【2022版】专题23数列通项公式的求解策略-高三数学万能解题模板（原卷+解析版）

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专题23 数列通项公式的求解策略

【高考地位】
在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。
方法一 数学归纳法
万能模板
内 容
使用场景
根据数列的特征，猜想通项公式并证明
解题模板
第一步 求出数列的前几项，并猜想出数列的通项；
第二步 使用数学归纳法证明通项公式是成立的.
例1 若数列的前n项和为，且方程有一个根为－1，n=1,2,3..
(1) 求 ；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明

【解析】（1）
（2）第一步，求出数列的前几项，并猜想出数列的通项；
由知
代入
………（）

第二步，使用数学归纳法证明通项公式是成立的.

【变式演练1】【浙江省宁波市余姚中学2021届高三月考】设数列满足，，
（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
【答案】（1），，，猜想；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据递推公式即可得，，的值，根据，，的值可猜想的通项公式；
（2）根据数学归纳法的步骤证明即可.
【详解】
解:（1）由题可得；，，，猜想．
（2）下面用数学归纳法证明．
①当时，猜想成立；
②假设时，等式也成立，即．
则时．
即时也猜想成立.
由①②知等式成立.
方法二 已知求
万能模板
内 容
使用场景
已知
解题模板
第一步 利用满足条件，写出当时，的表达式；
第二步 利用，求出或者转化为的递推公式的形式；
第三步 根据求出，并代入的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据和的递推公式求出.
例2 在数列中，已知其前项和为，则__________．
【答案】
【解析】第一步，利用满足条件，写出当时，的表达式；
当时，；
第二步，利用，求出或者转化为的递推公式的形式；

第三步，根据求出，并代入的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据和的递推公式求出.

【变式演练2】【云南省曲靖市第一中学2021届高三上学期高考复习质量监测】已知数列满足，若，则数列的前项和________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据前项和与通项的关系得，进而得，再根据裂项相消求和法求解即可得答案.
【详解】
因为，
所以，
两式相减得，当时也满足，
故，，
故.
故答案为：
【点睛】
本题考查前项和与通项的关系，裂项相消求和.解题的关键在于根据已知条件得的前项和为，再根据前项和与通项的关系求得，进而再根据裂项相消求和即可.考查运算求解能力，是中档题.
方法三 累加法
万能模板
内 容
使用场景
型如或
解题模板
第一步 将递推公式写成；
第二步 依次写出，并将它们累加起来；
第三步 得到的值，解出；
第四步 检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.
例3 数列满足，对任意的都有，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】第一步，将递推公式写成；

第二步，依次写出，并将它们累加起来；

第三步，得到的值，解出；
所以，

第四步，检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.

【变式演练3】若数列满足，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【来源】江苏省南京师大附中秦淮科技高中2021-2022学年高三上学期暑期检测（一）数学试题
【答案】A
【分析】
利用累加法得到数列的通项，结合对勾函数的性质可得结果.
【详解】
由题意可知，，
则，
又在 上递减，在上递增，
且，
时，；
时，，
故选：A．
方法四 累乘法
万能模板
内 容
使用场景
型如或
解题模板
第一步 将递推公式写成；
第二步 依次写出，并将它们累加起来；
第三步 得到的值，解出；
第四步 检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.

例4 已知数列满足
【答案】
【解析】第一步，将递推公式写成；

第二步，依次写出，并将它们累加起来；

第三步，得到的值，解出；

第四步，检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.

【变式演练4】【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟】设数列中，若等比数列满足，且，则__.
【答案】2.
【解析】
【分析】
由变形可得，进而由累乘法可得，结合等比数列的性质即可得解.
【详解】
根据题意，数列满足，即，
则有，
而数列为等比数列，则，
则，
又由，则.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了等比数列的性质以及应用，考查了累乘法求数列通项的应用及运算求解能力，属于中档题.
方法五 构造法一
万能模板
内 容
使用场景
型如（其中为常数，且）
解题模板
第一步 假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；
第二步 由待定系数法，解得；
第三步 写出数列的通项公式；
第四步 写出数列通项公式.
例5 已知数列{}满足=1，= ()，求数列{}的通项公式。
【答案】=
【解析】第一步，假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；


第二步，由待定系数法，解得；

第三步，写出数列的通项公式；

第四步，写出数列通项公式.

