考点22与圆有关的计算（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版）

考点22与圆有关的计算

考点总结

弧长和扇形面积

1、弧长公式

n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为

2、扇形面积公式

其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积

其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•姑苏区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝55°，AB＝6，则的长为（　　）

A．π B．π C．π D．11π

【分析】先利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．

【解答】解：∵∠OCA＝55°，OA＝OC，

∴∠A＝55°，

∴∠BOC＝2∠A＝110°，

∵AB＝6，

∴BO＝3，

∴的长为：π．

故选：B．

2．（2021•余姚市一模）如图，四边形ABCD的顶点B，C，D都在⊙A上，AD∥BC，∠BAD＝140°，AC＝3，则的弧长为（　　）

A．π B．π C．π D．π

【分析】求出∠BAC，利用弧长公式计算即可．

【解答】解：∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD＝180°，

∵∠BAD＝140°，

∴∠ABC＝40°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝40°，

∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°，

∴的长π，

故选：A．

3．（2021•盐城一模）在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（　　）

A．πcm B．2πcm C．3πcm D．6πcm

【分析】弧长公式为，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．

【解答】解：弧长为：2π（cm）．

故选：B．

4．（2021•新吴区二模）如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为（　　）

A．π B． C．2π D．

【分析】由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值．

【解答】解：连接BC，

由∠BAC＝90°得BC为⊙O的直径，

∴BC＝2，

在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝2，

∴S扇形ABCπ，

故选：A．

5．（2021•盐都区二模）如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为（　　）

A． B．2π C． D．

【分析】由于△ODB绕O旋转60°到△OD′B′，可见，阴影部分面积为扇形OBB′减扇形ODD′，分别计算两扇形面积，在计算其差即可．

【解答】解：如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，

∴AD＝BDAB＝4，

在Rt△OBD中，OB2﹣OD2＝BD2＝16，

∵△ODB绕O旋转60°到△OD′B′，

∴△ODB≌△OD′B′，

∴∠DOD′＝∠BOB′＝60°，

∴S扇形ODD′π，S扇形OBB′π，

∴S阴影＝S扇形OBB′﹣S扇形ODD′ππππ．

故选：C．

6．（2021•连云港二模）如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120°，OA长为10cm，贴纸部分的CA长为5cm，则贴纸部分的面积为（　　）

A．cm2 B．25πcm2 C．48πcm2 D．75πcm2

【分析】贴纸部分的面积实际是扇形OAB和扇形OCD的面积差，可根据扇形的面积公式分别表示出两部分的面积，进而可求出贴纸部分的面积．

【解答】解：S＝S扇形OAB﹣S扇形OCD25π（cm2），

故选：B．

7．（2021•姜堰区一模）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为M，连接OB、AC，如果OB∥AC，OB＝2，那么图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C．π D．2π

【分析】通过证得△ACM≌△OBM，则阴影部分的面积正好等于扇形OAB的面积．

【解答】解：∵弦BC⊥OA，垂足为M，

∴BM＝CM，

∵OB∥AC，

∴∠OBM＝∠ACM，

在△ACM和△OBM中

，

∴△ACM≌△OBM（ASA），

∴OM＝AMOA，

∵cos∠AOB，

∴∠AOB＝60°，

∴S阴影＝S，

故选：B．

8．（2021•无锡模拟）小明同学在计算某扇形的面积和弧长时，分别写出如下式子：S，l，经核对，两个结果均正确，则下列说法正确的（　　）

A．该扇形的圆心角为3°，直径是4 

B．该扇形的圆心角为4°，直径是3 

C．该扇形的圆心角为4°，直径是6 

D．该扇形的圆心角为9°，直径是4

【分析】根据S，l，可以写出S和l的形式，然后即可判断哪个选项是正确的，本题得以解决．

【解答】解：∵S，l，

∴S，l，

∴该扇形的圆心角为9°，直径是4，

故选：D．

9．（2021•如皋市二模）将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为108°，半径为12cm的扇形，则该圆锥的底面半径是（　　）

A．1.8cm B．3.6cm C．4cm D．6cm

【分析】根据弧长公式求出扇形弧长，根据圆的面积公式计算，得到答案．

【解答】解：∵扇形的圆心角为108°，半径为12cm，

∴扇形弧长7.2π（cm），

∴圆锥的底面周长为7.2πcm，

∴圆锥的底面半径3.6（cm），

故选：B．

10．（2021•江阴市模拟）圆锥的高是4cm，其底面圆半径为3cm，则它的侧面展开图的面积为（　　）

A．12πcm2 B．24πcm2 C．15πcm2 D．30πcm2

【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．

【解答】解：这个圆锥的母线长5，

所以这个圆锥的侧面积•2π•3•5＝15π（cm2）．

故选：C．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•淮安）若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是 　6　．

【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．

【解答】解：底面半径为3，则底面周长＝6π，

设圆锥的母线长为x，

圆锥的侧面积6πx＝18π．

解得：x＝6，

故答案为：6．

12．（2021•南通）圆锥的母线长为2cm，底面圆的半径长为1cm，则该圆锥的侧面积为 　2π　cm2．

【分析】直接用圆锥的侧面积公式计算即可．

【解答】解：圆锥的侧面积为：πrl＝2×1π＝2πcm2，

故答案为：2π．

13．（2021•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为8cm，扇形的圆心角θ＝90°，则圆锥的底面圆半径r为 　2　cm．

