考点22与圆有关的计算（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（华师大版）

这是一份考点22与圆有关的计算（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（华师大版），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考点22与圆有关的计算
考点总结
知识点一 ：正多边形与圆
关键点拨与对应举例
1.正多边形与圆
（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.

（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：

中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△
a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2
例：(1) 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.
(2)半径为6的正四边形的边心距为，中心角等于90°，面积为72.
知识点二：与圆有关的计算公式
2.弧长和
扇形面积
的计算
扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝＝
例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.
3.圆锥与
侧面展开图

（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
（2）计算公式：
,S侧==πrl


在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.
例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为

真题演练

一、单选题
1．（2021·山东潍坊·中考真题）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交⊙O于C，D两点；③连接CO，DO并延长分别交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，EF，交于点G，则下列结论错误的是 ．

A．△AOE的内心与外心都是点G B．∠FGA＝∠FOA
C．点G是线段EF的三等分点 D．EF＝AF
【答案】D
【分析】
证明△AOE是等边三角形，EF⊥OA，AD⊥OE，可判断A；．证明∠AGF=∠AOF=60°，可判断B；证明FG=2GE，可判断C；证明EF=AF，可判断D．
【详解】
解：如图，

在正六边形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，
∵OF=OA=OE=OD，
∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形，
∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，
∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，
∴AD⊥OE，EF⊥OA，
∴△AOE的内心与外心都是点G，故A正确，
∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，
∴∠FAD=90°，
∵∠AFE=30°，
∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正确，
∵∠GAE=∠GEA=30°，
∴GA=GE，
∵FG=2AG，
∴FG=2GE，
∴点G是线段EF的三等分点，故C正确，
∵AF=AE，∠FAE=120°，
∴EF=AF，故D错误，
故答案为：D．
2．（2021·山东日照·中考真题）如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，，且交或交于点．设，图中阴影部分表示的平面图形（或）的面积为，则函数关于的大致图象是（　　）

A． B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据点的位置，分点在上和点在弧上两种情况讨论，分别写出和的函数解析式，即可确定函数图象．
【详解】
解：当在上时，即点在上时，有，
此时阴影部分为等腰直角三角形，
，
该函数是二次函数，且开口向上，排除，选项；
当点在弧上时，补全图形如图所示，

阴影部分的面积等于等腰直角的面积加上扇形的面积，再减去平面图形的面积即减去弓形的面积，
设，则，
，，
当时，，，
，
当时，，，
，
在，选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项符合题意．
故选：D．
3．（2021·山东东营·中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ）

A．214° B．215° C．216° D．217°
【答案】C
【分析】
由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图所对的弧长，再由弧长公式求解圆心角的度数．
【详解】
解：由圆锥的高为4，底面直径为6，
可得母线长，
圆锥的底面周长为：，
设圆心角的度数为n，
则，
解得：，
故圆心角度数为：，
故选：C．
4．（2021·山东枣庄·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π
【答案】B
【分析】
根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以1为半径的半圆（扇形）的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆（扇形）的面积，本题得以解决．
【详解】
解：由题意可得，
阴影部分的面积是：•π×22﹣﹣2（1×1﹣•π×12）＝π﹣2，
故选：B．
5．（2020·山东德州·中考真题）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．
【详解】
解：正六边形的面积为：，
六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：，
所以阴影部分的面积为：，
故选：A．
6．（2020·山东日照·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，AE＝9，则阴影部分的面积为（　　）

A．6π﹣ B．12π﹣9 C．3π﹣ D．9
【答案】A
【分析】
根据垂径定理得出CE=DE=CD＝3，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得出∠EOD=60°，进而结合扇形面积求出答案．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，
∴CE＝DE＝CD＝3．
设⊙O的半径为r，
在直角△OED中，OD2＝OE2+DE2，即，
解得，r＝6，
∴OE＝3，
∴cos∠BOD＝，
∴∠EOD＝60°，
∴，，
根据圆的对称性可得：
∴，
故选：A．

7．（2020·山东淄博·中考真题）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（ ）

A．2π+2 B．3π C． D．+2
【答案】C
【详解】
利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，

