北京师范大学第三附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

北京市北师大第三附属中学2019-2020学年高一（上 ）数学期中考试

一、选择题（本大题共8小题，共32分）

1. 设全集，，，则（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意得，，所以，故选C.

考点：集合的运算.

2. 函数的定义域为（　　）

A. [，3）∪（3，+∞） B. （-∞，3）∪（3，+∞）

C. [，+∞） D. （3，+∞）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.

【详解】因为函数，

解得且；

函数的定义域为, 故选A．

【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.

3. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

全称命题的否定是特称命题，运用全称命题的否定方法即可求解结果.

【详解】因为全称命题否定是特称命题，只需要将全称量词改为存在量词，然后否定结论.

故命题“”的否定是

故选：

【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，解答方法分两步：首先将全称量词改为存在量词，其次是否定结论，即可求出结果，本题较为简单.

4. 若，则最小值为（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】

首先将转化为，再利用基本不等式求最值即可.

【详解】因为，所以，

所以.

当且仅当，即时取等号.

所以的最小值为.

故选：C

【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.

5. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分叶非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据得到或，从而得到答案.

【详解】由，解得或，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，同时考查二次不等式的解法，属于简单题.

6. 已知函数的图象是两条线段（如图，不含端点），则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数图象先用分段函数的形式写出的解析式，然后根据分段函数的解析式计算出的值.

【详解】由图象可知：，

所以.

故选B

【点睛】本题考查分段函数求值问题，难度较易.对于给定图象的函数，首先可考虑通过图象求出函数的解析式，然后再考虑计算函数值.

7. 下列四个函数中，在上为增函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

A. 利用一次函数的性质判断；B. 利用二次函数的性质判断；C. 利用反比例函数的性质判断；D. 由，利用一次函数的性质判断；

【详解】A. 由一次函数的性质知：在上为减函数，故错误；

B. 由二次函数的性质知：在递减，在 上递增，故错误；

C. 由反比例函数的性质知：在 上递增，在递增，则在上为增函数，故正确；

D. 由知：函数在上为减函数，故错误；

故选：C

【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题.

8. 定义为中的最大值，设，则的最小值为（    ）

A.  B. 3 C.  D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据题意画出的图象，再根据图象即可得到的最小值.

【详解】分别画出，，的图象，

则函数的图象为图中实线部分.

由图知：函数的最低点为，，解得.

所以的最小值为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查根据函数的图象求函数的最值，考查了数形结合的思想，属于中档题.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

9. 已知集合，若，则实数=____

【答案】3

【解析】

因为，所以．

10. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则         .

【答案】

【解析】

试题分析：因为函数是定义在上的奇函数，当时，，则

.

考点：函数奇偶性的应用.

11. 设函数为偶函数，则__________．

【答案】

【解析】

注意到为偶函数，故，通过对比可知.

12. 若函数，则______________．

【答案】-1

【解析】

【分析】

令再代入求解即可.

【详解】当时,故.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了抽象函数求值的问题,属于基础题.

13. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________

【答案】

【解析】

【分析】

首先根据得到，再根据题意得到，即可得到答案.

【详解】由解得，

因为“”是“”的充分不必要条件，所以，即.

故答案为：

【点睛】本题主要考查根据充分不必要条件求参数，同时考查绝对值不等式的解法，属于简单题.

14. 定义在区间上的偶函数,当时单调递减,若，则实数的取值范围是____________．

【答案】

【解析】

不等式等价于：，

求解关于实数m的不等式组可得实数的取值范围是.

点睛：关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．

三、解答题（本大题共4小题，共44分）

15. 设集合，.

（1）若，求实数的值

（2）是否存在实数使得.若存在，写出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）或；（2）不存在实数使得

【解析】

【分析】

（1）首先根据题意得到，再分类讨论和即可得到答案.

（2）首先假设存在实数使得，从而得到或，再解方程组即可得到答案.

【详解】（1）因为，所以.

当时，.

，，，满足题意.

当时，.

，，，满足题意.

所以或.

（2）假设存在实数使得，则或.

解得或，显然不存在实数使得.

【点睛】本题第一问考查集合的交集运算，第二问考查集合相等，属于简单题.

16. 设集合，.

（1）求集合

（2）若不等式的解集为，求的值

【答案】（1）；（2），

【解析】

【分析】

（1）首先根据题意得到，或，再求即可.

（2）首先求出或，从而得到和为方程的根，再利用韦达定理即可得到答案.

【详解】（1），或.

则.

（2）因为或，所以和为方程的根.

所以，解得.

【点睛】本题主要考查集合运算，同时考查了二次不等式，属于简单题.

17. 已知函数图象过点．

（1）求实数的值，并证明函数是奇函数；

（2）利用单调性定义证明在区间上是增函数．

【答案】（1），证明略  （2）见证明

【解析】

【分析】

（1）代入点，求得m，再由奇函数的定义，即可得证

（2）根据单调性的定义，设值，作差，变形，定符号和下结论即可得证

【详解】（Ⅰ）的图象过点，

∴，∴.

∴，的定义域为，关于原点对称，

，又，∴，

是奇函数．

（Ⅱ）证明：设任意，

则

又，，，∴

∴，

∴，

即在区间上是增函数

【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解以及单调性的判断和证明，属于基础题，难度不大，掌握相关基本方法是解决该类题目的关键．

18. 近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入（万元）满足，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：

（1）求利润函数的解析式（利润=销售收入-总成本）；

（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？

【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）12 .

【解析】

试题分析：（1）先求得，再由，由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法，然后比较两个最值即可得到结果.

试题解析：（1）由题意得                     

∴   .

（2）当时， 函数递减，∴万元

当时，函数

当时，有最大值60万元                     

所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元 . 

 【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).