考点12平面直角坐标系（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

考点12平面直角坐标系

考点总结

一、坐标确定位置及点的坐标规律

1．坐标确定位置

平面内特殊位置的点的坐标特征

（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：

①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0；

（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：

①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0；

（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：

①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b

二、坐标与图形性质

1．点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号；

2．有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律；

3．若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题。

真题演练

一、单选题

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为（    ）

A．（1，2） B．（4，2） C．（2，4） D．（2，1）

【答案】D

【分析】

根据三角形的中位线的性质和点的坐标，解答即可．

【详解】

过N作NE⊥y轴，NF⊥x轴，

∴NE∥x轴，NF∥y轴，

∵点A(0，2)，B(4，0)，点N为线段AB的中点，

∴NE=2，NF=1，

∴点N的坐标为(2，1)，

故选：D．

2．以方程组的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】

先求出方程组的解，然后即可判断点的位置．

【详解】

解：解方程组，得，

∴点（1.5，0.5）在第一象限．

故选：A．

3．若点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围是（　　）

A．m＞3 B．m＜1 C．m＞1 D．1＜m＜3

【答案】A

【分析】

根据第二象限点的坐标特征：横坐标为负数，纵坐标为正数解题即可

【详解】

解：∵点P在第二象限，

，

解不等式①得：m＞3；

解不等式②得：m＞1．

∴m的取值范围是m＞3．

故选：A．

4．如图，平面直角坐标系xOy中，有、、、四点．若有一直线l经过点且与轴垂直，则l也会经过的点是（    ）

A．点 B．点

C．点 D．点

【答案】D

【分析】

直接利用点的坐标，正确结合坐标系分析即可．

【详解】

如图所示：有一直线通过点（-1，3）且与y轴垂直，故也会通过D点．
故选：D．

5．如图，动点在平面直角坐标系中，按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，2)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，1)，第4次接着运动到点(4，0)，……，按这样的运动规律，经过第27次运动后，动点的坐标是(　　)

A．(26，0) B．(26，1) C．(27，1) D．(27，2)

【答案】C

【分析】

根据图形中前几次运动后，动点P的坐标，归纳类推出规律，由此即可得出答案．

【详解】

由图可归纳出以下两条规律：（n为正整数）

（1）第n次运动后，动点P的横坐标为n

（2）在运动过程中，动点P的纵坐标是以为循环变换的

则经过第27次运动后，动点的横坐标为27

经过第27次运动后，动点的纵坐标与第3次运动后，动点的纵坐标相同，即为1

综上，所求的动点P的坐标是

故选：C．

6．如图，小宇计划在甲、乙、丙、丁四个小区中挑选一个小区租住，附近有东西向的交通主干道a和南北向的交通主干道b，若他希望租住的小区到主干道a和主干道b的直线距离之和最小，则图中符合他要求的小区是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】C

【分析】

分别作甲、乙、丙、丁四个小区关于道路a和道路b的对称点，分别连接对称点，线段最短的即为所求

【详解】

解：分别作甲、乙、丙、丁四个小区关于道路a和道路b的对称点，

分别连接对称点，线段最短的即为所求，如图：

从图中可知丙小区到两坐标轴的距离最短；

故选C．

7．如图，昌平十三陵中的部分皇陵在地图上的位置，若庆陵的位置坐标（﹣1，4），长陵的位置坐标（2，0），则定陵的位置坐标为（　　）

A．（5，2） B．（﹣5，2） C．（2，5） D．（﹣5，﹣2）

【答案】D

【分析】

根据庆陵的位置坐标（﹣1，4），长陵的位置坐标（2，0），建立直角坐标系，然后直接写出定陵的位置坐标．

【详解】

解：根据庆陵的位置坐标（﹣1，4），长陵的位置坐标（2，0），

建立直角坐标系，如图

所以定陵的位置坐标为（﹣5，﹣2），

故选D．

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1，0)．点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(﹣1，1)，第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是(   )

A．(﹣26，50) B．(﹣25，50)

C．(26，50) D．(25，50)

【答案】C

【分析】

解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为，其中4的倍数的跳动都在轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在轴的右侧.横坐标为，横坐标为，横坐标为，以此类推可得到的横坐标．

【详解】

解：经过观察可得：和的纵坐标均为，和的纵坐标均为，和的纵坐标均为，因此可以推知和的纵坐标均为；其中4的倍数的跳动都在轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在轴的右侧.横坐标为，横坐标为，横坐标为，以此类推可得到：的横坐标为（是4的倍数）.

故点的横坐标为：，纵坐标为：，点第100次跳动至点的坐标为.

