【数学】广东省深圳市四校2019-2020学年高二下学期期中考试联考试题

广东省深圳市四校2019-2020学年
高二下学期期中考试联考试题
试卷分值：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号、座位号等信息准确填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知集合（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则复数的的虚部是（ ）
A. B. C. D. 1
3. 已知单位向量满足，若，则实数的值为（ ）
A. B.-2 C. 2 D.
4. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列命题中，真命题是（ ）
A. ；
B. 命题“”的否定是“”；
C. “”是“”的充分不必要条件；
D. 函数在区间内有且仅有两个零点．
6．已知正项等比数列，若向量，，，
则=（ ）
A．12 B． C．5 D．18
7. 若变量满足约束条件，则的最大值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：
　
空调类
冰箱类
小家电类
其它类
营业收入占比
90.10%
4.98%
3.82%
1.10%
净利润占比
95.80%
-0.48%
3.82%
0.86%
则下列判断中不正确的是（ ）
A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损
B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供
D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低
9．中，点D在线段（不含端点）上，且满足，
则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．8
10. 已知双曲线：（a>0,b>0）的左、右焦点分别为,，点为过且斜率为的直线与双曲线的一个交点，且，则的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
11．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经
验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古
代数学名著《九章算术》中．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其
一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，
其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已
知堑堵的内切球（与各面均相切）直径为1，则鳖臑的体积最小值为（ ）

A． B． C． D．
12. 函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上.
13. 的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)
14. 已知角的终边与单位圆交于点()，则=__________．
15. A、B、C、D四位同学站成一排照相，则A、B中至少有一人站在两端的概率为____．
16. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点
A,B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，
称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2, 1)，B(-2, 4)，
点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；
若点Q为抛物线E: y2 =4x上的动点，Q在直线x= -1上的射影为H，则
的最小值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）
已知向量，，.
（1）求的最小正周期；
（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，，求面积的最大值.






18. （本小题满分12分）
已知数列的前项和为，数列是首项为1，公差为1的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和为Tn，求T2020.






19．（本小题满分12分）
如图，在四面体中，，．

（1）证明：；
（2）若，，四面体的体积为2，
求二面角的余弦值．














20．（本小题满分12分）
2020年春节期间，随着新型冠状病毒肺炎疫情在全国扩散，各省均启动重大突发公共卫生事件一级响应，采取了一系列有效的防控措施。如测量体温、有效隔离等.
(1) 现从深圳市某社区的体温登记表中随机采集100个样本。据分析，人群体温近似服从正态分布.若表示所采集100个样本的数值在之外的的个数，求及X的数学期望.
(2) 疫情期间，武汉大学中南医院重症监护室（ICU）主任彭志勇团队对138例确诊患者进行跟踪记录.为了分析并发症(complications)与重症患者(ICU)有关的可信程度，现从该团队发表在国际顶级医学期刊JAMA《美国医学会杂志》研究论文中获得相关数据. 请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”？

无并发症
并发症
合计
非重症

38
102
重症
10


合计

64
138
附： 若 , 则,
，, .
参考公式与临界值表：，其中.

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828











21. （本小题满分12分）
已知椭圆的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，
直线AP、BP、BQ的斜率分别记为．
（1）求的值；
（2）若，求证：，并判断直线PQ是否过定点，若是，求出该定点；
若不是，请说明理由．


22.（本小题满分12分）
已知函数，其中.
（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）若函数在定义域上有两个极值点，且.
① 求实数的取值范围；
② 求证：.



















参考答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号、座位号等信息准确填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，选A.
2.若复数满足，则复数的的虚部是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】由于，则，
所以复数的的虚部是-1，故答案选B
3.已知单位向量满足，若，则实数的值为（ ）
A. B.-2 C. 2 D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
即，解得，故选：B.
4.已知，则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵b>1>c>0>a∴,故选A
5.下列命题中，真命题是（ ）
A. ；
B. 命题“”的否定是“”；
C. “”是“”的充分不必要条件；
D. 函数在区间内有且仅有两个零点．
【答案】C
6．已知正项等比数列，若向量，，，
则=（ D ）
A．12 B． C．5 D．18
【答案】D
【解析】
，故选D
7. 若变量满足约束条件，则的最大值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】由题意作出其平面区域，
令，化为，
相当于直线的纵截距，
由图可知，，解得，，
则的最大值是, 故选C．
8.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：
　
空调类
冰箱类
小家电类
其它类
营业收入占比
90.10%
4.98%
3.82%
1.10%
净利润占比
95.80%
-0.48%
3.82%
0.86%
则下列判断中不正确的是
A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损
B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供
D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低
【答案】B
9．中，点D在线段（不含端点）上，且满足，
则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】B
【解析】∵，且三点共线，所以且，则，当且仅当时，取等号，
故有最小值，故选B．
10. 已知双曲线：（a>0,b>0）的左、右焦点分别为,，点为过且斜率为的直线与双曲线的一个交点，且，则的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】由题意，直线过左焦点且倾斜角为，，∴，，∴，即.
∴，
∴，根据双曲线定义有，
∴离心率.故选：D
11．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经
验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古
代数学名著《九章算术》中．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其
一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，
其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已
知堑堵的内切球（与各面均相切）直径为1，则鳖臑的体积最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意内切球直径2r=1，则
，当且仅当b=c时取等号.


