2020-2021年河南省洛阳市高一（下）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021年河南省洛阳市高一（下）期中考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. sin11π3的值为( )
A.−32B.32C.−12D.12

2. 关于平面向量a→，b→，c→，下列结论正确的是( )
A.b→⋅a→=b→⋅c→，则a→=c→
B.a→⋅b→=0，则a→与b→中至少有一个为0→
C.a→⋅b→c→=b→⋅c→a→
D.|a→⋅b→|=|a→|⋅|b→|，则a→//b→

3. 在四边形ABCD中，AB→=a→+2b→，BC→=−4a→−b→，CD→=−5a→−3b→，则四边形ABCD的形状是( )
A.矩形B.平行四边形C.梯形D.无法判断

4. 点P为圆x2+y2=1与x轴正半轴的交点，将点P沿圆周逆时针旋转至P′，当转过的弧长为23π时，点P′的坐标为( )
A.12,−32B.−12,32C.−32,12D.32,−12

5. 已知△ABC是边长为2的正三角形，则向量AB→在BC→上的投影是( )
A.−1B.1C.−3D.3

6. 为了得到y=sin2x，x∈R的图象，只需把y=sin2x+π2，x∈R图象上所有的点( )
A.向左平移π4个单位长度B.向右平移π4个单位长度
C.向左平移π2个单位长度D.向右平移π2个单位长度

7. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0，A，φ∈R）的部分图象如图所示，那么fπ4=( )

A.6+24B.12C.22D.32

8. 在△ABC中，若tanA⋅tanB>1，则△ABC的形状是( )
A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.无法判断

9. AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，AE→=EO→，则EC→⋅ED→=( )
A.−14B.−34C.−54D.−1516

10. 已知函数fx=|sinx+csx|，下列结论正确的是( )
A.函数fx的最小正周期为π，最大值为2
B.函数fx的最小正周期为2π，最大值为2
C.函数fx的最小正周期为π，最大值为2
D.函数fx的最小正周期为π2，最大值为2

11. 函数fx=sinπx−lg5x的零点的个数为( )
A.3B.4C.5D.6

12. 函数fθ=sinθcsθ−2,θ∈0,π的最小值为（ ）
A.0B.−12C.−33D.−3
二、填空题


sin15∘+sin75∘=________．

已知向量a→，b→满足|a→|=|b→|=|a→+b→|=1，那么|a→−b→|=________.

若函数fx=2sinx+π4+msinx−π4是偶函数，则m=________.

已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为(−2,0)，O为原点，则AO→⋅AP→的最大值为________.
三、解答题


(1)已知向量a→=1,−1，b→=6,−4．若a→⊥ta→+b→，求实数t的值；

(2)若向量m→，n→不共线，向量λm→+n→与m→+2n→共线，求实数λ的值．

已知sinθ−csθ=15，θ∈0,π．
(1)求sinθ，csθ的值；

(2)求sin2θ−π4的值．

如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，O是其中心，BG→=12GC→．设AB→=a→，AF→=b→.

(1)用a→，b→分别表示AO→及AG→；

(2)求|AG→|及AD→与AG→夹角θ的余弦．

已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m→=−1,3，n→=csA,sinA，且m→⊥n→.
(1)求角A；

