河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题

洛阳市2020-2020学年第一学期期中考试

高一数学试卷

本试卷分第I卷(选择题）和第II卷(能选择题)两部分.第1卷1至2页，第II卷3 至4页.共150分.考试时间120分钟.

第I卷(选择题，共60分）

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.

2. 考试结束，将答题卡交回.

―、选择题:本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合 A = {a,4}, B = {2,3,4}，A B={2}则 A U B=

A. {2,3,4}  B. {3} C. {1,2,3,4} D. {2,4}

2.函数+的定义域是

A. (0, +).         B.[-1, +

C. (-1,0)  U (0, +)       D. (-1,+)

3.下列函数中， 是相等函数的为

A. .      B. .

C..     D. .

4.下列函数中，既是奇函数又在(0, +)上单调递增的是

A.         B.

C.      D.

5.若 > l，,，则a，b，c的大小关系是

A. a <b<c B. c <a <b C. c < b < a D. a<c <b

6.定义在R上的函数满足）,且,则

A.   B.2   C.4   D.6

7.已知函数,则的值域为

A. [-4, +).  B.[-3, +C. [0, +)  D. [0,4]

8. 已知函数分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且则

A．   B. C.         D.

9. 函数且 在同一直角坐标系中的部分图像可能是

   A                      B                   C                  D

10.函数的零点所在的区间是        .

A.(0,)   B.(,     C. (,) D. (,)

11. 已知是定义在R上的奇函数，满足，当时，，则下列结论错误的是

A.方程 = 0最多有四个解 B.函数的值域为[]

C函数的图象关于直线对称  D. f(2020) =0

12.已知函数 若存在互不相等的实数a,b,c,d满足|=|,则的取值范围为

A. (0, +).  B.(-2, +C. (2,  D.  (0,

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分

13. 函数的图像恒过定点的坐标为______

14.

15. 若是定义在R上的奇函数，当时，为常数)，

则当时，。

16.有以下结论：

将函数的图象向右平移1个单位得到的图象；

②函数与的图象关于直线y =x对称

③对于函数 ( > 0,且)，一定有

函数的图象恒在轴上方.

其中正确结论的序号为_________.

三、解答题:本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分 10 分）

已知全集，集合

(1)若A，求实数m的值；

(2)若AUB = B，求实数m的取值范围.

18.(本小题满分12分） 

求下列各式的植：

(1)

(2)

20.(本小题满分12分〉

已知函数为奇函数，

(1)求实数a的值

(2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明|

(3)解不等式> 0.

20.(本小题满分12分）

已知函数.

(1) 若存在一正,一负两个零点，求实数的取值范围

(2) 若在区间(-,2]上是减函数，求在[1，a]上的最大值.

21. (本小题满分12分）

某工厂可以生产甲、乙两类产品，设甲、乙两种产品的年利润分别为、百万元，根据

调查研究发现，年利润与前期投人资金百万元的关系分别为 (其中都为常数），函数、的图象分别是、，如图所示，曲线、均过点(5,1).

(1) 求函数、的解析式；

(2) 若该工厂用于投资生产甲、乙产品共有5百万元资金,问：如何分配资金能使一年的总利润最大，最大总利润是多少万元？

22.(本小题满分 12 分）

因函数(t>0)的图象形状象对勾，我们称形如“(t>0)”的函数为“对勾函数”该函数具有性质:在(0,] 上是减函数，在(，+)上是增函数.

(1)已知利用上述性质,求函数的单调区间和值域；

(2)对于⑴中的函数和函数,若对任意 [1，3]，总存在 [1,3],使得成立，求实数m的取值范围.

洛阳市2020—2021学年第一学期期中考试

高一数学试卷参考答案

一、选择题

1—5CABDC 6—10BBBAC 11—12AD

二、填空题

13. (1，2) 14. 13 15. - -2 + 1 16.②③④

三、 解答题

17解:(1)由已知得，∁v B= {x | m — 2 ≤x≤ m + 2}，

                                                     ……2分

∵A ∁v B = {x|0≤x ≤ 3}，

∴即

∴ m = 2.              …… 5 分

(2)5 A U B= B，

∴ A B.              …… 6分

∴  m — 2 > 3 或 m+2<一 1，         …… 8 分

∴ m > 5 或 m< - 3.

即实数m的取值范围为{m | m > 5或m<- 3}.       ……10分

18.解:((1)原式 =  X+ X +6 分

= 2 + + = .           ……6 分

(2)原式 = -lg2 Ig5

=2 - Ig2 -lg2 Ig5

=2-lg2Ig5

=2-

=……12分

19.解：（1)∵ 的解集是 R，

∴ 的定义域是R.               ……1分

又 ∵ 是奇函数，∴=0. ∴a - 1 = 0,即 a= 1.

… …3 分

经检验知，当a = 1时，，符合题意.           ……4分

(2)由（1)知  ，

经判断可知在R上是増函数.                               ……5分

任取 ， R，且 <，则-

=，             ……6 分

∴ y= 为増函数，<， ∴ 0.

∴  > 0,  > 0 < 0.

∴- 0,即<.                          ……3 分

∴ 在R上是增函数.           ……8分

⑶由，可得         ……9分

∴ 一 1 > 〇

解得 >1，

∴原不等式的解集为（1,+).         ……12分

20. 解：（1)若存在一正、一负两个零点，则

 ，

解得< <

∴的取值范围为().         ……5分

(2)若在区间(，2]上是减函数，则函数图象的对称轴 ,

解得,            ……7 分

当时，函数单调递减，当时，函数单调递増，                                                                                                                      ……8分

且 ，      ……9 分

∴=

∵ ，∴ 0.        ……11 分

故在[1，a]上的最大值为.       ……12分

21. 解：（1)由函数的图象过点（0,0)，（5，1)得，所以

;              ……2 分

由函数的图象过点（0,0)，（5，1)得5b= 1，所以b = .   ……3分

所以.         ……5分

(2)设投资甲产品为百万元，则投资乙产品为（5 -)百万元，0 ，

则总利润  ……7分

设，

则 ，

所以即时，最大为.        ……11分

即投资甲产品225万元，投资乙产品275万元，获得最大利润为105万元.

……12 分

22.解：（1)

令 ∵1， ∴ 1.       ……1 分

则

由对勾函数的性质，可得在[1，2]上单调递减，在(2,5]上单调递増，  ……2分

∴在[1，]上是减函数，在(,3]上是增函数.       ……4分

                                          ……5 分

综上可得，的单调递减区间为[1，]，单调递增区间为(,3],值域为[0,].

                  ……6分

(2)由（1)知时，若存在，3]，使得 g() <成立，

只需g(x) =在，3]上有解即可，      ……8分

即m> (x + )最小值，令u(x) = x + , u(x)在[1，2]上是减函数，在[2，3]上是

增函数                  ……10 分

u(x)最小值=u(2) = 4，                                             ……11 分

∴m >4.

即实数m的取值范围为（4,+.            ……12分