故选：D．

7．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（　　）

A．（6，4） B．（6，2） C．（4，4） D．（8，4）

【答案】A

【分析】

直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．

【详解】

∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，

∴，

∵BG＝12，

∴AD＝BC＝4，

∵AD∥BG，

∴△OAD∽△OBG，

∴

∴

解得：OA＝2，

∴OB＝6，

∴C点坐标为：（6，4），

故选A．

8．正方形的边上有一动点，以为边作矩形，且边过点．设AE=x，矩形的面积为y，则y与x之间的关系描述正确的是（    ）

A．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y先增大再减小

B．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y先减小再增大

C．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y一直保持不变

D．y与x之间不是函数关系

【答案】C

【分析】

设正方形的边长为，先根据正方形的性质得出，，再根据矩形的性质得出，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．

【详解】

设正方形的边长为

四边形ABCD是正方形，

，

四边形是矩形

又

，即

则矩形的面积

因此，y与x之间是函数关系，且当x增大时，y一直保持不变

故选：C．

9．如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点，重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】

设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a，根据折叠的性质可得∠EHG=∠A=90°，EH=AE，可得EH=a-y，DH=a-x，根据直角三角形两锐角互余的关系可得∠DEH=∠CHG，可证明△DEH∽△CHG，根据相似三角形的性质可用a、x、y表示出CG、HG的长，在Rt△DEH中利用勾股定理可得x2=2a(x-y)，表示出△CHG的周长，进而可得答案．

【详解】

设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a，

∵将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合，

∴∠EHG=∠A=90°，EH=AE，

∴DH=a-x，EH=a-y，

∵∠CHG+∠DHE=90°，∠DEH+∠DHE=90°，

∴∠CHG=∠DEH，

∵∠D=∠C=90°，

∴△DEH∽△CHG，

∴，即：，

∴CG=，HG=，

在Rt△DEH中，EH2=DE2+DH2，即(a-y)2=y2+(a-x)2，

∴x2=2a(x-y)，

∴n=CH+HG+CG=x++==2a，

∴==2，

故选：D．

10．把三边的长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值（ ）

A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的倍 D．不变

【答案】D

【分析】

根据相似三角形的性质解答．

【详解】

三边的长度都扩大为原来的3倍，
则所得的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的余弦值不变，
故选：D．

二、填空题

11．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D均落在格点上．

（1）____；

（2）点P为BD的中点，过点P作直线l∥BC，分别过点B作BM⊥l于点M，过点C作CN⊥l于点N，则CN=____．

【答案】5：1       

【分析】

（1）由题意得：AC=1，AD=6，CD=5，由三角形面积公式得出S△ABD：S△BAC=6：1，得出S△BDC：S△BAC=5：1即可；

（2）证出CE=DE=CD=，由勾股定理求出BC=，证明△CNE∽△BAC，得出，求出CN即可．

【详解】

解：（1）由题意得：AC=1，AD=6，CD=5，
∴S△ABD：S△BAC=6：1，
∴S△BDC：S△BAC=5：1；
故答案为：5：1；
（2）如图所示：
∵点P为BD的中点，直线l∥BC，
∴PE是△BCD的中位线，CE=DE=CD=，

∵四边形BCNM是矩形，
∴∠BCN=∠CNE=90°，
∴∠ACB+∠ECN=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，BC=，

∴∠ECN=∠ABC，
∴△CNE∽△BAC，

∴，即，

解得：CN=，

故答案为：．

12．已知：在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，AE=AD，连接CE交BD于点F，则的值是________．

【答案】

【分析】

根据平行四边形的性质可得出AD∥BC、AD=BC，进而可得出△DFE∽△BFC，再利用相似三角形的性质即可求出的值．

【详解】

解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DFE∽△BFC，

∴，

故答案为：．

13．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为21m，那么这根旗杆的高度为_______m．

【答案】14

【分析】

利用同时同地物的高与影长成正比列式计算即可．

【详解】

解：设旗杆高度为xm由題意得，

解得：x=14

故答案为14．

14．在某一时刻，测得身高为1.8m的小明的影长为3m，同时测得一建筑物的影长为10m，那么这个建筑物的高度为______m．

【答案】6

【分析】

首先设这栋建筑物的高度为xm，然后根据题意列出等式，求解即可.