(2)若1+sin2Bcs2B−sin2B=−3，求tanC．

已知fx=2sinxsinx+csx．
(1)求函数fx的单调递增区间及最大值；

(2)用“五点法”画出函数y=fx在区间0,π上的图象．

已知向量a→=(cs32x, sin32x)，b→=(csx2, −sinx2)，且x∈[0, π2].
(1)求a→⋅b→及|a→+b→|；

(2)若f(x)=a→⋅b→−2λ|a→+b→|的最小值是−32，求λ的值．
参考答案与试题解析
2020-2021年河南省洛阳市高一（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
直接利用诱导公式化简求值即可．
【解答】
解：sin11π3=sin(4π−π3)=sinπ3=−32．
故选A.
2.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
利用向量数量积的运算法则逐项求解即可.
【解答】
解：对于A，若b→=0→，则结论不一定成立，故错误；
对于B，a→⊥b→时，也有a→⋅b→=0，故错误；
对于C，a→⋅b→结果为数量，b→⋅c→结果也为数量，则结论不成立，故错误；
对于D，|a→⋅b→|=|a→|⋅|b→|cs=|a→|⋅|b→|，
所以cs=1，a→//b→，故正确.
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
平行向量的性质
【解析】
由向量的知识可得AD→ // BC→，AB→与CD→不平行，进而可得四边形ABCD是梯形．
【解答】
解：∵ AB→=a→+2b→，BC→=−4a→−b→，CD→=−5a→−3b→，
∴ AD→=AB→+BC→+CD→=−8a→−2b→=2(−4a→−b→)=2BC→，
∴ AD→ // BC→，
同理，得AB→与CD→不平行，
∴ 四边形ABCD是梯形．
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
由题意推出∠P′Ox角的大小，然后求出P′点的坐标．
【解答】
解：点P从1,0出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达P′点，
所以∠P′Ox=2π3，
所以P′cs23π,sin23π，
即点P′的坐标为−12,32.
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
向量的投影
【解析】
由题意可知，AB在BC上的投影为AB→cs120∘，代入可求．
【解答】
解：因为△ABC的边长为2，∠B=60∘，
所以AB→在BC→上的投影为AB→cs120∘=2×−12=−1.
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
利用左加右减平移原则即可求解.
【解答】
解：∵ y=sin2x+π2=sin2x+π4，
∴ 将其向右平移π4个单位即可得y=sin2x.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
函数的求值
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由图，得fxmax=1，则A=1，
∵ T4=π3−π12=π4，
∴T=π，
又T=2πω，
∴ω=2πT=2ππ=2，
∴fx=sin2x+φ.
又fπ12=0，fπ3=1，
即sinπ6+φ=0，sin2π3+φ=1，
∴φ=−π6+kπ，φ=−π6+2kπ ，k∈Z，
∴ φ=−π6+2kπ，k∈Z，
∴fx=sin2x−π6+2kπ=sin2x−π6，
∴fπ4=sin2×π4−π6=sinπ3=32.
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
两角和与差的正切公式
【解析】
由条件可得A、B都是锐角，tanA>0，tanB>0，再由 tan(A+B)=tanA+tanB1−tanA⋅tanB<0，可得A+B为钝角，C为锐角，与偶此得出结论．
【解答】
解：∵ 在△ABC中，满足tanA⋅tanB>1，
∴ A，B都是锐角，
∴ tanA>0，tanB>0．
又tan(A+B)=tanA+tanB1−tanA⋅tanB<0，
∴ A+B为钝角，
∴ 由三角形内角和公式可知，C为锐角，
∴ △ABC是锐角三角形．
故选B.
9.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，
AE→=EO→，OD→=−OC→ ，
所以EC→⋅ED→=(EO→+OC→)⋅(EO→+OD→)
=(EO→+OC→)⋅(EO→−OC→)=EO→2−OC→2
=14−1=−34.
故选B．
10.
【答案】
A
【考点】
三角函数的周期性及其求法
三角函数的最值
两角和与差的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：fx=|sinx+csx|=2|22sinx+22csx|
=2|sin(x+π4)|，
∵ |sin(x+π4)|∈[0,1]，
∴ f(x)max=2|sin(x+π4)|=2，
最小正周期为T=π.
故选A.
11.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
函数的零点
【解析】
利用数形结合方法求解即可.
【解答】
解：函数y=sinπx和y=lg5x的图象如图，
由图可得，交点个数为5个，
即函数fx=sinπx−lg5x的零点个数为5.
故选C.
12.
【答案】
C
【考点】
两角和与差的正弦公式
函数最值的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为θ∈[0,π]，θ2∈[0,π2]，
所以fθ=sinθcsθ−2=2sinθ2csθ22cs2θ2−3
=2tanθ2−1−3tan2θ2=2−(1tanθ2+3tanθ2)