点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长＝++＝，
故选：C．
8．（2020·山东东营·中考真题）用一个半径为面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•r•3=3π，然后解方程即可．
【详解】
解：根据题意得•2π•r•3=3π，
解得r=1．
故选：D．
9．（2020·山东聊城·中考真题）如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．
【详解】
解：设圆锥的底面周长是l，则l=m，
则圆锥的底面半径是：m，
则圆锥的高是：m．
故选：C．
10．（2020·山东聊城·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据是的直径，弦，由垂径定理得，再根据证得，即可证明，即可得出．
【详解】
解：是的直径，弦，
，．



又


在和中，

，


故选：B

二、填空题
11．（2021·山东东营·中考真题）如图，在中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F，若，，，则扇形BEF的面积为________．


【答案】
【分析】
根据三角形内角和、三角形的外角以及等腰三角形性质求出，然后根据扇形面积公式计算．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵E为BC的中点，EB、EF为半径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴扇形BEF的面积．
12．（2021·山东聊城·中考真题）用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm2
【答案】
【分析】
先求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】
解：∵弧长16πcm的扇形铁片，
∴做一个高为6cm的圆锥的底面周长为16πcm，
∴圆锥的底面半径为：16π÷2π=8cm，
∴圆锥的母线长为：，
∴扇形铁片的面积=cm2，
故答案是：．
13．（2021·山东泰安·中考真题）若为直角三角形，，以为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为________．

【答案】4
【分析】
设AB与半圆的交点为D,连接DC,根据题意,得到阴影部分的面积等于，计算即可
【详解】
解：如图，设AB与半圆的交点为D，连接DC，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴∠DBC=∠DCB=45°，AD=BD，
过点D作DE⊥BC，垂足为E，
则∠CDE=∠BDE=45°，
∴CE=EB=ED=2，
∴半圆关于直线DE对称，
∴阴影部分的面积等于，
∴===4
故答案为：4．
14．（2021·山东·济宁学院附属中学三模）如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其正视图与侧视图均由矩形构成，正视图中大矩形边长如图所示，侧视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为_________厘米．

【答案】
【分析】
由正视图可知，高是20cm，两顶点之间的最大距离为60cm，利用正六边形的性质求得底面AD，然后所有棱长相加即可．
【详解】
根据题意，作出实际图形的上底，如图：AC，CD是上底面的两边，

因为正六边形的直径为60cm，
则AC=60÷2=30（cm），∠ACD=120°，
作CB⊥AD于点B，
那么AB=AC×sin60°=30×=15（cm），
所以AD=2AB=30（cm），
胶带的长至少=（cm）．
故答案为：．
15．（2021·山东牟平·一模）如图，在边长为3的正六边形中，将四边形绕顶点顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线重叠，则图中阴影部分的面积是__________．

【答案】
【分析】
根据正六边形的性质和旋转的性质以及扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：∵在边长为3的正六边形ABCDEF中，∠DAC=30°，∠B=∠BCD=120°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∵CD=3，
∴在Rt△ACD中，AD=2CD=6，
∴图中阴影部分的面积=S四边形ADEF+S扇形DAD′-S四边形AF′E′D′，
∵将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形处，
∴S四边形ADEF=S四边形AD′E′F′
∴图中阴影部分的面积=S扇形DAD′=，
故答案为：3π．

三、解答题
16．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，作DH⊥AB，交半圆、BC于点E，F，连接OC，∠ABC=θ，θ随点C的移动而变化．

（1）移动点C，当点H，B重合时，求证：AC=BC；
（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）底面半径为1，高为
【分析】
（1）根据直角三角形的性质即可求解；
（2）证明△BFH∽△DAH，即可求解；
（3）根据扇形与圆锥的特点及求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求出圆锥的高．
【详解】
（1）如图，当点H，B重合时，∵DH⊥AB
∴△ADB是直角三角形，
∵AC＝CD，
∴BC是△ADB的中线
∴BC=
∴AC=BC

