2022-2023学年河南省洛阳市高一上学期期中考试数学试题含解析

  洛阳市2022—2023学年第一学期期中考试

高一数学试卷

本试卷共4页，共150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.

2．考试结束，将答题卡交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集，，，则=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由集合基本运算求解即可.

【详解】∵，，∴，

∵，∴.

故选：B.

2. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用不等式的基本性质可判断AB选项；利用作差法可判断CD选项.

【详解】对于A选项，由不等式的基本性质可得，A错；

对于B选项，由不等式的基本性质可得，B错；

对于C选项，，C错；

对于D选项，，则，D对.

故选：D.

3. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】使用含有一个量词命题的否定知识对选项是否正确进行判断.

【详解】全称量词命题“，”的否定是存在量词命题“，”，

∴命题“，”的否定是“，”.

故选：C.

4. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数单调性，结合指数运算，即可比较大小.

【详解】因为是上的单调减函数，故，又，则，即.

故选：A.

5. 设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由p是q的充分不必要条件得到两个范围对应集合之间的包含关系，进而得到实数a的取值范围.

【详解】因为p是q的充分不必要条件，所以，所以，即实数a的取值范围是.

故选：B.

6. 已知正数x，y满足，则xy的最大值为（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】先根据题干条件列出不等式组，求出，再根据基本不等式求出最值.

【详解】因为正数x，y满足，

所以，解得：，

故，当且仅当，即时，等号成立，

所以的最大值为

故选：B

7. 已知幂函数过点，则的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出幂函数的解析式，再解不等式即可得解.

【详解】设，则，则，，

由可得，解得，

因此，不等式的解集为.

故选：C.

8. 若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）

A. (-1，2） B.  C. (-2，1) D.

【答案】A

【解析】

【分析】将化为，再由单调区间可得答案.

【详解】，因其在上单调递减，

则，得.

故选：A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多相符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设全集为，为的子集，且，则下列结论中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据包含关系和交并补的定义依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，，A正确；

对于B，，，B正确；

对于C，当时，，C错误；

对于D，，，D正确.

故选：ABD.

10. 下列函数中最大值为2的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】由二次函数特征可判断A正确；由对勾函数特征判断B错误；C由绝对值性质易判断正确；D由指数函数的性质可判断错误.

【详解】，可看作复合，当时，取最大值4，取最大值2，故A项正确；

，当时，，当且仅当时取到，故无最大值，故B项错误；

，，故C项正确；

，则，即函数的值域为，故D项错误.

故选：AC.

11. 已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数，则下列结论中正确的是（    ）

A.  B. 函数是奇函数

C. 方程有无数解 D. 函数f（x）的值域为Z

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题目中函数的定义，可设函数，结合不等关系、奇函数定义，可得答案.

【详解】由题意，设，则，

对于A，显然，则，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，当时，，，故C正确；

对于D，由函数定义，可得D正确.

故选：ACD.

12. 已知函数的定义域为，且．若为奇函数，为偶函数，则（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性得到，，取，，，代入计算得到答案.

【详解】为奇函数，故，即，

偶函数，即.

取得到，故，A错误；

取得到，B正确；

取得到，即，C错误；

取得到，即，D正确.

故选：BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数的定义域为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件及分母不为0得不等式组，解之可得．

【详解】解：由题意得：

，

解得：且，

所以函数的定义域为．

故答案为：．

14. 若函数为奇函数，则实数a=______．

【答案】

【解析】

【分析】由奇函数的定义，函数满足，解出a的值.

【详解】因为是奇函数，所以，

即，所以，

所以.

故答案为：-1.

15. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：

若某户居民本月交纳的水费为81元，则此户居民本月用水量为______．

【答案】19

【解析】

【分析】由题可得水费与用水量的解析式，进而根据水费即可求得用水量.

【详解】设此户居民月用水量为，月缴纳水费为元

则

整理得：

当时，

当时，，

所以，解得，

所以此户居民本月用水量为19

故答案为：19.

16. 已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为______．

【答案】

【解析】

【分析】由不等式的解集为，可求得的两根，即可表示出不等式的解集.