≥2−23=−33，
当且仅当1tanθ2=3tanθ2，即θ=π3时，
所以f(θ)min=f(π3)=−33.
故选C.
二、填空题
【答案】
62
【考点】
两角和与差的正弦公式
诱导公式
【解析】
利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．
【解答】
解：sin15∘+sin75∘
=sin15∘+cs15∘
=2(sin15∘cs45∘+cs15∘sin45∘)
=2sin60∘=62．
故答案为：62.
【答案】
3
【考点】
向量的概念与向量的模
平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】
利用向量数量积运算求得a→⋅b→=−12，再求模长即可.
【解答】
解：根据题意，向量a→，b→满足|a→|=|b→|=|a→+b→|=1，
则a→+b→2=a→2+b→2+2a→⋅b→=1，
解得a→⋅b→=−12，
所以a→−b→=a→−b→2=a→2−2a→⋅b→+b→2
=1−2×−12+1=3.
故答案为：3.
【答案】
−2
【考点】
诱导公式
正弦函数的奇偶性
【解析】
利用偶函数的定义求解.
【解答】
解：∵fx=2sinx+π4+msinx−π4为偶函数，
∴f−x=2sin−x+π4+msin−x−π4
=2sin[−(x−π4)]+msin[−(x+π4)]
=−2sinx−π4−msinx+π4
=−msinx+π4−2sinx−π4
=2sinx+π4+msinx−π4
=fx，
∴m=−2.
故答案为：−2.
【答案】
6
【考点】
平面向量数量积
余弦函数的定义域和值域
【解析】
本题考查向量的数量积．
【解答】
解：由题意知，AO→=(2,0)，
令P(csα,sinα)，则AP→=(csα+2,sinα)，
AO→⋅AP→=2(csα+2)≤6，当且仅当csα=1时取等号，
故AO→⋅AP→的最大值为6．
故答案为：6．
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ a→=1,−1，b→=6,−4，
∴ ta→+b→=6+t,−4−t.
∵ a→⊥ta→+b→，
∴ a→⋅b→+ta→=2t+10=0，
解得t=−5．
(2)∵ λm→+n→//m→+2n→，
∴ 存在实数x使λm→+n→=xm→+2n→．
即(λ−x)m→+(1−2x)n→=0→．
∵ m→与n→不共线，
∴ λ−x=0,1−2x=0,
∴ λ=12．
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平行向量的性质
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ a→=1,−1，b→=6,−4，
∴ ta→+b→=6+t,−4−t.
∵ a→⊥ta→+b→，
∴ a→⋅b→+ta→=2t+10=0，
解得t=−5．
(2)∵ λm→+n→//m→+2n→，
∴ 存在实数x使λm→+n→=xm→+2n→．
即(λ−x)m→+(1−2x)n→=0→．
∵ m→与n→不共线，
∴ λ−x=0,1−2x=0,
∴ λ=12．
【答案】
解：(1)∵ sinθ−csθ=15，
两边平方，得2sinθcsθ=2425．
∵ θ∈0,π，
∴ sinθ≥0，csθ的正负不确定，
∴ sinθ+csθ=±1+2sinθcsθ=75，
设sinθ+csθ=a，
则sinθ=1215+a≥0，
解得a≥−15，
∴ sinθ+csθ=75，
解得sinθ=45，csθ=35.
(2)∵ sinθ=45，csθ=35，
∴ sin2θ=2425，cs2θ=2cs2θ−1=−725，
∴ sin2θ−π4=sin2θcsπ4−cs2θsinπ4
=22sin2θ−cs2θ=31250．
【考点】
三角函数的化简求值
同角三角函数间的基本关系
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ sinθ−csθ=15，
两边平方，得2sinθcsθ=2425．
∵ θ∈0,π，
∴ sinθ≥0，csθ的正负不确定，
∴ sinθ+csθ=±1+2sinθcsθ=75，
设sinθ+csθ=a，
则sinθ=1215+a≥0，
解得a≥−15，
∴ sinθ+csθ=75，
解得sinθ=45，csθ=35.
(2)∵ sinθ=45，csθ=35，
∴ sin2θ=2425，cs2θ=2cs2θ−1=−725，
∴ sin2θ−π4=sin2θcsπ4−cs2θsinπ4
=22sin2θ−cs2θ=31250．
【答案】
解：(1)AO→=AF→+FO→=AF→+AB→=b→+a→，
AG→=AB→+BG→=AB→+13BC→=AB→+13AO→=34a→+13b→.
(2)∵ a→⋅b→=|a→|⋅b→|cs120∘=−12，
|AG→|2=43a→+13b→2
=169|a→|2+89a→⋅b→+19|b→|2=139，
∴ |AG→|=133，
又AD→=2a→+b→，|AD→|=2，
∴ AD→⋅AG→=2a→+b→⋅43a→+13b→
=23a→+b→⋅4a→+b→
=234a→2+5a→⋅b→+b→2=53，
∴ csθ=AD→⋅AG→|AD→||AG→|=532×133=51326，
即AD→与AG→夹角θ的余弦值为51326.
【考点】
向量在几何中的应用
向量的模
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)AO→=AF→+FO→=AF→+AB→=b→+a→，
AG→=AB→+BG→=AB→+13BC→=AB→+13AO→=34a→+13b→.
(2)∵ a→⋅b→=|a→|⋅b→|cs120∘=−12，
|AG→|2=43a→+13b→2
=169|a→|2+89a→⋅b→+19|b→|2=139，
∴ |AG→|=133，
又AD→=2a→+b→，|AD→|=2，
∴ AD→⋅AG→=2a→+b→⋅43a→+13b→