故选：．

9．若点在第三象限，则a的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

结合题意，根据点的坐标、象限的性质，列一元一次不等式组并求解，即可得到答案．

【详解】

∵点在第三象限

∴且

∴且

∴

故选：A．

10．若点是平面直角坐标系中第二象限内的点，且点到轴的距离是2，到轴的距离是3，则点的坐标是　　

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据第二象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断出点P的坐标．

【详解】

解：点到轴的距离是2，则点的纵坐标为，

点到轴的距离是3，则点的纵坐标为，

由于点在第二象限，故坐标为，

答案：．

二、填空题

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，B（3，0），△AOB是等边三角形，动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BO匀速运动，动点Q同时从点A出发以同样的速度沿OA延长线方向匀速运动，当点P到达点O时，点P，Q同时停止运动．过点P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．设运动时间为t秒，得出下面三个结论，① 当t =1时，△OPQ为直角三角形；② 当t =2时，以AQ，AE为边的平行四边形的第四个顶点在∠AOB的平分线上；③ 当t为任意值时，．所有正确结论的序号是________．

【答案】①③

【分析】

由题意根据等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质进行综合分析判断即可.

【详解】

解：①如图1中，取OQ的中点H，连接PH．

∵t=1，

∴AQ=PB=1，

∵B（3，0），

∴OB=3，

∵△AOB是等边三角形，

∴OA=OB=AB=3，

∴OQ=4，

∵，

∴OH=OP=2，

∵∠HOP=60°，

∴△HOP是等边三角形，

∴PH=OH=HQ，

∴，

∴△OPQ是直角三角形．故①正确，

②当t=2时，如图2中，

由题意PB=AQ=2，

∵PE⊥AB，

∴∠PEB=90°，

∵∠PBE=60°，

∴，

∴AE=AB-BE=3-1=2，

∴AE=AQ=2，

∵四边形AEMQ是平行四边形，AQ=AE，

∴四边形AEMQ是菱形，

∵∠QAE=120°，

∴∠MAE=∠MAQ=60°，

∴△MAE是等边三角形，

∴MA=ME＜BM，

∴点M不在AB的垂直平分线上，

∴点M不在∠AOB的角平分线上，故②错误，

③如图3中，作PM∥OA交AB于M．

∵PM∥OA，

∴∠BMP=∠BAO=60°，∠BPM=∠AOB=60°，

∴△PMB是等边三角形，

∴PB=PM=AQ，

∵PE⊥BM，

∴EM=BM，

∵∠AQD=∠MPD，∠ADQ=∠MQP，AQ=PM，

∴△ADQ≌△MDP（AAS），

∴AD=DM，

∴，故③正确.

故答案为：①③．

12．如图，直线，在某平面直角坐标系中，x轴∥，y轴∥，点A的坐标为(，2)，点B的坐标为(2，)，那么点C在第____象限．

【答案】一

【分析】

根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案．

【详解】

解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，

如图，依题意可画出直角坐标系，

∴点A位于第二象限，点B位于第四象限，

∴点C位于第一象限．

故答案是：一．

13．如图，在平面直角坐标系中，已知直线，双曲线，在l上取一点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交l于点，请继续操作并探究：过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交l于点，…，这样依次得到l上的点，，，…，，…，记点的横坐标为，若，则__________；若要将上述操作无限次地进行下去，则不能取的值是__________．

【答案】    0、1   

【分析】

求出，，，的值，可发现规律，继而得出的值，根据题意可得不能在轴上，也不能在轴上，从而可得出不可能取的值．

【详解】

解：当时，的纵坐标为，

的纵坐标和的纵坐标相同，则的横坐标为，

的横坐标和的横坐标相同，则的纵坐标为，

的纵坐标和的纵坐标相同，则的横坐标为，

的横坐标和的横坐标相同，则的纵坐标为，

的纵坐标和的纵坐标相同，则的横坐标为，

的横坐标和的横坐标相同，则的纵坐标为，

即当时，，，，，

，，，，，

，

；

点不能在轴上（此时找不到），即，

点不能在轴上（此时，在轴上，找不到），即，

解得：；

综上可得不可取0、1．

故答案为：；0、1．

14．定义：对于线段和点P，当，且时，称点P为线段的“等距点”．特别地，当，且时，称点P为线段的“强等距点”．在平面直角坐标系中，点A的坐标为；若点B是线段的“强等距点”，且在第一象限，则点B的坐标为___．

【答案】，

【分析】

过点B作BM⊥x轴于点M，根据“强等距点”的定义可得出∠ABO=120°，BO=BA，根据等腰三角形的性质以及特殊角的三角函数值即可求出线段OM、BM的长度，再由点B在第一象限即可得出结论．

【详解】

解：如图，过点．作轴于点，

点是线段的“强等距点”，

，，

轴于点，

，．

在中，，，

．

点的坐标为，或，，

点在第一象限，

，．

故答案为：，．

15．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是________．

【答案】或

【分析】

由题意，设点B的坐标为(-2，y)，则由AB=9可得，解方程即可求得y的值，从而可得点B的坐标．

【详解】

∵轴

∴设点B的坐标为(-2，y)