∴鳖臑的体积为
∴当且仅当b=c时，鳖臑的体积最小为, 故选：A
12. 函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意，设函数，
则，
因为是定义在区间上的可导函数，且满足，
所以，所以函数在上为增函数，
又由，即，
即，所以，解得，
即不等式的解集为. 故选：C.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．
13. 的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)
【答案】160
14．已知角的终边与单位圆交于点()，则=__________．
【答案】
15. A、B、C、D四位同学站成一排照相，则A、B中至少有一人站在两端的概率为____．
【答案】
【解析】A、B、C、D四位同学站成一排照相，基本事件总数，A、B中至少有一人站在两端包含的基本事件个数20，故A、B两人中至少有一人站在两端的概率．
16．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点
A, B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，
称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中， A(-2，1)，B(-2，4)，
点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；
若点Q为抛物线E: y2 =4x上的动点，Q在直线x= -1上的射影为H，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】





三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分10分）
已知向量，，.
（1）求的最小正周期；
（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，，求面积的最大值.
【解析】（1）向量，，，
则 .......................3分
∴T= . . ...... ........ .................4分
（2）∵，∴，
∵，∴，∴，∴， ...........7分
在DABC中，由余弦定理可得:
，即．
当且仅当时等号成立 ........ ........ ...9分
所以，
故DABC面积的最大值为． ………...10分
18. （本小题满分12分）
已知数列的前项和为，数列是首项为1，公差为1的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和Tn，求T2020.
【解析】（1）因为数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以． ....... ........ ...2分
当时，． ....... ........ ...3分
当时，， ....... ........ ...5分
当时，也符合上式．
所以数列的通项公式． ........ ........ ...6分
（2）由（1）知，.. ...8分
所以数列的前项和

. ..... ...... ...11分
故. .... ...... ...12分

19．（本小题满分12分）
如图，在四面体中，，．

（1）证明：；
（2）若，，四面体的体积为2，
求二面角的余弦值．
解：（1）如图，作Rt△斜边上的高，连结．

因为，，
所以Rt△≌Rt△．
可得．所以平面，
于是． …………（4分）
（2）在Rt△中，因为，，
所以，，，△的面积．
因为平面，四面体的体积，
所以，，，
所以平面． …………（6分）
以，，为，，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，
，，．
设是平面的法向量，
则，即，可取．…………（8分）
设是平面的法向量，
则，即，可取．…………（10分）
因为， …………（11分）
二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为． …………（12分）
20．（本小题满分12分）
2020年春节期间，随着新型冠状病毒肺炎疫情在全国扩散，各省均启动重大突发公共卫生事件一级响应，采取了一系列有效的防控措施。如测量体温、有效隔离等.
(1) 现从深圳市某社区的体温登记表中随机采集100个样本。据分析，人群体温近似服从正态分布.若表示所采集100个样本的数值在之外的的个数，求及X的数学期望.
(2) 疫情期间，武汉大学中南医院重症监护室（ICU）主任彭志勇团队对138例确诊患者进行跟踪记录.为了分析并发症(complications)与重症患者(ICU)有关的可信程度，现从该团队发表在国际顶级医学期刊JAMA《美国医学会杂志》研究论文中获得相关数据. 请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”？

无并发症
并发症
合计
非重症

38
102
重症
10


合计

64
138
附： 若 , 则,
，, .
参考公式与临界值表：，其中.

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

【解析】（1）由已知体温落在之内的概率为，
∴落在之外的概率为 ................2分
................4分
. .............6分
（2）填表如下： ................8分

无并发症
并发症
合计
非重症
64
38
102
重症
10
26
36
合计
74
64
138
................11分
而P(K2³10.828)=0.001，
故由独立性检验的意义可知: 能在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关” . ................12分

21. （本小题满分12分）
已知椭圆的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，
直线AP、BP、BQ的斜率分别记为．
（1）求的值；
（2）若，求证：，并判断直线PQ是否过定点，若是，求出该定点；
若不是，请说明理由．
【解析】（1）设，∵，则，
又，则，代入上式，得. ………………..4分
（2），又由（1）知，，
，即． ………………………………………………..6分
设直线的方程为：，设，
联立得：，
由D>0得：，
由韦达定理：，，…………………………..8分
，，
则，
即：，
所以：，得：或，……………………..11分
当时，直线，则直线过B（2，0），不合题意，
当时，直线，则直线过定点，
∴直线PQ是过定点，该定点为 ……………….…………..12分

22.（本小题满分12分）
已知函数，其中.
（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）若函数在定义域上有两个极值点，且.
① 求实数的取值范围；
② 求证：.
【解析】（1）依题意，，，
故，所以，
据题意可知，，解得. 所以实数的值为2.……………..3分
（2）①因为函数在定义域上有两个极值点，且，
所以在上有两个根，且，
即在上有两个不相等的根.
所以解得.
当时，若或，，，
函数 在和上单调递增；
若，，，
函数在上单调递减，
故函数在上有两个极值点，且.
所以，实数的取值范围是.……………………………………………..7分
②由①可知，是方程的两个不等的实根，
所以其中.
故

，
令，其中.故，
令，
，在上单调递增.
由于，，
所以存在常数，使得，即，，
且当时，，上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以当时，的最小值：
，
又，，
所以，即，
故得证. ……………………………………………………12分