广东省潮州市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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期中考试卷

考试时间：120分钟

一．选择题（共12小题，每小题5分）

1.若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值等于（    ）

A. 2 B.

C. －2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数图象的平移变换可得定点的坐标，再根据三角形函数的定义可得结果.

【详解】因为函数的图象经过定点，所以函数的图象经过定点，

因为点在角的终边上，所以.

故选：A.

【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，考查了三角函数的定义，属于基础题.

2.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可求得，由同角三角函数基本关系式可得.根据三角函数的诱导公式化简，即可求值.

【详解】倾斜角为的直线与直线垂直，

.

代入，

解得.

.

故选：.

【点睛】本题考查两条直线的位置关系、同角三角函数基本关系式和三角函数的诱导公式，属于基础题.

3.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=

A. -3 B. -2

C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.

【详解】由，，得，则，．故选C．

【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．

4.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为(　　)

A. － B.  C.  D. －

【答案】A

【解析】

【分析】

等式两边平方，求出2sinθcosθ的值，利用θ∈，判断出sinθ﹣cosθ小于0，再利用同角三角函数间基本关系开方即可．

【详解】∵sinθ+cosθ=，

∴（sinθ+cosθ）2=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ= ，

所以2sinθcosθ= 又因为0＜θ＜，所以0<sinθ<cosθ

sinθ﹣cosθ＜0，

∴（sinθ﹣cosθ）2=sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ=1﹣2sinθcosθ= ，

则sinθ﹣cosθ=﹣ ．

故选A．

【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握sin θ cos θ，sinθcosθ基本运算关系是解本题的关键，注意角的范围，属于基础题.

5.下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是

A. f(x)=│cos 2x│ B. f(x)=│sin 2x│

C. f(x)=cos│x│ D. f(x)= sin│x│

【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．

【详解】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．

【点睛】利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；

6.已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

只需根据函数性质逐步得出值即可．

【详解】因为为奇函数，∴；

又

，，又

∴，

故选C．

【点睛】本题考查函数性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数．

7.在中，点在线段上，且，点在线段上（与点，不重合）若，则的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量的运算法则和共线定理即可得出．

【详解】

∵，即.

∴，

∵,即,

∴，

∴x的取值范围是，

故选C.

【点睛】利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法：

①三点共线；

②为平面上任一点，三点共线，且.

8.函数y=sin2x图象可能是

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.

详解：令，

因为，所以为奇函数，排除选项A,B;

因为时，，所以排除选项C，选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．

9.已知，，，，则的取值范围是（    ）

A.  B. [0，2]

C.  D. [0，1]

【答案】A

【解析】

【分析】

根据已知平面向量互相垂直建立直角坐标系，然后根据平面向量坐标表示公式，结合圆几何性质进行求解即可.

【详解】设，因为，所以以、所在的直线为横轴、纵轴建立如图所示的平面直角坐标系，

因为，所以，

因此，因为，

即点.

设,，因，

所以，所以点在以点为圆心，为半径的圆上，

而表示圆上的点到原点的距离，

圆心到原点的距离为，显然原点在圆上，

由圆的几何意义可知，最大距离等于，最小距离为0，

故选：A

【点睛】本题考查了利用几何意义求平面向量模的最值问题，考查了平面向量坐标表示公式的应用，考查了数学运算能力和数形结合能力.

10.在中，，，，在边的中线上，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

本题可设，然后将用向量作为基底向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题．

【详解】解：由题意，画图如下：

可设，

，，．

，

．

．

由二次函数的性质，可知：

当时，取得最小值．

故选：．

【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数求最值问题，本题属基础题．

11.已知函数，则的所有零点之和等于

A. 8π B. 7π C. 6π D. 5π

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数的零点的定义，令，得，根据三角恒等变换的公式，求解方程的根，即可得到所有的零点之和，得到答案.

【详解】由已知函数，

令，即，

即，

即，解得或，

当时，或或；

当时，即，解得，

又由，解得或或或，

所以函数的所有零点之和为，故选B.

【点睛】本题主要考查了函数的零点问题的综合应用，其中解答中熟记函数的零点的概念，以及熟练应用三角函数恒等变换的公式，求解方程的根是解得关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.

12.已知A，B，C，D是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为(　　)

A. ω＝2，φ＝ B. ω＝2，φ＝

C. ω＝，φ＝ D. ω＝，φ＝

【答案】A

【解析】

试题分析：依题意，,所以，因为,所以

，所以，选A.

考点：三角函数的图像与性质

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，正确利用函数的图象与性质是解题的关键，考查计算能力．

二．填空题

13.设向量，，，若，则_________.

【答案】15

【解析】

【分析】

根据向量的坐标运算，求得，再根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，向量，，可得，

又由，

因为，可得，解的.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及向量的共线条件的坐标表示，着重考查运算与求解能力，属于基础题.

14.已知函数，．若不等式在上恒成立，则实数m的取值范围为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

求出，不等式在上恒成立，只需，即可求实数m的取值范围.

【详解】，.

不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用三角函数的最值求参数，属于中档题.

