考点07一元二次方程（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版）

考点07一元二次方程

考点总结

一、一元二次方程及有关概念

1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.

2. 一般形式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数，a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数.

3. 一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有1个未知数；(3)所含未知数的最高次数是2.

在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程.

4. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

二、一元二次方程的解法：

解一元二次方程的基本思想——转化，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.

直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法.

三、一元二次方程的根的判别式

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：

(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个的实数根；

(3)b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．

四、一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝，x1x2＝．

五、一元二次方程的应用

1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步.

2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：

(1)增长率等量关系:

A.增长率＝×100%；

B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)n=b.

(2)利润等量关系:

A.利润＝售价-成本；

B.利润率＝利润成本×100%.

(3)面积问题

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•盐城）设x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3

【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2可以直接求得x1+x2的值．

【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数是a＝1，一次项系数b＝﹣2，

∴由韦达定理，得

x1+x2＝2．

故选：C．

2．（2020•南京）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）

A．两个正根 B．两个负根 

C．一个正根，一个负根 D．无实数根

【分析】先把方程（x﹣1）（x+2）＝p2化为x2+x﹣2﹣p2＝0，再根据b2﹣4ac＝1+8+4p2＞0可得方程有两个不相等的实数根，由﹣2﹣p2＜0即可得出结论．

【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），

∴x2+x﹣2﹣p2＝0，

∴b2﹣4ac＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，

∴一个正根，一个负根，

故选：C．

3．（2021•姑苏区校级一模）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn+1．例如：3☆2＝3×22﹣3×2+1＝7，则方程4☆x＝0的根的情况为（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．无实数根 D．只有一个实数根

【分析】先利用新定义得到方程4x2﹣4x+1＝0，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

【解答】解：方程4☆x＝0化为4x2﹣4x+1＝0，

∵Δ＝（﹣4）2﹣4×4＝0，

∴方程有相等的实数解．

故选：B．

4．（2021•邗江区一模）如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（　　）

A．32×12﹣32x﹣12x＝300 B．（32﹣x）（12﹣x）+x2＝300 

C．（32﹣x）（12﹣x）＝300 D．2（32﹣x+12﹣x）＝300

【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为（32﹣x）米、宽（12﹣x）米的矩形面积，结合草坪的面积为300平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：∵道路的宽为x米，

∴铺设草坪的面积等于长为（32﹣x）米、宽（12﹣x）米的矩形面积．

∵草坪的面积为300平方米，

∴（32﹣x）（12﹣x）＝300．

故选：C．

5．（2021•仪征市一模）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2021﹣m2+m的值为（　　）

A．2020 B．2019 C．2018 D．2017

【分析】把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0得m2﹣m＝2，再把2021﹣m2+m变形为2021﹣（m2﹣m），然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0得m2﹣m＝2，

所以m2﹣m＝2，

所以2021﹣m2+m＝2021﹣（m2﹣m）＝2021﹣2＝2019．

故选：B．

6．（2021•通州区二模）若2，2是关于x的方程x2+mx+n＝0的两个实数根，则m+n的值为（　　）

A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．5

【分析】由根与系数关系求出m，n的值，则可求出答案．

【解答】解：∵2，2是关于x的方程x2+mx+n＝0的两个实数根，

∴，（2）（2）＝n，

∴m＝﹣4，n＝1，

∴m+n＝﹣3．

故选：B．

7．（2021•靖江市一模）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　）

A．x1+x2＞0 B．x1•x2＜0 

C．x1≠x2 D．方程必有一正根

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1x2，x1+x2的值，分析后即可判断A项，B项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断C项，D项是否符合题意．

【解答】解：A、根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2＞0，结论A正确，不符合题意；

B、根据根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣m2≤0，结论B不一定正确，符合题意；

C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，结论C正确，不符合题意；

D、由x1•x2＝﹣m2≤0，结合判别式可得出方程必有一正根，结论D正确，不符合题意．

故选：B．

8．（2021•徐州二模）学校组织一次足球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了28场，则有几支球队参赛？设有x支球队参赛，则下列方程中正确的是（　　）