（2）当θ＜45°时，DH交半圆、BC于点E，F，
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵DH⊥AB
∴∠B+∠A=∠A+∠D=90°
∴∠B=∠D
∵∠BHF=∠DHA=90°
∴△BFH∽△DAH，
∴
∴BH•AH＝DH•FH；
（3）∵∠ABC=θ=45°
∴∠AOC=2∠ABC=90°
∵直径AB＝8，
∴半径OA=4，
设扇形OAC卷成圆锥的底面半径为r
∴
解得r=1
∴圆锥的高为．
17．（2021·山东菏泽·中考真题）在矩形中，，点，分别是边、上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处．


（1）如图1，当与线段交于点时，求证：；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，交于点，求证：点在线段的垂直平分线上；
（3）当时，在点由点移动到中点的过程中，计算出点运动的路线长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）分别根据平行线的性质及折叠的性质即可证得∠DEF＝∠EFB，∠DEF＝∠HEF，由此等量代换可得∠HEF＝∠EFB，进而可得PE＝PF；
（2）连接PM，ME，MF，先证RtPHM≌RtPBM（HL），可得∠EPM＝∠FPM，再证EPM≌FPM（SAS），由此即可得证；
（3）连接AC，交EF于点O，连接OG，先证明EAO≌FCO（AAS），由此可得OC＝AC＝5，进而根据折叠可得OG＝OC＝5，由此得到点G的运动轨迹为圆弧，再分别找到点G的起始点和终点便能求得答案．
【详解】
（1）证明：∵在矩形ABCD中，
∴ADBC，AB＝CD；
∴∠DEF＝∠EFB，
∵折叠，
∴∠DEF＝∠HEF，
∴∠HEF＝∠EFB，
∴PE＝PF；
（2）证明：连接PM，ME，MF，

∵在矩形ABCD中，
∴AD＝BC，∠D＝∠ABC＝∠PBA＝90°，
又∵AE＝CF，
∴AD－AE＝BC－CF，
即：DE＝BF，
∵折叠，
∴DE＝HE，∠D＝∠EHM＝∠PHM＝90°，
∴BF＝HE，∠PBA＝∠PHM＝90°，
又∵由（1）得：PE＝PF，
∴PE－HE＝PF－BF，
即：PH＝PB，
在RtPHM与RtPBM中，
，
∴RtPHM≌RtPBM（HL），
∴∠EPM＝∠FPM，
在EPM与FPM中，
，
∴EPM≌FPM（SAS），
∴ME＝MF，
∴点M在线段EF的垂直平分线上；
（3）解：如图，连接AC，交EF于点O，连接OG，

∵AB＝CD＝5，，
∴BC＝，
∴在RtABC中，AC＝＝，
∵ADBC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在EAO与FCO中，
，
∴EAO≌FCO（AAS），
∴OA＝OC＝AC＝5，
又∵折叠，
∴OG＝OC＝5，
当点E与点A重合时，如图所示，此时点F，点G均与点C重合，

当点E与AD的中点重合时，如图所示，此时点G与点B重合，

∵O为定点，OG＝5为定值，
∴点G的运动路线为以点O为圆心，5为半径的圆弧，且圆心角为∠BOC，
在RtABC中，tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，
∵OA＝OB＝OC＝OG，
∴点A、B、C、G在以点O为圆心，5为半径的圆上，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∴的长为＝，
∴点运动的路线长为．
18．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）如图，在中，，点E在斜边上，以为直径的⊙O与交于点D，平分．

（1）求证：为⊙O的切线
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【分析】
（1）连接OD，则OD=OA，则∠OAD=∠ODA，由角平分线的定义，得到∠ODA=∠DAC，则OD∥AC，即可证明结论成立；
（2）连接DE，先证明△ADE∽△ACD，结合，，求出，然后利用三角函数，求出∠AED=60°，则∠AOD=120°，再求出扇形AOD和△AOD的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：（1）连接OD，如图：

∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵平分，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AC，
∴，即OD⊥BC，
∵OD是半径，
∴为⊙O的切线；
（2）连接DE，如图：

∵AE是直径，
∴∠ADE=∠C=90°，
∵∠OAD=∠DAC，
∴△ADE∽△ACD，
∴，即，
∴，
在直角△ADE中，由勾股定理，
∴，
，
∴，
∴∠AOD=120°，
∵OA=OD=2，
∴，
，
∵点O是AE的中点，
∴，
∴阴影部分的面积为：．