广东省第二师范学院番禺附属中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 

二师附中2019年第二学期高一年级期中测试卷

数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分为150分．考试用时120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名、考试科目、班级和考生号等信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将考号在答题卡相关的区域内涂黑．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应的答案符号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡答卷交给监考老师．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，四个选项中，只有一项符合要求）

1.直线的倾斜角为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解.

【详解】化为，

直线的斜率为，倾斜角为.

故选:D.

【点睛】本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题.

2.已知非零向量，满足：，，，则向量，的夹角大小为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由，，，求出，再由向量的夹角公式，即可求解.

【详解】由，有，则，

有.

故选：B

【点睛】本题考查向量的数量积运算，考查向量的夹角，属于基础题.

3.12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是（    ）

A. 抽得3件正品 B. 抽得至少有1件正品

C. 抽得至少有1件次品 D. 抽得3件正品或2件次品1件正品

【答案】A

【解析】

【分析】

根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案.

【详解】对于 , 抽得3件正品与抽得1件次品2件正品是互斥而不对立事件;

对于 , 抽得至少有1件正品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,

对于 , 抽得至少有1件次品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,

对于 , 抽得3件正品或2件次品1件正品与抽得1件次品2件正品既是互斥也是对立事件.

故选:A

【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念,掌握互斥事件与对立事件的概念是答题的关键,属于基础题.

4.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(  )

A. 400，40 B. 200，10 C. 400，80 D. 200，20

【答案】A

【解析】

【分析】

由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取高中生近视人数.

【详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，

样本容量为：，

抽取的高中生近视人数为：，

故选A.

【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.

5.直线与平行，则的值等于(    )

A. -1或3 B. 1或3 C. -3 D. -1

【答案】D

【解析】

试题分析：直线可化为，斜率为在y轴上截距两直线平行，则直线斜率存在，即直线可化为斜率为在y 轴上截距为则由得即，解得故选D．

考点：直线方程与直线平行间的关系．

6.圆A :与圆B : 位置关系是(     )

A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含

【答案】C

【解析】

圆A :，即 ，圆心A（2,1），半径为2；

圆B :即 ，圆心B（-1，-3）半径为3

圆心距AB=5,等于半径之和，所以两圆外切

故选C

点睛：设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则⑴d>R+r两圆外离； ⑵d=R+r 两圆外切； ⑶R-r<d<R+r (R>r) 两圆相交； ⑷d=R-r（R>r） 两圆内切； ⑸d<R-r (R>r)两圆内含．

7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果．

【详解】画出图形，如下图．

选取为基底，则，

∴．

故选C．

【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题

（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．

（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．

8.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（    ）

A. p1＜p2＜p3 B. p2＜p1＜p3

C. p1＜p3＜p2 D. p3＜p1＜p2

【答案】C

【解析】

列表得:

所以一共有36种等可能的结果,两个骰子点数之和不超过5的有10种情况,点数之和大于5的有26种情况,点数之和为偶数的有18种情况,所以向上的点数之和不超过5的概率p1==,点数之和大于5的概率p2==,点数之和为偶数的概率记为p3==.

点睛：考查古典概型及其概率计算公式.首先列表,然后根据表格点数之和不超过5,点数之和大于5,点数之和为偶数情况,再根据概率公式求解即可.

9.在中，角所对的边分别为．若，则为（    ）

A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得为钝角，即可求得答案.

【详解】根据正弦定理：

，

整理可得，

故

，

，即为钝角，

则为钝角三角形.

故选：D.

【点睛】本题主要考查利用正弦定理及和差角公式判断三角形的形状，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法，属于基础题.

10.如图，在中，，D是边上一点，，则的长为(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由余弦定理得到，结合正弦定理，即可确定的长．

【详解】由余弦定理可得

得到

故选B

【点睛】本题对正弦定理和余弦定理综合进行考查，属于中档题．

11.已知圆C的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先由题意，联立直线方程，求出圆心坐标，再根据点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，根据弦长，即可求出圆的半径，进而可求出圆的方程.

