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    考点14全等三角形(解析版)-2022年数学中考一轮复习考点透析(苏科版) 试卷
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    考点14全等三角形(解析版)-2022年数学中考一轮复习考点透析(苏科版)

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    这是一份考点14全等三角形(解析版)-2022年数学中考一轮复习考点透析(苏科版),共17页。试卷主要包含了三角形全等的判定等内容,欢迎下载使用。

    考点14全等三角形
    考点总结
    1、三角形全等的判定
    三角形全等的判定定理:
    (1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)
    (2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)
    (3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。
    直角三角形全等的判定:
    对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
    2. 全等三角形的性质:全等三角形的对应角相等,对应边相等。

    真题演练
    一.选择题(共7小题)
    1.(2021•盐城)工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图,在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OC=OD,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合,这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线.这里构造全等三角形的依据是(  )

    A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
    【分析】根据全等三角形的判定定理SSS推出△COM≌△DOM,根据全等三角形的性质得出∠COM=∠DOM,根据角平分线的定义得出答案即可.
    【解答】解:在△COM和△DOM中
    OC=ODOM=OMMC=MD,
    所以△COM≌△DOM(SSS),
    所以∠COM=∠DOM,
    即OM是∠AOB的平分线,
    故选:D.
    2.(2021•淮安)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,连接AE,若AE=4,EC=2,则BC的长是(  )

    A.2 B.4 C.6 D.8
    【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EA=4,结合图形计算,得到答案.
    【解答】解:∵DE是AB的垂直平分线,AE=4,
    ∴EB=EA=4,
    ∴BC=EB+EC=4+2=6,
    故选:C.
    3.(2021•姑苏区一模)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD恰好平分∠ACB.若AD=2,BD=3,则AC的长是(  )

    A.10 B.3 C.25 D.6
    【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CD=BD=3,证明△ACD∽△ABC,根据相似三角形的性质列出比例式,把已知数据代入计算,得到答案.
    【解答】解:∵BC的垂直平分线MN交AB于点D,
    ∴CD=BD=3,
    ∴∠B=∠DCB,AB=AD+BD=5,
    ∵CD平分∠ACB,
    ∴∠ACD=∠DCB=∠B,
    ∵∠A=∠A,
    ∴△ACD∽△ABC,
    ∴ACAB=ADAC,即AC5=2AC,
    解得,AC=10,
    故选:A.
    4.(2021•新吴区二模)如图,C为线段AB上一点,在线段AB的同侧分别作等边△ACD、△BCE,连接AE、BD相交于F,连接CF.若S△DEF=83,则CF的长为(  )

    A.42 B.33 C.32 D.43
    【分析】如图,作EH⊥BD于H.首先证明∠DFA=∠AFC=∠CFB=60°,再证明△DFC∽△CFE,推出DFCF=CFEF,推出CF2=DF•EF,由S△DEF=12•DF•EF•sin60°=83,推出DF•EF=32,可得CF2=32,由此即可解决问题.
    【解答】解:如图,作EH⊥BD于H,设AE与DC交于点O,

    ∵△ADC,△EBC都是等边三角形,
    ∴CA=CD,CE=CB,∠ACD=∠ECB=60°,
    ∴∠ACE=∠DCB,
    在△ACE和△DCB中,
    AC=CD∠ACE=∠DCBCE=CB,
    ∴△ACE≌△DCB(SAS),
    ∴∠CAE=∠CDB,
    ∵∠AOC=∠DOF,
    ∴∠DFO=∠OCA=60°,
    ∴△DOF∽△AOC,
    ∴DOAO=OFOC,
    ∴DOOF=AOOC,
    ∵∠AOD=∠FOC,
    ∴△DOA∽△FOC,
    ∴∠ADO=∠OFC=60°,∠DCF=∠DAF,
    ∴∠CFB=60°,
    ∴∠DFC=∠EFC=120°,
    ∵∠ECB=∠DAC=60°,
    ∴AD∥CE,
    ∴∠DAF=∠FEC,
    ∴∠DCF=∠FEC,
    ∴△DFC∽△CFE,
    ∴DFCF=CFEF,
    ∴CF2=DF•EF,
    ∵S△DEF=12•DF•EF•sin60°=83,
    ∴DF•EF=32,
    ∴CF2=32,
    ∵CF>0,
    ∴CF=42.
    故选:A.
    5.(2021•江阴市模拟)已知如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为线段BC上一点,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,F为DE中点,直线CF交射线BA于点G.下列说法:①若连接EC,则EC⊥BC;②∠BDA=∠EDC;③DE=CG;④若BD=2DC,则AD=5AG.其中正确的有(  )