A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 

C．x（x+1）＝28 D．x（x﹣1）＝28

【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝28，把相关数值代入即可．

【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，

所以可列方程为：x（x﹣1）＝28，

故选：D．

9．（2021•建邺区一模）关于x的方程3x2﹣7x+4＝0的根的情况，下列结论中正确的是（　　）

A．两个正根 B．两个负根 

C．一个正根，一个负根 D．无实数根

【分析】先求一元二次方程的判别式，由△与0的大小关系来判断方程根的情况．

【解答】解：∵a＝3，b＝﹣7，c＝4，

∴Δ＝b2﹣4ac＝49﹣4×3×4＝1＞0，

∴关于x的方程3x2﹣7x+4＝0有两个实数根．

设关于x的方程3x2﹣7x+4＝0的两根分别是α、β．

又∵αβ0，

∴α、β同号．

∵α+β0，

∴α＞0，β＞0．

∴该方程有两个正根．

故选：A．

10．（2021•梁溪区一模）若方程（m﹣1）x2+x0是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（　　）

A．m≥2 B．m≤2 C．m≤2且m≠1 D．m≠1

【分析】根据一元二次方程的定义列式求出m的值，即可进行选择．

【解答】解：∵（m﹣1）x2+x0是关于x的一元二次方程，

∴m﹣1≠0，

解得m≠1，

故选：D．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•镇江）一元二次方程x（x+1）＝0的两根分别为 　x1＝0，x2＝﹣1　．

【分析】利用因式分解法求出解即可．

【解答】解：方程x（x+1）＝0，

可得x＝0或x+1＝0，

解得：x1＝0，x2＝﹣1．

故答案为：x1＝0，x2＝﹣1．

12．（2021•南通）若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为 　3　．

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m﹣1＝0，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣3，再将其代入所求式子即可求解．

【解答】解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，

∴m2+3m﹣1＝0，

∴3m﹣1＝﹣m2，

∵Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，

∴m+n＝﹣3，

∴3，

故答案为3．

13．（2021•泰州）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为 　2　．

【分析】直接根据根与系数的关系求解．

【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，

∴x1•x2＝﹣1，x1+x2＝1，

∴x1+x2﹣x1•x2＝1﹣（﹣1）＝2，

故答案为2．

14．（2021•徐州）若x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，则x1+x2＝　﹣3　．

【分析】由x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出x1+x2的值．

【解答】解：∵x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，a＝1，b＝3，

∴x1+x23．

故答案为：﹣3．

15．（2021•盐城）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 　300（1+x）2＝363　．

【分析】可先表示出第一年的产量，那么第二年的产量×（1+增长率）＝363，把相应数值代入即可求解．

【解答】解：第一年的产量为300×（1+x），

第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为300×（1+x）×（1+x），

则列出的方程是300（1+x）2＝363．

故答案是：300（1+x）2＝363．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•徐州）（1）解方程：x2﹣4x﹣5＝0；

（2）解不等式组：．

【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出两个方程的解即可；

（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．

【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，

（x﹣5）（x+1）＝0，

x﹣5＝0或x+1＝0，

解得：x1＝5，x2＝﹣1；

（2），

解不等式①，得x≤2，

解不等式②，得x＜﹣3，

所以不等式组的解集是x＜﹣3．

17．（2020•无锡）已知关于x的方程：4x2+4mx+2m﹣1＝0（m为实数）．

（1）求证：对于任意给定的实数m，方程恒有两个实数根；

（2）设x1，x2是方程的两个实数根，求证：x1+x2+m＝0．

【分析】（1）只要证得Δ＝b2﹣4ac≥0，就说明方程有两个的实数根．

（2）利用根与系数的关系即可证明．

【解答】（1）证明：∵a＝4，b＝4m，c＝2m﹣1，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（4m）2﹣4×4（2m﹣1）＝16（m﹣1）2≥0

∴方程有两个实数根．

（2）证明：∵x1，x2是该方程的两个实数根，

∴x1+x2m，

∴x1+x2+m＝0．

18．（2020•徐州）（1）解方程：2x2﹣5x+3＝0；

（2）解不等式组：．

【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．

【解答】解：（1）2x2﹣5x+3＝0，

（2x﹣3）（x﹣1）＝0，

∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，

解得：x1，x2＝1；

（2）

解不等式①，得x＜3．

解不等式②，得x＞﹣4．

则原不等式的解集为：﹣4＜x＜3．