【变式演练5】【南昌市2020届高三数学（理科）零模】已知数列中，，且，，数列的前项和为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由得，即数列是以2为首项，以为公比的等比数列，即可求出，进而求得
【详解】
因为，所以，
因为，所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列，
所以，即，
，所以.
故答案为：
方法六 构造法二
万能模板
内 容
使用场景
型如（其中为常数，且）
解题模板
第一步 假设将递推公式改写为；
第二步 由待定系数法，求出的值；
第三步 写出数列的通项公式；
第四步 写出数列通项公式.
例6 已知数列满足，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】
第一步，假设将递推公式改写为；


第二步，由待定系数法，求出的值；

第三步，写出数列的通项公式；

为首项，以2为公比的等比数列，因此，
第四步，写出数列通项公式.
则。
【变式演练6】【新疆乌鲁木齐第70中学2021届高三月考】设数列中前项的和，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由求得，在已知等式中用替换另一等式，两式相减后得的递推式，可构造出一新的等比数列，利用等比数列通项公式可求得，检验是否也适合此式即可得．
【详解】
由①，
取得：，即.
当时，②，
①－②得：，即.
.
∵，
∴数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴.
，
故答案为：.
方法七 构造法三
万能模板
内 容
使用场景
型如（其中为常数，且）
解题模板
第一步 在递推公式两边同除以，得；
第二步 利用方法五，求数列的通项公式；
第三步 写出数列通项公式.
例7 已知数列满足，，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】
第一步，在递推公式两边同除以，得；


第二步，利用方法五，求数列的通项公式；

第三步，写出数列通项公式.

【变式演练7】【内蒙古赤峰二中2021届高三月考】已知数列中，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知递推关系变形凑出一个等差数列的形式，然后利用等差数列通项公式求解．
【详解】
∵，∴，
∴数列是等差数列，公差为，又，
∴，∴．
故答案为：．
方法八 构造法四
万能模板
内 容
使用场景
型如（其中为常数，且）
解题模板
第一步 假设将递推公式改写成；
第二步 利用待定系数法，求出的值；
第三步 求数列的通项公式；
第四步 根据数列的通项公式，求出数列通项公式.
例8 数列中，，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】
第一步，假设将递推公式改写成；

第二步，利用待定系数法，求出的值；

第三步，求数列的通项公式；

第四步，根据数列的通项公式，求出数列通项公式.

【变式演练8】【浙江省2020届高三下学期6月新高考进阶】在数列中，，，.
（1）求的通项公式；
（2），是数列的前项和，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题得，构造数列为等比数列，得，从而有，对分奇偶，采用累加法求出的通项公式；
（2）由（1）可得，则可得，故，采用裂项相消法求即可证明.
【详解】
（1）由得，，又，
所以数列为首项为3，公比为4的等比数列，
故，
又，则有，
所以当为奇数时，

，
当为偶数时，，
经验证均符合，
故；
（2），则，
所以
，
所以
所以

方法九 构造五
万能模板
内 容
使用场景
型如（其中为常数）
解题模板
第一步 将递推公式两边取倒数得；
第二步 利用方法五，求出数列的通项公式；
第三步 求出数列通项公式.
例9 已知数列满足求数列的通项公式。
【答案】
【解析】第一步，将递推公式两边取倒数得；

第二步，利用方法五，求出数列的通项公式；

第三步，求出数列通项公式.

【变式演练9】【广东省中山市华侨中学港澳台班2021高三月考】数列中，则_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
对两边取到数可得，从而可得数列是等差数列，求出数列的通项公式，即可求出.
【详解】
因为，所以，即，又，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以，所以.
故答案为：
方法十 构造六
万能模板
内 容
使用场景
型如
解题模板
第一步 对递推公式两边取对数转化为；
第二步 利用方法五，求出数列的通项公式；
第三步 求出数列通项公式.
例10 若数列{}中，=3且（n是正整数），求它的通项公式是。
【解析】第一步，对递推公式两边取对数转化为；

第二步，利用方法五，求出数列的通项公式；

第三步，求出数列通项公式.

【变式演练10】【湖南省长沙市雅礼中学2021届高三月考】已知数列，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）在等式两边取常用对数，得出，可得出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式；
（2）求得，然后利用错位相减法可求得.
【详解】
（1）在数列中，，，则，，，，
对任意的，.
在等式两边取常用对数，可得，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，
因此，；
（2）由（1）可得，
，
，
上式下式得，
因此，.
【高考再现】
1．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．
2．（2021·浙江高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得

，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.
3．（2021·全国高考真题（理））已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】答案见解析
【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列.
【详解】选①②作条件证明③：
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，所以.
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.
4．（2021·全国高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】（1）由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，数列的前n项积与项的关系，其中由,得到，进而得到是关键一步；要熟练掌握前n项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法.
5.【2020年高考全国Ⅲ卷理数17】
设等比数列满足．
（1）计算，猜想的通项公式并加以证明；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【思路导引】（1）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）由错位相减法求解即可．
【解析】（1）由，， ，， …
猜想的通项公式为．
证明如下：（数学归纳法）当时，显然成立； （1）
假设时，即成立；其中，
由 （2）
故假设成立，综上（1）（2），∴
（2）解法一：令，则前项和 （1）
由（1）两边同乘以2得： （2）
由（1）（2）的，
化简得．
解法二：由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了数学归纳法，考查错位相减法求数列的和，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是合理转化，正确猜想．
6.【2017全国III文，17】设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）先由题意得时，，再作差
得，验证时也满足（2）由于，
所以利用裂项相消法求和.


