四川省成都市郫都区2019-2020学年高一下学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com郫都区2019—2020学年度下期期中考试

高一理科数学

说明：1.本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.

2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答.

第I卷（选择题  共60分）

一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1.不等式的解集为（     ）

A. 或 B.

C. 或 D.

【答案】B

【解析】

分析：结合二次函数的图象解不等式可得结果．

详解：结合二次函数的图象解不等式得，

∴不等式的解集为．

故选B．

点睛：解一元二次不等式的步骤

（1）对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式；

（2）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；

（3）根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．

2.（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

逆用两角和的余弦公式求解即可.

【详解】

故选：C

【点睛】本题主要考查了逆用两角和的余弦公式，属于基础题.

3.设，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用特殊值法和不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误.

【详解】，对于A选项，取，，则，A选项中的不等式不成立；

对于B选项，取，，则，B选项中的不等式不成立；

对于C选项，取，则，C选项中的不等式不成立；

对于D选项，，则，，由不等式的基本性质得，D选项中的不等式成立.

故选：D.

【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、特殊值法、作差（商）法、函数单调性来判断，考查推理能力，属于基础题.

4.设等差数列的前项和为，已知，则（ ）

A. -27 B. 27 C. -54 D. 54

【答案】A

【解析】

试题分析：因,故，所以应选A.

考点：等差数列的性质及其前项和．

5.已知是等比数列，且，则

A.  B.  C.  D. 2

【答案】D

【解析】

是等比数列，且,得.

又，联立得..

.故选D.

6.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，为使此三角形有两个，则满足的条件是（    ）

A  B.  C.  D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】

计算三角形AB边上的高即可得出结论．

【详解】C到AB的距离d=bsinA=3，

∴当3＜a＜2时，符合条件的三角形有两个，

故选C．

【点睛】本题考查了三角形解的个数的判断，属于基础题．

7.若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

等价于不等式的解集为R, 结合二次函数的图象分析即得解.

【详解】由题得的解集为R,

当时，1＞0恒成立，所以.

当时，，所以.

综合得.

故选：C

【点睛】本题主要考查函数的定义域和二次函数的图象性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

8.在中，角，，的对边分别为，，，若，则为（ ）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】

余弦定理得代入原式得

解得

则形状为等腰或直角三角形,选D.

点睛：判断三角形形状的方法

①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．

9.在，三个内角所对的边分别为，若内角依次成等差数列，且不等式的解集为，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用等差数列的性质得出，根据不等式的解集得出，再由余弦定理即可得出答案.

【详解】因为内角依次成等差数列，所以，即

因为不等式的解集为，所以方程的两根为

则，，即

由余弦定理可知，，

即

故选：A

【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，涉及等差数列的性质，一元二次不等式的应用，属于中档题.

10.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北（即）的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在北偏东（即）的方向上，仰角，则此山的高度（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据正弦定理先求得,再求出即可.

【详解】易得.

由正弦定理得.

故.

故选：C

【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理的实际运用,属于中等题型.

11.已知，则的值为（    ）

A.  B. 0 C. 2 D. 0或2

【答案】D

【解析】

【分析】

由，通过二倍角公式，得到或

原式化简为再分别求解.

【详解】因为

所以

所以

解得或

当时

当时

故选：D

【点睛】本题主要考查了二倍角公式及其应用，不觉考查了变形运算求解的能力，属于中档题.

12.已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用三角恒等变换化简函数解析式，再由正弦函数的性质得出的取值范围，即可进行判断.

【详解】

又

正弦函数在这一个周期中，其图像如下图所示

由图可知，当，时，取最大值

即

当，时，取最小值

即

则

由于，则D错误

故选：D

【点睛】本题主要考查了已知正弦型函数的值域求参数的范围，涉及了三角恒等变换的应用，属于中档题.

第II卷（非选择题  共90分）

注意事项： 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知等差数列的通项公式为，那么它的公差为______________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用第二项减去第一项，即可得出答案.