【详解】

设这栋建筑物的高度为xm，

由题意得，=，

解得x=6，

即这栋建筑物的高度为6m．

故答案为：6．

15．如图，在中，点分别是边上的点，， 则的长为________.

【答案】4

【分析】

根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．

【详解】

∵，，

∴，，

则，，

∴，

∵，

∴．

故答案为：4．

三、解答题

16．如图，在中，为的中点，点在上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．

（1）比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明；

（2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

【答案】（1），，理由见详解；（2），理由见详解．

【分析】

（1）由题意及旋转的性质易得，，然后可证，进而问题可求解；

（2）过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交AB于点H，由（1）可得，，易证，进而可得，然后可得，最后根据相似三角形的性质可求证．

【详解】

（1）证明：∵，

∴，

∴，

由旋转的性质可得，

∵，

∴，

∴，

∵点M为BC的中点，

∴，

∵，

∴；

（2）证明：，理由如下：

过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交AB于点H，如图所示：

∴，

由（1）可得，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

17．如图，在中，，以为直径作⊙，交于点，过点作的垂线，垂足为点，与的延长线交于点．

（1）求证：为⊙的切线；

（2）若⊙的直径为5，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）先连接OD，证明OD∥BC，再根据，即可证明

（2）先根据，利用Rt△CBD，设BD=x,得出DB、DC的值，再证明△∽△．利用相似比即可得到，从而得到EF的值

【详解】

证明：连接．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴//．  

∵，

∴．

∵点在⊙上，

∴是⊙的切线．

（2）解：连接．

∵是⊙的直径，

∴．

∵，，

∴．

∵，

在△中，

设，则．

∴．

∴，．

即，．

由面积可得: DBDC= BCDE

∴．

在△中，

．

∵//，

∴△∽△．

∴．

即．

∵，，

∴．

18．在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，点和点关于直线对称，则称点是点关于轴，直线的完美点．

（1）如图1，点．

①若点是点关于轴，直线的完美点，则点的坐标为__________ ；

②若点是点关于轴，直线的完美点，则的值为__________；

（2）如图2，⊙的半径为1．若⊙上存在点，使得点是点关于轴，直线的完美点，且点在函数的图象上，求的取值范围；

（3）是轴上的动点，⊙的半径为2，若⊙上存在点，使得点是点关于轴，直线的完美点，且点在轴上，直接写出的取值范围．

【答案】（1）①，②；（2）；（3）．

【分析】

（1）①根据点坐标的轴对称变换规律即可得；

②先求出点关于轴，直线的完美点，再根据点的坐标建立方程，求解即可得；

（2）先根据完美点的定义、待定系数法求出点所在直线的解析式为，再找出两个临界位置①直线与位于轴上方的半圆相切；②直线恰好经过点，分别利用相似三角形的判定与性质、一次函数的性质求出的值即可得；

（3）如图（见解析），先确定点在上运动，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点的坐标，然后求出与轴相切时的值即可得出答案．

【详解】

解：（1）①，

点关于轴对称的点坐标为，

又点关于直线对称坐标为，

，

故答案为：；

②，

点关于轴对称的点坐标为，

又点关于直线对称坐标为，点是点关于轴，直线的完美点，

，

解得，

故答案为：；

（2）如图，设点关于轴的对称点为，

由完美点的定义得：点所在直线与点所在直线平行，

则设点所在直线的解析式为，

设点的坐标为，则，，

将点代入得：，

解得，

则点所在直线的解析式为，

因此，有两个临界位置：①直线与位于轴上方的半圆相切；②直线恰好经过点，

①直线与位于轴上方的半圆相切，

如图，设直线与轴交于点，与轴交于点，

则，

，

由圆的切线的性质得：，，

在和中，，

，

，即，

解得，

②直线恰好经过点，

将点代入得：，

解得，

点在函数的图象上，不含原点，

的值不能取，

则的取值范围为；

（3）如图，设点关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为，连接，交直线于点，则的半径为2，

当点在上运动时，点在上运动，

要使点在轴上，则与轴相切或相交即可，

，

，

，

设直线的解析式为，

将点代入得：，解得，

则直线的解析式为，

联立，解得，

，

又点是线段的中点，

，

当与轴相切时，，

解得或，

综上，满足条件的的取值范围为．