    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    【分析】连接AF、EC,根据SAS证△BAD≌△CAE,推出∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,即可判断①;利用直角三角形中线的性质证AF=GF=FC,即可判断③;设DC=a,则BD=2a,解直角三角形得到AD=102a,AG=22a,即可判断④;取AD⊥BC时,得到∠BDA≠∠EDC,即可判断②.
    【解答】解:连接AF、EC,
    ∵∠BAC=∠DAE=90°,则∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD=90°,
    ∴∠BAD=∠CAE,
    又∵AB=AC,AD=AE,
    ∴△BAD≌△CAE(SAS),
    ∴∠ABC=∠ACE,BD=EC,
    ∵AB=AC,∠BAC=90°,
    ∴∠ABC=∠ACB=45°,
    ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°,
    ∴EC⊥BC,
    故①正确;
    当AD⊥BC时,∠ADB=90°,
    ∵∠ADE=45°,
    ∴∠EDC=45°,
    ∴∠BDA≠∠EDC,
    故②错误;
    ∵∠BCE=90°,F为DE的中点,
    ∴CF=DF=EF=12DE,
    ∵∠DAE=90°,F为DE的中点,
    ∴AF=DF=EF=12DE,
    ∴AF=CF,
    ∴∠FAC=∠FCA,
    又∵∠GAC=90°,
    ∴∠GAF+∠FAC=∠AGF+∠FCA=90°,
    ∴∠GAF=∠AGF,
    ∴GF=AF,则AF=GF=FC=12CG,
    ∴DE=CG,
    故③正确;
    ∵BD=2DC,
    设DC=a,则BD=2a,
    ∴BC=3a,AB=AC=BC•sin45°=322a,
    在Rt△DCE中,EC=BD=2a,DC=a,
    ∴DE=EC2+DC2=5a,
    在等腰直角三角形ADE中,AD=22DE=102a,
    又∵∠GAC=90°,CG=DE=5a,
    ∴AG=CG2−AC2=(5a)2−(322a)2=22a,
    ∴AD=5AG,
    故④正确,
    综上,正确结论有3个,
    故选:C.

    6.(2021•常州二模)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AB=3,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AE=1.连接DE.过点D作DF⊥DE交BE于点F.则DF长度为(  )

    A.2 B.2−22 C.32−3 D.1+22
    【分析】证明△BFD≌△AED(ASA),由全等三角形的性质得出DE=DF,BF=AE=1,由勾股定理求出BE=22.则可求出答案.
    【解答】解:∵AD⊥BC,
    ∴∠ABD=90°,
    ∵∠ABC=45°,
    ∴∠ABD=∠BAD,
    ∴AD=BD,
    ∵又DE⊥DF,
    ∴∠FDE=90°,
    ∴∠BDF=∠ADE,
    又∵BE⊥AC,
    ∴∠EBC+∠C=90°,
    ∵∠C+∠DAC=90°,
    ∴∠EBC=∠DAC,
    在△BFD和△AED中,
    ∠BDF=∠ADEBD=AD∠FBD=∠DAE,
    ∴△BFD≌△AED(ASA),
    ∴DE=DF,BF=AE=1,
    ∵AB=3,
    ∴BE=AB2−AE2=32−12=22,
    ∴EF=BE﹣BF=22−1,
    ∴DF=22EF=22(22−1)=2−22.
    故选:B.
    7.(2020•南通)如图,在△ABC中,AB=2,∠ABC=60°,∠ACB=45°,D是BC的中点,直线l经过点D,AE⊥l,BF⊥l,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为(  )

    A.6 B.22 C.23 D.32
    【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段,然后再根据垂线段最短来进行计算即可.
    【解答】解:如图,过点C作CK⊥l于点K,过点A作AH⊥BC于点H,
    在Rt△AHB中,
    ∵∠ABC=60°,AB=2,
    ∴BH=1,AH=3,
    在Rt△AHC中,∠ACB=45°,
    ∴AC=AH2+CH2=(3)2+(3)2=6,

    ∵点D为BC中点,
    ∴BD=CD,
    在△BFD与△CKD中,
    ∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDKBD=CD,
    ∴△BFD≌△CKD(AAS),
    ∴BF=CK,
    延长AE,过点C作CN⊥AE于点N,
    可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,
    在Rt△ACN中,AN<AC,
    当直线l⊥AC时,最大值为6,
    综上所述,AE+BF的最大值为6.
    故选:A.
    二.填空题(共5小题)
    8.(2020•南京)如图,线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O,若∠1=39°,则∠AOC= 78° .