【详解】由解得，即圆的圆心为，

由点到直线距离公式，可得，点到直线的距离为；

又直线与圆相交于，两点，且，

所以圆的半径为：，

因此，圆的方程为.

故选：A.

【点睛】本题主要考查求圆的方程，熟记圆的标准方程，以及圆的弦长的几何求法即可，属于常考题型.

12.在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

，，，，又，，，，故选C.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知向量，满足，，，则与的夹角为______.

【答案】60°

【解析】

【分析】

可假设与的夹角，根据向量的夹角公式，可得结果.

【详解】设与的夹角为，

由，所以

即，又，，

可知

所以

又

所以

故答案为：60°

【点睛】本题考查向量的夹角公式，属基础题.

14.已知定点，点是圆上的动点，则的中点的轨迹方程__________．

【答案】

【解析】

 由题意得，设，

 则，所以，代入圆的方程，

 整理得，即

 点睛：本题主要考查了轨迹方程的求解问题，其中解答中涉及到圆的标准方程，利用代入法求解动点的轨迹方程，以及中点公式等知识点的综合运用，试题比较基础，属于基础题，解答中根据题意利用代入法求解轨迹方程是解答的关键.

15.如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为________

【答案】200

【解析】

【分析】

在Rt△ABC中求得AC的值，△ACQ中由正弦定理求得AQ的值，在Rt△APQ中求得PQ的值．

【详解】根据题意，可得Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300，

∴AC200；

△ACQ中，∠AQC＝45°+15°＝60°，∠QAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，

∴∠QCA＝180°﹣∠AQC﹣∠QAC＝45°，

由正弦定理，得，

解得AQ200，

在Rt△APQ中，PQ＝AQsin45°＝200200m．

故答案为200

【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，考查正弦定理，三角形内角和问题，考查转化化归能力，是基础题．

16.关于的方程有两个不同的实数解时，实数的取值范围是_______

【答案】

【解析】

【分析】

方程左边是圆心为原点，半径为3的上半圆，右边为恒过的直线，当直线与半圆相切时，求出的值，直线过点时，求得的值，利用图象即可确定出实数的范围．

【详解】设，，图象如图所示，

当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，

解得：，

当直线过点时，可求得，

则利用图象得：实数的范围为，

故答案为：.

【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．

三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.的三个顶点分别为，，，求：

（1）边所在直线的方程；

（2）边上中线所在直线的方程；

（3）边的垂直平分线的方程．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）利用点斜式可得：边所在直线的方程．

（2）线段的中点，利用截距式可得边上中线所在直线的方程．

（3）．利用斜截式边的垂直平分线的方程．

【详解】解：（1），

边所在直线的方程为：，化为一般式：．

（2）线段的中点，可得边上中线所在直线的方程：，化为一般式：．

（3）．边的垂直平分线的方程为：．

【点睛】本题考查了直线的方程的求法、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

18.在中，角、、的对边分别是、、，若.

（1）求角；

（2）若的面积为，，求的周长.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理边化角进行化简求值即可

（2）利用余弦定理和正弦面积公式最终代换出整体即可

【详解】解：（1）由正弦定理得：，

∵，∴，∵是的内角，∴.

（2）∵的面积为，∴，

由（1）知，∴，

由余弦定理得：，

∴，得：，

∴的周长为.

【点睛】本题主要考查解三角形基础知识，一般解题思路为正弦定理边化角，余弦定理结合面积公式解决周长、面积问题

19.已知，，函数.

（1）求的最小正周期及单调递增区间；

（2）在中，、、分别是角、、的对边长，若，，的面积为，求的值.

【答案】（1），递增区间为，；（2）.

【解析】

【分析】

(1)利用向量的数量积公式与降幂公式和差角公式化简即可.

(2)根据可得,再根据的面积为可得,再利用余弦定理求即可.

详解】(1)

即.故最小正周期为.

单调递增区间：.

故,递增区间为,.

(2)由得,因为.

故,故.

又,故.

