2020-2021年河南省洛阳市某校高一（下）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021年河南省洛阳市某校高一（下）期中考试数学试卷人教A版

2020-2021年河南省洛阳市某校高一（下）期中考试数学试卷一、选择题 1. sin11π3的值为(        ) A.−32 B.32 C.−12 D.12 2. 关于平面向量a→，b→，c→，下列结论正确的是(        ) A.b→⋅a→=b→⋅c→，则a→=c→B.a→⋅b→=0，则a→与b→中至少有一个为0→C.a→⋅b→c→=b→⋅c→a→D.|a→⋅b→|=|a→|⋅|b→|，则a→//b→ 3. 在四边形ABCD中，AB→=a→+2b→，BC→=−4a→−b→，CD→=−5a→−3b→，则四边形ABCD的形状是(        ) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.无法判断 4. 点P为圆x2+y2=1与x轴正半轴的交点，将点P沿圆周逆时针旋转至P′，当转过的弧长为23π时，点P′的坐标为(        ) A.12,−32 B.−12,32 C.−32,12 D.32,−12 5. 已知△ABC是边长为2的正三角形，则向量AB→在BC→上的投影是(        ) A.−1 B.1 C.−3 D.3 6. 为了得到y=sin2x，x∈R的图象，只需把y=sin2x+π2，x∈R图象上所有的点(        ) A.向左平移π4个单位长度 B.向右平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度 D.向右平移π2个单位长度 7. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0，A，φ∈R）的部分图象如图所示，那么fπ4=(        ) A.6+24 B.12 C.22 D.32 8. 在△ABC中，若tanA⋅tanB>1，则△ABC的形状是(        ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法判断 9. AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，AE→=EO→，则EC→⋅ED→=(        ) A.−14 B.−34 C.−54 D.−1516 10. 已知函数fx=|sinx+cosx|，下列结论正确的是(        ) A.函数fx的最小正周期为π，最大值为2B.函数fx的最小正周期为2π，最大值为2C.函数fx的最小正周期为π，最大值为2D.函数fx的最小正周期为π2，最大值为2 11. 函数fx=sinπx−log5x的零点的个数为(        ) A.3 B.4 C.5 D.6 12. 函数fθ=sinθcosθ−2,θ∈0,π的最小值为（        ） A.0 B.−12 C.−33 D.−3二、填空题  sin15∘+sin75∘=________．  已知向量a→，b→满足|a→|=|b→|=|a→+b→|=1，那么|a→−b→|=________.   若函数fx=2sinx+π4+msinx−π4是偶函数，则m=________.   已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为(−2,0)，O为原点，则AO→⋅AP→的最大值为________. 三、解答题    (1)已知向量a→=1,−1，b→=6,−4．若a→⊥ta→+b→，求实数t的值； (2)若向量m→，n→不共线，向量λm→+n→与m→+2n→共线，求实数λ的值．  已知sinθ−cosθ=15，θ∈0,π． (1)求sinθ，cosθ的值； (2)求sin2θ−π4的值．  如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，O是其中心，BG→=12GC→．设AB→=a→，AF→=b→. (1)用a→，b→分别表示AO→及AG→； (2)求|AG→|及AD→与AG→夹角θ的余弦．  已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m→=−1,3，n→=cosA,sinA，且m→⊥n→. (1)求角A； (2)若1+sin2Bcos2B−sin2B=−3，求tanC．  已知fx=2sinxsinx+cosx． (1)求函数fx的单调递增区间及最大值； (2)用“五点法”画出函数y=fx在区间0,π上的图象．  已知向量a→=(cos32x, sin32x)，b→=(cosx2, −sinx2)，且x∈[0, π2]. (1)求a→⋅b→及|a→+b→|； (2)若f(x)=a→⋅b→−2λ|a→+b→|的最小值是−32，求λ的值．参考答案与试题解析2020-2021年河南省洛阳市某校高一（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】直接利用诱导公式化简求值即可．【解答】解：sin11π3=sin(4π−π3)=sinπ3=−32．故选A.2.【答案】D【考点】平面向量数量积的运算【解析】利用向量数量积的运算法则逐项求解即可.