【详解】因为关于x的不等式的解集为，则，是一元二次方程的两根，且，则，，，则不等式即为，因为，所以，即，因为，所以的两根分别为，，所以不等式的解集为

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤.

17. （1）计算；

（2）化简．

【答案】（1）103；（2）1

【解析】

【分析】（1）利用指数幂的运算求解；

（2）利用根式运算求解.

【详解】解：（1），

=100+1-6+8=103．

（2），

=4-π+π-3=1．

18. 已知集合，．

（1）当时，求，；

（2）若，求实数m的取值范围．

【答案】（1）或，或   

（2）

【解析】

【分析】（1）将代入，解出，再利用集合交集、并集、补集的计算求解即可.

（2）根据，得出，再利用集合的交集即可求解.

【小问1详解】

当时，，，

由，得．

．

【小问2详解】

由，得，且由题意得，.则或，

解得或．所以实数m的取值范围是．

19. 给定函数，，．，用表示，中的最小者，记为．

（1）请用图象法和解析法表示函数；

（2）根据图象说出函数的单调区间及在每个单调区间上的单调性，并求此时函数的最大值和最小值．

【答案】（1）答案见解析；   

（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）求得的交点坐标，根据的定义，将其写成分段函数即可，再根据常见函数的图象，画图即可；

（2）数形结合，即可求得单调区间，结合函数单调性和区间端点处的函数值，即可求得最值.

【小问1详解】

令，即，解得，或．

根据题意，

故其函数图象如下所示：

.

【小问2详解】

数形结合可知，函数的单调区间是；

函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．

由，，，知，

当时，取得最大值，最大值为8，

当时，取得最小值，最小值为-1．

20. 某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在2h内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．每毫升血液中的药物含量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线段AB是函数（，，k，a是常数）的图象，且，．

（1）写出注射该药后每毫升血液中药物含量y关于时间t的函数关系式；

（2）据测定：每毫升血液中药物含量不少于1μg时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？

（3）若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次注射后再过1.5h，该人每毫升血液中药物含量为多少μg（精确到0.1μg）？

【答案】（1）   

（2）最迟13点注射药物   

（3）6.4μg

【解析】

【分析】（1）根据函数图象分段求解函数解析式即可；

（2）根据题意列出不等式，求解出答案；

（3）分别求解出第每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果．

【小问1详解】

解：当时，；

当时，把，代入（，，k，a是常数），

得，解得，故.

【小问2详解】

解：设第一次注射药物后最迟过t小时注射第二次药物，其中．

则，解得，

即第一次注射药物5h后开始第二次注射药物，即最迟13点注射药物．

【小问3详解】

解：第二次注射药物1.5h后，

每毫升血液中第一次注射药物的含量，

每毫升血液中第二次注射药物的含量，

所以此时两次注射药物后的药物含量为．

故该人每毫升血液中药物含量为6.4μg．

21. 已知（，且）．

（1）解关于x的不等式；

（2）若，且对，，求实数n的取值范围．

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）对不等式变形得到，结合恒成立，得到，分与两种情况，求出不等式的解集；

（2）根据函数单调性解不等式，得到，分与两种情况，参变分离结合基本不等式求出实数n的取值范围.

【小问1详解】

可化为，即，

因为恒成立，故．

当，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为．

【小问2详解】

当时，因为，是减函数，

所以是减函数，又因为，

得，即．当时，不等式恒成立，，

当时，不等式两边同除以得：，

因为，当且仅当时等号成立，所以．

综上，实数n的取值范围是．

22. 已知函数的定义域为R，对任意实数x，y，．当时，，．

（1）求，的值；

（2）判断函数的单调性并加以证明；

（3）解不等式．

【答案】（1），2   

（2）减函数，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）令，得，令，，得，解得答案.

（2）函数是减函数，，，变换得到，得到证明.

（3）不等式变换为，再根据函数的单调性得到答案.

【小问1详解】

令，得，即．

令，，得，即．

【小问2详解】

函数是减函数，证明如下：

，，当时，，则，

，即，

所以函数是减函数．

【小问3详解】

，所以，即，

因为函数是减函数，不等式可化为，

所以，解得，不等式的解集为．