故,故

【点睛】本题主要考查了向量与三角函数降幂公式与辅助角公式的应用,同时也考查了利用正余弦定义与面积公式解三角形的方法等.属于中等题型.

20.某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．

规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．

按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示

求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；

根据频率分布直方图，求成绩的中位数精确到；

在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率．

【答案】（1），；合格等级的概率为；（2）中位数为；（3）

【解析】

【分析】

由题意求出样本容量，再计算x、y的值，用频率估计概率值；

根据频率分布直方图，计算成绩的中位数即可；

由茎叶图中的数据，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．

【详解】由题意知，样本容量，

，

；

因为成绩是合格等级人数为：人，

抽取的50人中成绩是合格等级的概率为，

即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为；

根据频率分布直方图，计算成绩的中位数为；

由茎叶图知，A等级的学生有3人，D等级的学生有人，

记A等级的学生为A、B、C，D等级的学生为d、e、f、g、h，

从这8人中随机抽取2人，基本事件是：

AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、

Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28个；

至少有一名是A等级的基本事件是：

AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、

Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18个；

故所求的概率为．

【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．

21.下表是某学生在4月份开始进人冲刺复习至高考前的5次大型联考数学成绩(分)；

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)①请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

②若在4月份开始进入冲刺复习前，该生的数学分数最好为116分，并以此作为初始分数，利用上述回归方程预测高考的数学成绩，并以预测高考成绩作为最终成绩，求该生4月份后复习提高率.(复习提高率=，分数取整数)

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】(1)(2) ①②

【解析】

【分析】

（1）把所给的5对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图；
（2）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出的值，得到线性回归方程；根据上一问所求的线性回归方程，把代入线性回归方程 (分)，净提高分为 (分)，即可估计该生4月份后复习提高率．

【详解】(1)散点图如图:

 (2)①由题得, ，

，

,， ，

所以 ，，

故关于的线性回归方程为.

②由上述回归方程可得高考应该是第六次考试,故，

则 (分),

故净提高分为 (分)，

所以该生的复习提高率为.

【点睛】求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.

22.已知圆与轴相切于点，且被轴所截得的弦长为，圆心在第一象限.

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若点是直线上的动点，过作圆的切线，切点为，当△的面积最小时，求切线的方程.

【答案】（I）；（II）或.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由题意设圆心坐标为（a，1），则半径为r=a（a＞0），再由圆被x轴所截得的弦长为2，利用垂径定理求得a=2，则圆C的方程可求；

（Ⅱ）P为直线l：2x+y+5=0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，可知，要使△PBC的面积最小，则|PB|最小，也就是|PC|最小，此时CP⊥l，求出CP所在直线方程，与直线l联立解得P（﹣2，﹣1），设切线方程为y+1=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣1=0，再由圆心到切线的距离等于半径求得k，则切线PB的方程可求．

【详解】解：（Ⅰ）依题意，可设圆心的坐标为，其中，圆的半径为，

因为圆被轴所截得的弦长为，

又点到轴的距离为，

则，

解得.

所以圆的方程为.

（Ⅱ）因为△的面积

.

故当最小时，△的面积最小.

由于点是直线上的动点，

则当时，最小.

由于直线的斜率为，则直线的斜率为.

直线的方程为，即.

由解得

所以点的坐标为.

设直线的方程为，即.

由于直线是圆的切线，

则点到直线的距离等于圆的半径，即.

解得或.

所以切线的方程为或.

另法：（Ⅰ）依题意，可设圆心的坐标为，其中，圆的半径为，

则圆的方程为.

令，得

因为圆被轴所截得的弦长为，

则，

解得.所以圆的方程为

（Ⅱ）因为△的面积

.

故当最小时，△的面积最小.

由于点是直线上动点，设点的坐标为，

则

.

当时，取得最小值，此时点的坐标为.

设直线的方程为，即.

由于直线是圆的切线，

则点到直线的距离等于圆的半径，即.

解得或.

所以切线的方程为或.

【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查垂径定理的应用，是中档题．