【解答】解：对于A，若b→=0→，则结论不一定成立，故错误；对于B，a→⊥b→时，也有a→⋅b→=0，故错误；对于C，a→⋅b→结果为数量，b→⋅c→结果也为数量，则结论不成立，故错误；对于D，|a→⋅b→|=|a→|⋅|b→|cos=|a→|⋅|b→|，所以cos=1，a→//b→，故正确.故选D.3.【答案】C【考点】平行向量的性质【解析】由向量的知识可得AD→ // BC→，AB→与CD→不平行，进而可得四边形ABCD是梯形．【解答】解：∵ AB→=a→+2b→，BC→=−4a→−b→，CD→=−5a→−3b→，∴ AD→=AB→+BC→+CD→=−8a→−2b→=2(−4a→−b→)=2BC→，∴ AD→ // BC→，同理，得AB→与CD→不平行，∴ 四边形ABCD是梯形．故选C.4.【答案】B【考点】任意角的三角函数【解析】由题意推出∠P′Ox角的大小，然后求出P′点的坐标．【解答】解：点P从1,0出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达P′点，所以∠P′Ox=2π3，所以P′cos23π,sin23π，即点P′的坐标为−12,32.故选B．5.【答案】A【考点】向量的投影【解析】由题意可知，AB在BC上的投影为AB→cos120∘，代入可求．【解答】解：因为△ABC的边长为2，∠B=60∘，所以AB→在BC→上的投影为AB→cos120∘=2×−12=−1.故选A．6.【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用左加右减平移原则即可求解.【解答】解：∵ y=sin2x+π2=sin2x+π4，∴ 将其向右平移π4个单位即可得y=sin2x.故选B.7.【答案】D【考点】函数的求值由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】此题暂无解析【解答】解：由图，得fxmax=1，则A=1，∵ T4=π3−π12=π4，∴T=π，又T=2πω，∴ω=2πT=2ππ=2，∴fx=sin2x+φ.又fπ12=0，fπ3=1，即sinπ6+φ=0，sin2π3+φ=1，∴φ=−π6+kπ，φ=−π6+2kπ ，k∈Z，∴ φ=−π6+2kπ，k∈Z，∴fx=sin2x−π6+2kπ=sin2x−π6，∴fπ4=sin2×π4−π6=sinπ3=32.故选D.8.【答案】B【考点】同角三角函数基本关系的运用两角和与差的正切公式【解析】由条件可得A、B都是锐角，tanA>0，tanB>0，再由 tan(A+B)=tanA+tanB1−tanA⋅tanB<0，可得A+B为钝角，C为锐角，与偶此得出结论．【解答】解：∵ 在△ABC中，满足tanA⋅tanB>1，∴ A，B都是锐角，∴ tanA>0，tanB>0．又tan(A+B)=tanA+tanB1−tanA⋅tanB<0，∴ A+B为钝角，∴ 由三角形内角和公式可知，C为锐角，∴ △ABC是锐角三角形．故选B.9.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：因为AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，AE→=EO→，OD→=−OC→ ，所以EC→⋅ED→=(EO→+OC→)⋅(EO→+OD→)=(EO→+OC→)⋅(EO→−OC→)=EO→2−OC→2=14−1=−34.故选B．10.【答案】A【考点】三角函数的周期性及其求法三角函数的最值两角和与差的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：fx=|sinx+cosx|=2|22sinx+22cosx|=2|sin(x+π4)|，∵ |sin(x+π4)|∈[0,1]，∴ f(x)max=2|sin(x+π4)|=2，最小正周期为T=π.故选A.11.【答案】C【考点】函数的图象函数的零点【解析】利用数形结合方法求解即可.【解答】解：函数y=sinπx和y=log5x的图象如图，由图可得，交点个数为5个，即函数fx=sinπx−log5x的零点个数为5.故选C.12.【答案】C【考点】两角和与差的正弦公式函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：因为θ∈[0,π]，θ2∈[0,π2]，所以fθ=sinθcosθ−2=2sinθ2cosθ22cos2θ2−3=2tanθ2−1−3tan2θ2=2−(1tanθ2+3tanθ2)≥2−23=−33，当且仅当1tanθ2=3tanθ2，即θ=π3时，所以f(θ)min=f(π3)=−33.故选C.二、填空题【答案】62【考点】两角和与差的正弦公式诱导公式【解析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：sin15∘+sin75∘=sin15∘+cos15∘=2(sin15∘cos45∘+cos15∘sin45∘)=2sin60∘=62．故答案为：62.【答案】3【考点】向量的概念与向量的模平面向量数量积的性质及其运算律【解析】利用向量数量积运算求得a→⋅b→=−12，再求模长即可.