【详解】

故答案为：

【点睛】本题主要考查了等差数列基本量计算，属于基础题.

14.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且，则解下4个环所需的最少移动次数为_____.

【答案】7

【解析】

【分析】

利用的通项公式，依次求出，从而得到，即可得到答案．

【详解】由于表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且

所以，，

故，所以解下4个环所需的最少移动次数为7

故答案为7.

【点睛】本题考查数列的递推公式，属于基础题．

15.已知，则________.（用含的式子表示）

【答案】

【解析】

【分析】

通过寻找，与特殊角的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可．

【详解】因为，即，所以，

所以，所以，

又.

【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力．

16.已知函数，若为锐角三角形且，则的取值范围为_____.

【答案】

【解析】

【分析】

利用三角恒等变换化简函数解析式，由，得出，再由正弦定理的边化角公式，结合正切函数的性质，即可得出的取值范围.

【详解】

，即

，

则，

，，则

即的取值范围为

故答案为：

【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，涉及了三角函数的恒等变换以及正切函数的性质的应用，属于中档题.

三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知， ，且

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若，求的值.

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)

【解析】

【分析】

(Ⅰ)根据题中条件，求出，进而可得，再由两角差的正切公式，即可得出结果；

(Ⅱ)根据题中条件，得到，求出，再由，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.

【详解】(Ⅰ)因为，，所以，

因此，

所以；

(Ⅱ)因为， ，所以，

又，所以，所以，

因此.

【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型.

18.已知等差数列的前项和为，，．

（1）求的通项公式；

（2）当取何值时有最小值，并求出该值？

【答案】（1）；（2）当，最小值.

【解析】

【分析】

（1）利用等差数列的通项公式以及求和公式，列出方程组，求解即可；

（2）由等差数列的求和公式，结合二次函数的性质求解即可.

【详解】（1）设{an}的公差为d，由题意得

解得

所以{an}的通项公式为；

（2）由（1）得，

所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16.

【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，二次函数法求等差数列前项和的最值，属于中档题.

19.已知，

（1）求值；

（2）求的值；

（3）求的值.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

【分析】

（1）先利用商数关系得出，再由倍角公式得出的值；

（2）由二倍角公式再利用化弦为切的方法求解即可；

（3）利用三角恒等变换以及平方差公式求解即可.

【详解】解：由sin+2cos=0，得tan=-2．

（3）

【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及三角恒等变换的化简求值，属于中档题.

20.在中，、、是角、、所对的边，且.

（1）求的大小；

（2）若，，求边上的高.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理边角互化思想可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值；

（2）利用余弦定理求得的值，利用正弦定理求得的值，进而可得出边上的高为，即可得解.

【详解】（1），

由正弦定理得，

即，即，

，，则有，，因此，；

（2）由余弦定理得，整理得，

，解得，由正弦定理，得，

因此，边上的高为.

【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查了三角形高的计算，涉及正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题.

21.定义行列式运算： ，若函数  （，）的最小正周期是，将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称.

（1）求函数的单调增区间；

（2）数列的前项和，且，求证：数列的前项和.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由行列式得到解析式，根据周期计算，根据平移后是奇函数计算，根据解析式求单调区间即可；（2）根据求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前n项和，即可证出结论.

试题解析：

（1）解：由题意：，

∵，∴，

∴的图象向右平移个单位后得，

此函数为奇函数，则，∵，∴，

∴，

由可得，  

∴的单调增区间为．

（2）证明：由（Ⅰ）得，

∴，

①当时，；

②当时，，

而，

∴，

则，

∴．

点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．

22.已知是各项均为正数的等比数列，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系中，依次连接点得到折线，求由该折线与直线，所围成的区域的面积.

.

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）

【解析】

【详解】(I)设数列的公比为，由已知.

由题意得，所以，

因为,所以，

因此数列的通项公式为

（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,

由(I)得

记梯形的面积为.

由题意，

所以

……+

=……+      ①

又……+ ②

①-②得

=

所以

【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.