15.设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_________.

【答案】

【解析】

【详解】由在区间上具有单调性，

且知，函数的对称中心为，

由知函数的对称轴为直线，

设函数的最小正周期为，

所以，，

即，所以，

解得，故答案为.

考点：函数的对称性、周期性，属于中档题.

16.已知函数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数.若，则函数的值域为______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据的单调性，通过和分别求解的表达式，然后根据表达式可得的值域.

【详解】∵，

∴在上单调递增，在上单调递减，其中 .

当时，单调递增，最大值为2，当时，单调递减，最小值为，

此时；

∵，，∴，

即可得函数的值域为[1,2] ；

当时，单调递减，最大值为，

当时，单调递减，最小值为，

此时；

∵，∴，

即可得函数的值域为；

综上可得函数的值域为，

故答案为: .

【点睛】本题主要考查三角函数的值域问题，整体换元意识是求解这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

三．解答题

17.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；

（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）根据表中已知数据，解得．数据补全如下表：

且函数表达式为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得．

因为的对称中心为，．

令，解得，．

由于函数的图象关于点成中心对称，令，

解得，．由可知，当时，取得最小值．

考点：“五点法”画函数在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．

18.（1）已知，求的值．

（2）在三角形中，点是上一点，且，是的中点，与的交点为，又，求实数的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由即可求值；

（2）由可得，即为的一个三等分点（靠近点）. 设，则，又，由不共线，可得，即求实数的值．

【详解】（1），

.

（2）如图所示

，，即，，即为的一个三等分点（靠近点）.

又、、三点共线，且是的中点，.

设，

则，

又.

不共线，，

解得，.

【点睛】本题考查三角函数式求值，考查平面向量基本定理，属于中档题.

19.已知向量，（是常数），且.

（1）若是奇函数，求的值；

（2）设函数，讨论当实数变化时，函数的零点个数．

【答案】（1）.（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据平面向量数量积的坐标定义，结合奇函数的定义进行求解即可；

（2）根据（1）的结论得到函数的解析式，结合零点定义、一元二次方程根的判别式进行求解即可.

【详解】解：（1）由题意知，，因此当且时，

有.

由题设，对任意的不为零的实数，都有，即恒成立，

所以；

（2）由（1）知，，则⇔，

．

所以当时，即当或时，函数有两个零点；

当时，即当时，函数有一个零点；

当时，即当时，函数没有零点．

因此有当或时，函数有两个零点；

当时，函数有一个零点；

当时，函数没有零点．

【点睛】本题考查了已知函数是奇函数求参数取值问题，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了判断函数零点个数问题，考查了数学运算能力.

20.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，，.

（1）若，且，求向量的坐标.

（2）若，求的最小值.

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

（1）根据向量共线定理和模长计算公式，即可得出．

（2）将代入，结合二次函数求出最值．

【详解】．

解：（1）∵，又，

∴

∴    ①

又∵     

∴    ②

由①②得，

∴，∴

当时，（舍去）

当时，

∴，∴

（2）由（1）可知

∴当时，

【点睛】对于型求最值问题，可令，转化为二次函数来求最值．

21.已知a＞0，函数f（x）=-2asin（2x+）+2a+b，当x∈[0，]时，-5≤f（x）≤1．

（1）求常数a，b的值；

（2）设g（x）=f（x+）且lg g（x）＞0，求g（x）的单调区间．

【答案】(1) ；(2) .

【解析】

【详解】（1）∵，∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，∴，，

∴.

（2）由（1）得：，

，

又由，得，

∴，∴，

∴，

其中，当时，

单调递增，即，

∴的单调递增区间为.

22.已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）关于直线3x﹣2y=0对称，且与直线3x﹣4y+1=0相切．

（1）求圆C的方程；

（2）若直线l：y=kx+2与圆C交于M，N两点，是否存在直线l，使得（O为坐标原点）若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣3）2=1（2）不存在直线l

【解析】

【分析】

（1）根据题意，分析可得，解可得a、b的值，由圆的标准方程即可得答案；

（2）假设存在满足题意的直线l，设M（x1，y1）N（x2，y2），联立直线与圆的方程，由直线与圆相交可得△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0，由数量积的计算公式可得•=（1+k2）++4=6，解可得k的值，验证是否满足△＞0，即可得答案．

【详解】（1）根据题意，圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）关于直线3x﹣2y=0对称，

即圆心（a，b）在直线3x﹣2y=0上，

圆C与直线3x﹣4y+1=0相切，则C到直线l的距离d=r=1，

则有，

解得或（舍）

∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．

（2）假设存在直线l，使得=6，设M（x1，y1）N（x2，y2），

由得（1+k2）x2﹣（2k+4）x+4=0，

由△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0得，且，

•=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=（1+k2）++4=6，

解得k=﹣1或，不满足△＞0，

所以不存在直线l，使得=6．

【点睛】本题考查直线与圆方程的综合应用，涉及向量数量积的计算，注意圆C关于直线3x﹣2y=0对称，则圆心在直线上．