【解答】解：根据题意，向量a→，b→满足|a→|=|b→|=|a→+b→|=1，则a→+b→2=a→2+b→2+2a→⋅b→=1，解得a→⋅b→=−12，所以a→−b→=a→−b→2=a→2−2a→⋅b→+b→2=1−2×−12+1=3.故答案为：3.【答案】−2【考点】诱导公式正弦函数的奇偶性【解析】利用偶函数的定义求解.【解答】解：∵fx=2sinx+π4+msinx−π4为偶函数， ∴f−x=2sin−x+π4+msin−x−π4 =2sin[−(x−π4)]+msin[−(x+π4)] =−2sinx−π4−msinx+π4  =−msinx+π4−2sinx−π4 =2sinx+π4+msinx−π4 =fx， ∴m=−2.故答案为：−2.【答案】6【考点】平面向量数量积余弦函数的定义域和值域【解析】本题考查向量的数量积．【解答】解：由题意知，AO→=(2,0)，令P(cosα,sinα)，则AP→=(cosα+2,sinα)，AO→⋅AP→=2(cosα+2)≤6，当且仅当cosα=1时取等号，故AO→⋅AP→的最大值为6．故答案为：6．三、解答题【答案】解：(1)∵ a→=1,−1，b→=6,−4，∴ ta→+b→=6+t,−4−t.∵ a→⊥ta→+b→，∴ a→⋅b→+ta→=2t+10=0，解得t=−5．(2)∵ λm→+n→//m→+2n→，∴ 存在实数x使λm→+n→=xm→+2n→．即(λ−x)m→+(1−2x)n→=0→．∵ m→与n→不共线，∴ λ−x=0,1−2x=0,∴ λ=12．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平行向量的性质平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ a→=1,−1，b→=6,−4，∴ ta→+b→=6+t,−4−t.∵ a→⊥ta→+b→，∴ a→⋅b→+ta→=2t+10=0，解得t=−5．(2)∵ λm→+n→//m→+2n→，∴ 存在实数x使λm→+n→=xm→+2n→．即(λ−x)m→+(1−2x)n→=0→．∵ m→与n→不共线，∴ λ−x=0,1−2x=0,∴ λ=12．【答案】解：(1)∵ sinθ−cosθ=15，两边平方，得2sinθcosθ=2425．∵ θ∈0,π，∴ sinθ≥0，cosθ的正负不确定，∴ sinθ+cosθ=±1+2sinθcosθ=75，设sinθ+cosθ=a，则sinθ=1215+a≥0，解得a≥−15，∴ sinθ+cosθ=75，解得sinθ=45，cosθ=35.(2)∵ sinθ=45，cosθ=35，∴ sin2θ=2425，cos2θ=2cos2θ−1=−725，∴ sin2θ−π4=sin2θcosπ4−cos2θsinπ4=22sin2θ−cos2θ=31250．【考点】三角函数的化简求值同角三角函数间的基本关系二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ sinθ−cosθ=15，两边平方，得2sinθcosθ=2425．∵ θ∈0,π，∴ sinθ≥0，cosθ的正负不确定，∴ sinθ+cosθ=±1+2sinθcosθ=75，设sinθ+cosθ=a，则sinθ=1215+a≥0，解得a≥−15，∴ sinθ+cosθ=75，解得sinθ=45，cosθ=35.(2)∵ sinθ=45，cosθ=35，∴ sin2θ=2425，cos2θ=2cos2θ−1=−725，∴ sin2θ−π4=sin2θcosπ4−cos2θsinπ4=22sin2θ−cos2θ=31250．【答案】解：(1)AO→=AF→+FO→=AF→+AB→=b→+a→，AG→=AB→+BG→=AB→+13BC→=AB→+13AO→=34a→+13b→.(2)∵ a→⋅b→=|a→|⋅b→|cos120∘=−12，|AG→|2=43a→+13b→2=169|a→|2+89a→⋅b→+19|b→|2=139，∴ |AG→|=133，又AD→=2a→+b→，|AD→|=2，∴ AD→⋅AG→=2a→+b→⋅43a→+13b→=23a→+b→⋅4a→+b→=234a→2+5a→⋅b→+b→2=53，∴ cosθ=AD→⋅AG→|AD→||AG→|=532×133=51326，即AD→与AG→夹角θ的余弦值为51326.【考点】向量在几何中的应用向量的模数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)AO→=AF→+FO→=AF→+AB→=b→+a→，AG→=AB→+BG→=AB→+13BC→=AB→+13AO→=34a→+13b→.(2)∵ a→⋅b→=|a→|⋅b→|cos120∘=−12，|AG→|2=43a→+13b→2=169|a→|2+89a→⋅b→+19|b→|2=139，∴ |AG→|=133，又AD→=2a→+b→，|AD→|=2，∴  AD→⋅AG→=2a→+b→⋅43a→+13b→=23a→+b→⋅4a→+b→=234a→2+5a→⋅b→+b→2=53，∴ cosθ=AD→⋅AG→|AD→||AG→|=532×133=51326，即AD→与AG→夹角θ的余弦值为51326.【答案】解：(1)∵ m→⊥n→，m→=−1,3，n→=cosA,sinA，∴ m→⋅n→=3sinA−cosA=0，∴ tanA=33．