考点03分式及二次根式（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版）

考点03分式及二次根式

考点总结

一、分式

1、分式的概念

一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。

2、分式的性质

（1）分式的基本性质：

分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

（2）分式的变号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算法则

二、二次根式

1、二次根式的定义

式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。

2、最简二次根式

若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

3、同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

4、二次根式的性质

（1）

（2）

（3）

（4）

5、二次根式混合运算

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•泰州）（﹣3）0等于（　　）

A．0 B．1 C．3 D．﹣3

【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0），化简进而得出答案．

【解答】解：（﹣3）0＝1．

故选：B．

2．（2021•苏州）已知两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，则等于（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

【分析】方法一：先把所求式子通分，然后将分子变形，再根据两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，可以得到ab≠0，再将a+b＝0代入化简后的式子即可解答本题．

方法二：根据a+b＝0，得到a＝﹣b，然后代入所求式子，即可得到所求式子的值．

【解答】解：方法一：

，

∵两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，

∴ab≠0，

当a+b＝0时，原式2，

故选：A．

方法二：∵两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，

∴a＝﹣b，

∴

＝﹣1+（﹣1）

＝﹣2，

故选：A．

3．（2021•扬州）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（　　）

A．x+1 B．x2﹣1 C． D．（x+1）2

【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断．

【解答】解：A、当x＝﹣1时，x+1＝0，故不合题意；

B、当x＝±1时，x2﹣1＝0，故不合题意；

C、分子是1，而1≠0，则0，故符合题意；

D、当x＝﹣1时，（x+1）2＝0，故不合题意；

故选：C．

4．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　）

A．与 B．与 C．与 D．与

【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先将各选项进行化简，再根据被开方数是否相同进行判断即可．

【解答】解：A、2和不是同类二次根式，本选项不合题意；

B、2与不是同类二次根式，本选项不合题意；

C、与不是同类二次根式，本选项不合题意；

D、5，3是同类二次根式，本选项符合题意．

故选：D．

5．（2021•苏州）计算（）2的结果是（　　）

A． B．3 C．2 D．9

【分析】按照二次根式的性质求解．

【解答】解：（）2＝3．

故选：B．

6．（2020•南通）下列运算，结果正确的是（　　）

A． B．33 C．3 D．2

【分析】分别根据同类二次根式的概念、二次根式的乘除运算法则计算可得．

【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；

B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；

C．，此选项错误；

D．2，此选项计算正确；

故选：D．

7．（2020•泰州）下列等式成立的是（　　）

A．3+47 B． C．2 D．3

【分析】根据二次根式的加、乘、除法法则及二次根式的性质逐一判断即可得．

【解答】解：A．3与4不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；

B．，此选项计算错误；

C．3，此选项计算错误；

D．3，此选项计算正确；

故选：D．

8．（2020•无锡）下列选项错误的是（　　）

A．cos60° B．a2•a3＝a5 

C． D．2（x﹣2y）＝2x﹣2y

【分析】分别根据特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法法则，二次根式的除法法则以及去括号法则逐一判断即可．

【解答】解：A．cos60°，故本选项不合题意；

B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；

C.，故本选项不合题意；

D.2（x﹣2y）＝2x﹣4y，故本选项符合题意．

故选：D．

9．（2021•姑苏区一模）化简（1）的结果是（　　）

A．a﹣1 B． C． D．

【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题．

【解答】解：（1）

，

故选：D．

10．（2021•苏州模拟）计算的结果是（　　）

A．x﹣1 B． C． D．

【分析】根据分式的减法和乘法可以解答本题．

【解答】解：

＝[]•（x﹣3）

＝（）•（x﹣3）

＝1

，

故选：C．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•镇江）使有意义的x的取值范围是 　x≥7　．

【分析】直接利用二次根式被开方数是非负数，进而得出答案．

【解答】解：使有意义，则x﹣7≥0，

解得：x≥7．

故答案为：x≥7．

12．（2021•徐州）若有意义，则x的取值范围是 　x≥1　．

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣1≥0，解不等式即可求得x的取值范围．

【解答】解：根据题意得x﹣1≥0，

解得x≥1．

故答案为：x≥1．

13．（2021•宿迁）若代数式有意义，则x的取值范围是 　x≥﹣2　．

【分析】由题意得：x+2≥0，解不等式即可得出答案．

【解答】解：由题意得：

x+2≥0，

解得x≥﹣2，

所以x的取值范围是x≥﹣2．

故答案为：x≥﹣2．

14．（2021•南京）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥0　．

【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．

【解答】解：依题意有5x≥0，

解得：x≥0．

故答案为：x≥0．

15．（2021•南京）计算的结果是 　　．

【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，再合并得出答案．

【解答】解：

＝2

＝2

＝2

．

故答案为：．

三．解答题（共5小题）

16．（2021•淮安）先化简，再求值：（1），其中a＝﹣4．

【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：（1）

＝a+1，

当a＝﹣4时，原式＝﹣4+1＝﹣3．

17．（2021•镇江）（1）计算：（1）0﹣2sin45°；

（2）化简：（x2﹣1）÷（1）﹣x．

【分析】（1）根据零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数值即可求出答案．

（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．

【解答】解：（1）原式＝1﹣21．

（2）原式＝（x+1）（x﹣1）x

＝（x+1）（x﹣1）•x

＝x（x+1）﹣x

＝x（x+1﹣1）

＝x2．

18．（2021•徐州）计算：

（1）|﹣2|﹣20210（）﹣1；

（2）（1）．

【分析】（1）先分别化简绝对值，零指数幂，立方根，负整数指数幂，然后再计算；

（2）分式的混合运算，先算小括号里面的，然后算括号外面的．

【解答】解：（1）原式＝2﹣1+2﹣2

＝1；

（2）原式

．

19．（2021•无锡）计算：

（1）||﹣（﹣2）3+sin30°；

（2）．

【分析】（1）根据绝对值的意义，乘方的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．

（2）根据分式的加减运算法则即可求出答案．

【解答】解：（1）原式8

＝1+8

＝9．

（2）原式

．

20．（2021•盐城）先化简，再求值：（1）•，其中m＝2．

【分析】先将括号内两式通分化简，括号外分子因式分解，然后约分代入m的值求解．

【解答】解：原式＝（）•，

•，

＝m+1，

∵m＝2，

∴m+1＝2+1＝3．