=23a→+b→⋅4a→+b→
=234a→2+5a→⋅b→+b→2=53，
∴ csθ=AD→⋅AG→|AD→||AG→|=532×133=51326，
即AD→与AG→夹角θ的余弦值为51326.
【答案】
解：(1)∵ m→⊥n→，m→=−1,3，n→=csA,sinA，
∴ m→⋅n→=3sinA−csA=0，
∴ tanA=33．
∵ A∈0,π，
∴ A=π6．
(2)∵ 1+sin2Bcs2B−sin2B=sinB+csB2cs2B−sin2B=csB+sinBcsB−sinB=−3，
∴ 1+tanB1−tanB=−3，
∴ tanB=2．
又tanC=tanπ−A+B=−tanA+B
=−tanA+tanB1−tanAtanB
=−33+21−233=6+323−3=8+53．
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
同角三角函数基本关系的运用
两角和与差的正切公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ m→⊥n→，m→=−1,3，n→=csA,sinA，
∴ m→⋅n→=3sinA−csA=0，
∴ tanA=33．
∵ A∈0,π，
∴ A=π6．
(2)∵ 1+sin2Bcs2B−sin2B=sinB+csB2cs2B−sin2B=csB+sinBcsB−sinB=−3，
∴ 1+tanB1−tanB=−3，
∴ tanB=2．
又tanC=tanπ−A+B=−tanA+B=−tanA+tanB1−tanAtanB
=−33+21−233=6+323−3=8+53．
【答案】
解：(1)∵ fx=2sinxsinx+csx
=2sin2x+2sinxcsx
=1−cs2x+sin2x
=2sin2x−π4+1，
∴ −π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ(k∈Z)，
解得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ(k∈Z)，fx单调递增，
即fx的单调递增区间为−π8+kπ,3π8+kπ(k∈Z)．
当且仅当2x−π4=2kπ+π2(k∈Z)，即x=kπ+3π8时，
fx取得最大值，fxmax=2+1．
(2)列表如下：
所以函数y=fx在区间0,π上的图象如图.
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦函数的单调性
三角函数的最值
五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ fx=2sinxsinx+csx
=2sin2x+2sinxcsx
=1−cs2x+sin2x
=2sin2x−π4+1，
∴ −π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ(k∈Z)，
解得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ(k∈Z)，fx单调递增，
即fx的单调递增区间为−π8+kπ,3π8+kπ(k∈Z)．
当且仅当2x−π4=2kπ+π2(k∈Z)，即x=kπ+3π8时，
fx取得最大值，fxmax=2+1．
(2)列表如下：
所以函数y=fx在区间0,π上的图象如图.
【答案】
解：(1)∵ a→=(cs32x, sin32x)，b→=(csx2, −sinx2)，
∴ a→⋅b→=cs32xcsx2−sin32xsinx2=cs2x，
∵ |a→+b→|2=a→2+b→2+2a→⋅b→=2+2cs2x=4cs2x，
且x∈[0, π2]，
∴ 1≥csx≥0，
∴ |a→+b→|=2csx.
(2)f(x)=a→⋅b→−2λ|a→+b→|
=cs2x−4λcsx=2(csx−λ)2−1−2λ2，
∵ x∈0,π2，
∴ csx∈0,1，
当λ<0时，当且仅当csx=0时，fx取得最小值为−1，与题意不符，舍去；
当0≤λ≤1时，当且仅当csx=λ时，fx取得最小值为−2λ2−1，
∴ −2λ2−1=−32，
∴ λ=12；
当λ>1时，当且仅当csx=1时，fx取得最小值为1−4λ，
∴ 1−4λ=−32，
∴ λ=58<1，不合题意，舍去．
综上可知，λ=12.
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
平面向量数量积坐标表示的应用
向量的模
三角函数的最值
【解析】
（1）利用向量数量积运算及三角函数公式求a→⋅b→，先求出，|a→+b→|2，再求|a→+b→|，
（2）f(x)=a→⋅b→−2λ|a→+b→|=cs2x−4λcsx=2(csx−λ)2−1−2λ2，①由此利用分类讨论思想能求出实数λ的值．
【解答】
解：(1)∵ a→=(cs32x, sin32x)，b→=(csx2, −sinx2)，
∴ a→⋅b→=cs32xcsx2−sin32xsinx2=cs2x，
∵ |a→+b→|2=a→2+b→2+2a→⋅b→=2+2cs2x=4cs2x，
且x∈[0, π2]，
∴ 1≥csx≥0，
∴ |a→+b→|=2csx.
(2)f(x)=a→⋅b→−2λ|a→+b→|
=cs2x−4λcsx=2(csx−λ)2−1−2λ2，
∵ x∈0,π2，
∴ csx∈0,1，
当λ<0时，当且仅当csx=0时，fx取得最小值为−1，与题意不符，舍去；
当0≤λ≤1时，当且仅当csx=λ时，fx取得最小值为−2λ2−1，
∴ −2λ2−1=−32，
∴ λ=12；
当λ>1时，当且仅当csx=1时，fx取得最小值为1−4λ，
∴ 1−4λ=−32，
∴ λ=58<1，不合题意，舍去．
综上可知，λ=12.2x−π4
−π4
0
π2
π
3π2
7π4
x
0
π8
3π8
5π8
7π8
π
fx
0
1
2+1
1
1−2
0
2x−π4
−π4
0
π2
π
3π2
7π4
x
0
π8
3π8
5π8
7π8
π
fx
0
1
2+1
1
1−2
0