    【分析】解法一:连接BO,并延长BO到P,根据线段的垂直平分线的性质得AO=OB=OC和∠BDO=∠BEO=90°,根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC=180°,根据外角的性质得∠AOP=∠A+∠ABO,∠COP=∠C+∠OBC,相加可得结论.
    解法二:连接OB,同理得AO=OB=OC,由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD,∠BOE=∠COE,由平角的定义得∠BOD+∠BOE=141°,最后由周角的定义可得结论.
    【解答】解:解法一:连接BO,并延长BO到P,

    ∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O,
    ∴AO=OB=OC,∠BDO=∠BEO=90°,
    ∴∠DOE+∠ABC=180°,
    ∵∠DOE+∠1=180°,
    ∴∠ABC=∠1=39°,
    ∵OA=OB=OC,
    ∴∠A=∠ABO,∠OBC=∠C,
    ∵∠AOP=∠A+∠ABO,∠COP=∠C+∠OBC,
    ∴∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABC+∠C=2×39°=78°;
    解法二:
    连接OB,

    ∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O,
    ∴AO=OB=OC,
    ∴∠AOD=∠BOD,∠BOE=∠COE,
    ∵∠DOE+∠1=180°,∠1=39°,
    ∴∠DOE=141°,即∠BOD+∠BOE=141°,
    ∴∠AOD+∠COE=141°,
    ∴∠AOC=360°﹣(∠BOD+∠BOE)﹣(∠AOD+∠COE)=78°;
    故答案为:78°.
    9.(2021•仪征市二模)如图所示的网格是正方形网格,图形的各个顶点均为格点,则∠1+∠2= 135° .

    【分析】直接利用网格得出对应角∠1=∠3,进而得出答案.
    【解答】解:如图所示:
    由题意可得:∠1=∠3,
    则∠1+∠2=∠2+∠3=135°.
    故答案为:135°.

    10.(2020•朝阳区三模)如图所示的网格是正方形网格,图形的各个顶点均为格点,则∠1+∠2= 45° .

    【分析】直接利用网格得出对应角∠1=∠3,进而得出答案.
    【解答】解:如图所示:
    由题意可得:∠1=∠3,
    则∠1+∠2=∠2+∠3=45°.
    故答案为:45°.

    11.(2021•射阳县三模)△ABC中,AB=AC=12厘米,∠B=∠C,BC=9厘米,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.若点Q的运动速度为3厘米/秒,则当△BPD与△CQP全等时,v的值为 2.25或3 .

    【分析】分两种情况讨论:①若△BPD≌△CPQ,根据全等三角形的性质,则BD=CQ=6厘米,BP=CP=12BC=12×9=4.5(厘米),根据速度、路程、时间的关系即可求得;②若△BPD≌△CQP,则CP=BD=6厘米,BP=CQ,得出9−vt=6vt=3t,解得:v=3.
    【解答】解:∵△ABC中,AB=AC=12厘米,点D为AB的中点,
    ∴BD=6厘米,
    若△BPD≌△CPQ,则需BD=CQ=6厘米,BP=CP=12BC=12×9=4.5(厘米),
    ∵点Q的运动速度为3厘米/秒,
    ∴点Q的运动时间为:6÷3=2(s),
    ∴v=4.5÷2=2.25(厘米/秒);
    若△BPD≌△CQP,则需CP=BD=6厘米,BP=CQ,
    ∴9−vt=6vt=3t,
    解得:v=3;
    ∴v的值为:2.25或3,
    故答案为:2.25或3
    12.(2020•北京)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD,这个条件可以是  BD=CD (写出一个即可).

    【分析】由题意可得∠ABC=∠ACD,AB=AC,即添加一组边对应相等,可证△ABD与△ACD全等.
    【解答】解:∵AB=AC,
    ∴∠ABD=∠ACD,
    添加BD=CD,
    ∴在△ABD与△ACD中
    AB=AC∠ABD=∠ACDBD=CD,
    ∴△ABD≌△ACD(SAS),
    故答案为:BD=CD.
    三.解答题(共5小题)
    13.(2021•常州)如图,B、F、C、E是直线l上的四点,AB∥DE,AB=DE,BF=CE.
    (1)求证:△ABC≌△DEF;
    (2)将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC.
    ①用直尺和圆规在图中作出△A′BC(保留作图痕迹,不要求写作法);
    ②连接A′D,则直线A′D与l的位置关系是  平行 .