【分析】利用扇形的弧长公式求得弧长，然后利用底面周长等于弧长列式求得底面半径即可．

【解答】解：∵扇形的圆心角为90°，母线长为8cm，

∴扇形的弧长为4π，

设圆锥的底面半径为rcm，

则2πr＝4π，

解得：r＝2，

故答案为2．

14．（2021•无锡）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　　．

【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．

【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得

2πr，

解得r．

故答案为：．

15．（2021•盐城）设圆锥的底面半径为2，母线长为3，该圆锥的侧面积为 　6π　．

【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．

【解答】解：该圆锥的侧面积＝π×2×3＝6π．

故答案为6π．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•扬州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．

（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；

（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF＝BA，即可证明CD与圆B相切；

（2）先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD＝30°，求出AD，再利用S△ABD﹣S扇形ABE求出阴影部分面积．

【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵CB＝CD，

∴∠CBD＝∠CDB，

∴∠ADB＝∠CDB．

在△ABD和△FBD中，

，

∴△ABD≌△FBD（AAS），

∴BF＝BA，则点F在圆B上，

∴CD与⊙B相切；

（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠CBD＝60°

∵BF⊥CD，

∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，

∴∠ABF＝60°，

∵AB＝BF，

∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，

∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE

．

17．（2021•泰州）如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD⊥AB，Q为上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD、BQ．

（1）若m＝3．

①求证：∠OAD＝60°；

②求的值；

（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；

（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．

【分析】（1）①连接OD，由m＝3可得OA＝OD＝2，从而CD是OA的垂直平分线，可得△AOD是等边三角形，故∠OAD＝60°；

②连接AQ，证明△ADH∽△ABQ，可得，即得2；

（2）连接AQ、BD，证明△APD∽△ADB，得，由AP＝1，PB＝m，即得AD，而，故；

（3）由BQ•DH，得BQ2﹣2DH2+PB2＝（m﹣1）•DH2+m2，BQ2﹣2DH2+PB2是定值，需（m﹣1）•DH2+m2的值与DH无关，即当m＝1时，BQ2﹣2DH2+PB2的定值为1，此时P与O重合，即可得∠BQD＝45°．

【解答】解：（1）①连接OD，如图：

∵m＝3即PB＝3，AP＝1，

∴AB＝AP+PB＝4，

∴OA＝ODAB＝2，

∴OP＝OA﹣AP＝1＝AP，

∴P是OA中点，

又CD⊥AB，

∴CD是OA的垂直平分线，

∴AD＝OD＝OA＝2，即△AOD是等边三角形，

∴∠OAD＝60°；

②连接AQ，如图：

∵AB是⊙O直径，

∴∠AQB＝90°，

∵AH⊥DQ，

∴∠AHD＝90°，

∴∠AQB＝∠AHD，

∵，

∴∠ADH＝∠ABQ，

∴△ADH∽△ABQ，

∴，

由①知：AB＝4，AD＝2，

∴2；

（2）连接AQ、BD，如图：

∵AB是⊙O直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ADB＝∠APD，

又∠PAD＝∠DAB，

∴△APD∽△ADB，

∴，

∵AP＝1，PB＝m，

∴AB＝1+m，，

∴AD，

与（1）中②同理，可得：，

∴；

（3）由（2）得，

∴BQ•DH，即BQ2＝（1+m）•DH2，

∴BQ2﹣2DH2+PB2＝（1+m）•DH2﹣2DH2+m2＝（m﹣1）•DH2+m2，

若BQ2﹣2DH2+PB2是定值，则（m﹣1）•DH2+m2的值与DH无关，

∴当m＝1时，BQ2﹣2DH2+PB2的定值为1，此时P与O重合，如图：

∵AB⊥CD，OA＝OD＝1，

∴△AOD是等腰直角三角形，

∴∠OAD＝45°，

∵，

∴∠BQD＝45°，

故存在半径为1的⊙O，对Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2是定值1，此时∠BQD为45°．

18．（2021•南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

（1）如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，的长为4πcm．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．

①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 　l+h　（用含l，h的代数式表示）．

②设的长为a，点B在母线OC上，OB＝b．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．

【分析】（1）先判断出△OAC为等边三角形，进而得出AB上等边三角形的高，即可得出结论；

（2）①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即可得出结论；

②根据题意画出示意图，设CG＝x，则的长为x，进而求出∠COG，用勾股定理建立AB为关于x的函数，求解即可得出结论．

【解答】解：（1）如图②中连接AO，AC，AB．设∠AOC＝n．

∵的长＝4π，

∴4π，

∴n＝60°，

∴∠COA＝60°，

∵OA＝OC，

∴△AOC是等边三角形，

∵OB＝BC＝6，

∴AB⊥OC，

∴AB6．

最短的路径是线段AB，最短路径的长为6．

（2）①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即为h+l．

故答案为：h+l．

②蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如图④，最短路径为AB，

思路：

Ⅰ、过点O作OF⊥AD于F，交AB于G，此时，点G在扇形的弧上，

Ⅱ、设CG＝x，则的长为x，进而求出∠BOG的度数，

Ⅲ、再过点B作BE⊥OF于E，用三角函数求出OE，BE，得出FH，即可求出AH，

Ⅳ、求出EF，进而求出BH，

Ⅶ、在Rt△ABH中，利用勾股定理建立AB关于x的方程，求解最小值．