∵ A∈0,π，∴ A=π6．(2)∵ 1+sin2Bcos2B−sin2B=sinB+cosB2cos2B−sin2B=cosB+sinBcosB−sinB=−3，∴ 1+tanB1−tanB=−3，∴ tanB=2．又tanC=tanπ−A+B=−tanA+B=−tanA+tanB1−tanAtanB=−33+21−233=6+323−3=8+53．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系同角三角函数基本关系的运用两角和与差的正切公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ m→⊥n→，m→=−1,3，n→=cosA,sinA，∴ m→⋅n→=3sinA−cosA=0，∴ tanA=33．∵ A∈0,π，∴ A=π6．(2)∵ 1+sin2Bcos2B−sin2B=sinB+cosB2cos2B−sin2B=cosB+sinBcosB−sinB=−3，∴ 1+tanB1−tanB=−3，∴ tanB=2．又tanC=tanπ−A+B=−tanA+B=−tanA+tanB1−tanAtanB=−33+21−233=6+323−3=8+53．【答案】解：(1)∵ fx=2sinxsinx+cosx=2sin2x+2sinxcosx=1−cos2x+sin2x=2sin2x−π4+1，∴ −π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ(k∈Z)，解得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ(k∈Z)，fx单调递增，即fx的单调递增区间为−π8+kπ,3π8+kπ(k∈Z)．当且仅当2x−π4=2kπ+π2(k∈Z)，即x=kπ+3π8时，fx取得最大值，fxmax=2+1．(2)列表如下：所以函数y=fx在区间0,π上的图象如图.【考点】两角和与差的正弦公式正弦函数的单调性三角函数的最值五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ fx=2sinxsinx+cosx=2sin2x+2sinxcosx=1−cos2x+sin2x=2sin2x−π4+1，∴ −π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ(k∈Z)，解得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ(k∈Z)，fx单调递增，即fx的单调递增区间为−π8+kπ,3π8+kπ(k∈Z)．当且仅当2x−π4=2kπ+π2(k∈Z)，即x=kπ+3π8时，fx取得最大值，fxmax=2+1．(2)列表如下：所以函数y=fx在区间0,π上的图象如图.【答案】解：(1)∵ a→=(cos32x, sin32x)，b→=(cosx2, −sinx2)，∴ a→⋅b→=cos32xcosx2−sin32xsinx2=cos2x，∵ |a→+b→|2=a→2+b→2+2a→⋅b→=2+2cos2x=4cos2x，且x∈[0, π2]，∴ 1≥cosx≥0，∴ |a→+b→|=2cosx.(2)f(x)=a→⋅b→−2λ|a→+b→|=cos2x−4λcosx=2(cosx−λ)2−1−2λ2，∵ x∈0,π2，∴ cosx∈0,1，当λ<0时，当且仅当cosx=0时，fx取得最小值为−1，与题意不符，舍去；当0≤λ≤1时，当且仅当cosx=λ时，fx取得最小值为−2λ2−1，∴ −2λ2−1=−32，∴ λ=12；当λ>1时，当且仅当cosx=1时，fx取得最小值为1−4λ，∴ 1−4λ=−32，∴ λ=58<1，不合题意，舍去．综上可知，λ=12.【考点】三角函数的恒等变换及化简求值平面向量数量积坐标表示的应用向量的模三角函数的最值【解析】（1）利用向量数量积运算及三角函数公式求a→⋅b→，先求出，|a→+b→|2，再求|a→+b→|，（2）f(x)=a→⋅b→−2λ|a→+b→|=cos2x−4λcosx=2(cosx−λ)2−1−2λ2，①由此利用分类讨论思想能求出实数λ的值．【解答】解：(1)∵ a→=(cos32x, sin32x)，b→=(cosx2, −sinx2)，∴ a→⋅b→=cos32xcosx2−sin32xsinx2=cos2x，∵ |a→+b→|2=a→2+b→2+2a→⋅b→=2+2cos2x=4cos2x，且x∈[0, π2]，∴ 1≥cosx≥0，∴ |a→+b→|=2cosx.(2)f(x)=a→⋅b→−2λ|a→+b→|=cos2x−4λcosx=2(cosx−λ)2−1−2λ2，∵ x∈0,π2，∴ cosx∈0,1，当λ<0时，当且仅当cosx=0时，fx取得最小值为−1，与题意不符，舍去；当0≤λ≤1时，当且仅当cosx=λ时，fx取得最小值为−2λ2−1，∴ −2λ2−1=−32，∴ λ=12；当λ>1时，当且仅当cosx=1时，fx取得最小值为1−4λ，∴ 1−4λ=−32，∴ λ=58<1，不合题意，舍去．综上可知，λ=12.2x−π4−π40π2π3π27π4x0π83π85π87π8πfx012+111−202x−π4−π40π2π3π27π4x0π83π85π87π8πfx012+111−20