∵AB=9

∴

解得：y=8或y=－10

∴点B的坐标为或

故答案为：或

三、解答题

16．在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．

（1）已知点N（2，0），在点，，中，对线段ON的可视度为60º的点是______．

（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．

①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为______°；

②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．

【答案】（1）M1，M2；（2）①90；②或

【分析】

（1）结合勾股定理，等边三角形的判定和性质以及锐角三角函数求角的度数，从而作出判断；

（2）①根据等腰直角三角形的判定和性质求解；

②根据可视度的定义结合勾股定理分情况讨论求解

【详解】

解：（1）∵点N（2，0），点，，中，

∴M3N⊥x轴，

∴，

∴，

，

∴△是等边三角形

∴

∴对线段ON的可视度为60º的点是M1，M2

故答案为：M1，M2．

（2）①连接EA，ED

由题意可得AG=EG=2，DG=GE=2

∴△AGE和△EDG均为等腰直角三角形

∴∠AED=90°

∴点E对四边形ABCD的可视度为90°

故答案为：90； 

②解：由题意可知，四边形ABCD是正方形，点F在直线y=4上．

如图所示，点F对正方形ABCD的可视度为45°，

当点F是以点D为圆心，4为半径的圆和直线y=4的交点时，

过点D作DN⊥EF于点N，则有DN=2，DF=4，可得NF=．

 ∴a=．

当点F是以点A为圆心，4为半径的圆和直线y=4的交点时，

同理可得，a=．

综上，a的值为或．

17．在平面直角坐标系中，对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点P是图形W的“相合点”．

（1）已知点，线段与线段组成的图形记为W；

①点中，图形W的“相合点”是___；

②点M在直线上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围；

（2）⊙O的半径为r，直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段上存在⊙O外的一点P，使得点P为⊙O的相合点，直接写出r的取值范围．

【答案】（1）①，②或；（2）或

【分析】

（1）①由题作出草图即可判断；

②根据中点坐标公式分为（Ⅰ）为中点，（Ⅱ）为中点，（Ⅲ）为中点，建立不等式组即可得解；

（2）先根据题意设过的直线交⊙O于、，作直线交⊙O于、，连接、，通过证明，以及圆的基本性质解得，再分为（Ⅰ）与⊙O相离，（Ⅱ）与⊙O相交，两种情况建立不等式求解．

【详解】

解：（1）作图1如图示，

①由图1可知为、中点，为、中点，对不存在符合要求的情况，

故答案为：、；

设，在上，在上，

②（Ⅰ）为中点，则，，

，

解得，

（Ⅱ）为中点，则，，

，

解得：，

（Ⅲ）为中点，则，，

，

解得：，

综上：或；

（2）令，解得，，，

令，则，即，，则，

与横轴所成锐角为，

在⊙O外部，设过的直线交⊙O于、，作直线交⊙O于、，连接、如图2,

,

,

又,

,

,

，

又是弦，

，

，

又在⊙O外部，

；

当过二、三、四象限时，，⊙O的半径为，

一定在⊙O内部，即一定与⊙O相交，

若与⊙O相离则直线必过一、二、四象限，

（Ⅰ）与⊙O相离，相离时直线过一、二、四象限如图2，

要求存在在⊙O外部且是⊙O的相合点，作，

，

则只需，，

解得：，

（Ⅱ）与⊙O相交且存在在⊙O外部如图3：直线过二、三、四象限，连接⊙O与的交点,

则只需，，

解得：，

综上，或．

18．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．

(1)当m=3时，求抛物线的顶点坐标；

(2)已知点A(1，2)．试说明抛物线总经过点A；

(3)已知点B(0，2)，将点B向右平移3个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m的取值范围．

【答案】(1)(1，2)；(2)详见解析；(3)m=3或0<m<或-3<m<0．

【分析】

(1)把m=3代入解析式，化成顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；

(2)把x=1代入解析式，总等于2，与无关，即可判断抛物线总经过点A(1，2)；

(3)根据题意可以得到点C的坐标，分顶点在线段BC上、抛物线过点B(0，2)、抛物线过点C(3，2)时三种情况讨论，画出抛物线的图象，然后根据图象和题意，即可得到的取值范围．

【详解】

(1)把m=3代入中，得：

，

∴抛物线的顶点坐标是(1，2)；

(2)当x=1时，，

∵点A(1，2)，

∴抛物线总经过点A；

(3)∵点B(0，2)，由平移得C(3，2)．

① 当顶点在线段BC上，抛物线与线段BC只有一个公共点．

由(1)知，抛物线的顶点A(1，2)在线段BC上，

此时，m=3；

② 当抛物线过点B(0，2)时，

将点B(0，2)代入抛物线表达式，得：

，

∴m=>0，

此时抛物线开口向上(如图1)，

∴当0<m<时，抛物线与线段BC只有一个公共点； 

③当抛物线过点C(3，2)时，

将点C(3，2)代入抛物线表达式，得：

，

∴，

此时抛物线开口向下(如图2)，

∴当时，抛物线与线段BC只有一个公共点，

综上，m的取值范围是m=3或0<m<或-3<m<0．