    【分析】(1)根据等式的性质得出BC=EF,利用平行线的性质得出∠ABC=∠DEF,进而利用SAS证明△ABC≌△DEF即可;
    (2)根据轴对称的性质画出图形,进而解答即可.
    【解答】证明:(1)∵BF=CE,
    ∴BF+FC=CE+FC,
    即BC=EF,
    ∵AB∥DE,
    ∴∠ABC=∠DEF,
    在△ABC与△DEF中,
    AB=DE∠ABC=∠DEFBC=EF,
    ∴△ABC≌△DEF(SAS);
    (2)①如图所示,△A′BC即为所求:

    ②直线A′D与l的位置关系是平行,
    故答案为:平行.
    14.(2021•无锡)已知:如图,AC,DB相交于点O,AB=DC,∠ABO=∠DCO.
    求证:(1)△ABO≌△DCO;
    (2)∠OBC=∠OCB.

    【分析】(1)由已知条件,结合对顶角相等可以利用AAS判定△ABO≌△DCO;
    (2)由等边对等角得结论.
    【解答】证明:(1)在△ABO和△DCO中,
    ∠AOB=∠COD∠ABO=∠DCOAB=DC,
    ∴△ABO≌△DCO(AAS);
    (2)由(1)知,△ABO≌△DCO,
    ∴OB=OC
    ∴∠OBC=∠OCB.
    15.(2021•南京)如图,AC与BD交于点O,OA=OD,∠ABO=∠DCO,E为BC延长线上一点,过点E作EF∥CD,交BD的延长线于点F.
    (1)求证△AOB≌△DOC;
    (2)若AB=2,BC=3,CE=1,求EF的长.

    【分析】(1)由AAS证明△AOB≌△DOC即可;
    (2)由全等三角形的性质得AB=DC=2,再证△BCD∽△BEF,得DCEF=BCBE,即可求解.
    【解答】(1)证明:在△AOB和△DOC中,
    ∠ABO=∠DCO∠AOB=∠DOCOA=OD,
    ∴△AOB≌△DOC(AAS);
    (2)解:由(1)得:△AOB≌△DOC,
    ∴AB=DC=2,
    ∵BC=3,CE=1,
    ∴BE=BC+CE=4,
    ∵EF∥CD,
    ∴△BCD∽△BEF,
    ∴DCEF=BCBE,
    即2EF=34,
    解得:EF=83.
    16.(2021•苏州模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,直线DE是边AB的垂直平分线,连接BE.
    (1)若∠A=35°,则∠CBE= 20 °;
    (2)若AE=3,EC=1,求△ABC的面积.

    【分析】(1)根据直角三角形的性质求出∠ABC,根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB,进而得到∠EBA=∠A=35°,计算即可;
    (2)根据勾股定理求出BC,根据三角形的面积公式计算,得到答案.
    【解答】解:(1)∵∠C=90°,∠A=35°,
    ∴∠ABC=90°﹣35°=55°,
    ∵DE是线段AB的垂直平分线,
    ∴EA=EB,
    ∴∠EBA=∠A=35°,
    ∴∠CBE=55°﹣35°=20°,
    故答案为:20;
    (2)∵EB=EA=3,
    ∴BC=EB2−EC2=22,
    ∴△ABC的面积=12×CA×BC=42.
    17.(2021•盐城二模)如图,AB是⊙O的直径,点D、E在⊙O上,连接AE、ED、DA,连接BD并延长至点C,使得∠DAC=∠AED.
    (1)求证:AC是⊙O的切线;
    (2)若点E是BD的中点,AE与BC交于点F,
    ①求证:CA=CF;
    ②若⊙O的半径为3,BF=2,求AC的长.

    【分析】(1)根据AB是⊙O的直径,可得∠ADB=90°,证明∠CAB=90°,即可得结论;
    (2)①根据点E是BD的中点,可得∠DAE=∠BAE,证明∠CFA=∠CAF,可得CA=CF;
    ②设CA=CF=x,则BC=CF+BF=x+2,根据勾股定理列出方程求出x的值,即可得AC的长.
    【解答】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ADB=90°,
    ∴∠DBA+∠DAB=90°,
    ∵∠DBA=∠DEA.∠DAC=∠DEA,
    ∴∠DAC=∠DBA,
    ∴∠DAC+∠DAB=90°,
    ∵AB是⊙O的直径,∠CAB=90°,
    ∴AC是⊙O的切线;
    (2)①证明:∵点E是BD的中点,
    ∴∠DAE=∠BAE,
    ∵∠CFA=∠DBA+∠BAE,∠CAF=∠DAC+∠DAE,∠DAC=∠DBA,
    ∴∠CFA=∠CAF,
    ∴CA=CF;
    ②解:设CA=CF=x,
    则BC=CF+BF=x+2,
    ∵⊙O的半径为3,
    ∴AB=6,
    在Rt△ABC中,根据勾股定理,得
    CA2+AB2=BC2,
    ∴x2+62=(x+2)2,
    解得x=8,
    ∴AC=8.
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