【考点】数列通项公式，裂项法求和
【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间
若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)
的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.学科*网
7.【2016高考新课标Ⅲ文数】已知各项都为正数的数列满足，.
（I）求；
（II）求的通项公式.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
8.【2016高考新课标3理数】已知数列的前n项和，其中．
（I）证明是等比数列，并求其通项公式；[来源:学科网ZXXK]
（II）若 ，求．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先利用公式，得到数列的递推公式，然后通过变换结合等比数列的定义可证；（Ⅱ）利用（Ⅰ）前项和化为的表达式，结合的值，建立方程可求得的值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，
解得．
考点：1、数列通项与前项和为关系；2、等比数列的定义与通项及前项和为．
【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．
9.【2015高考广东，文19】（本小题满分14分）设数列的前项和为，．已知，，，且当
时，．[来源:学*科*网]
（1）求的值；
（2）证明：为等比数列；[来源:Zxxk.Com]
（3）求数列的通项公式．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
（3）由（2）知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以

【反馈练习】
1．【重庆市第八中学2021届高三上学期适应性月考】斐波那契(约1170~1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草，万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列满足，，设，则（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】B
【解析】
【分析】
根据满足，偶数项代换后，与下一项结合得到下一个偶数项，依次进行下去，即得结果.
【详解】
因为斐波那契数列满足，，
则和式中，偶数项代换后，与下一项结合得到下一个偶数项，依次进行下去，则，则.
故选:B.
2．（多选题）【江苏省徐州市市区部分学校2020-2021学年高三上学期9月学情调研】黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an (n∈N*)，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)．再将扇形面积设为bn (n∈N*)，则（ ）

A．4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021 B．a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1
C．a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝2a2019·a2021 D．a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝0
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对于A，由题意得bn ＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B，利用累加法求解即可；对于C，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)，即an－1＝an－2－an，两边同乘an－1 ，可得an－12＝an－1 an－2－an－1 an，然后累加求解；对于D，由题意an－1＝an－an－2，则a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2，化简可得结果
【详解】
由题意得bn ＝an2，则4(b2020－b2019)＝4(a20202－a20192)＝π(a2020＋a2019)(a2020－a2019)＝πa2018·a2021，则选项A正确；
又数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)，所以an－2＝an－an－1(n≥3)，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(a2021－a2020)＝a2021－a2＝a2021－1，则选项B正确；
数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)，即an－1＝an－2－an，两边同乘an－1 ，可得an－12＝an－1 an－2－an－1 an，则a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝a12＋(a2a1－a2a3)＋(a3a2－a3a4)＋…＋(a2020a2019－a2020a2021)＝a12－a2020a2021＝1－a2020a2021，则选项C错误；
由题意an－1＝an－an－2，则a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝a2019·(a2021－a2019)＋a2020·(a2018－a2020)＝a2019·a2020＋a2020·(－a2019)＝0，则选项D正确；
故选：ABD.
3．【重庆市巴蜀中学2021届高三上学期高考适应性月考】设数列的前项和为，已知，，若，则的最小值是______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据已知条件先求解出，再利用求解出，将不等式化简求解出的取值范围，从而的最小值可求.
【详解】
∵，∴，
∴，∴是等比数列且，
又，∴，∴，
∴当时，，则有，
又∵，∴，
化简得，解得或，
∵，所以，则．
故答案为：.
【点睛】
本题考查数列与不等式的综合应用，其中涉及构造法求通项公式以及利用求的通项公式，难度较难.
4．【陕西省部分学校2020-2021学年高三上学期摸底检测】已知数列的前项和为，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用数列与的关系可转化条件为，进而可得，利用等比数列的通项公式即可得解.
【详解】
，，，,
即，
又，数列是首项为，公比为3的等比数列，
，.
故答案为：.
5．【浙江省山水联盟2020-2021学年高三上学期开学考试】若数列满足，，则使得成立的最小正整数的值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据递推关系式可证得数列为等比数列，根据等比数列通项公式求得，代入不等式，结合可求得结果.
【详解】
，，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，，
由得：，即，
，且，满足题意的最小正整数.
故答案为：.
6．【2020届河北省石家庄市高三模拟（八）】已知数列{an}满足（n∈N*），且a2=6，则{an}的通项公式为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意令n=1可得a1，当时，转化条件可得，进而可得，即可得解.
【详解】
因为数列{an}满足（n∈N*），所以，
①当n=1时，即a1=1，
②当时，由可得，
∴数列从第二项开始是常数列，
又，∴，
∴，
又满足上式，
∴.
故答案为：.
7．【山西省山西大学附属中学2020-2021学年高三上学期9月模块诊断】在数列中，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
通过递推公式求出可得数列是周期数列，根据周期即可得答案.
【详解】
，，，
可得数列是以3为周期的周期数列，
，
故答案为：.

8．【安徽省淮南市寿县第一中学2020届高三下学期最后一卷数学】已知数列满足，，，数列成等差数列.现从中选取这100个个体，从小到大依次编号为1，2，…，99，100，依从小到大的编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…10.现从每组中抽取一个号码，组成一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同.若，则在第8组中抽取的号码所对应数列的项的值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据系统抽样，先确定第8组中抽取的数字号码为，即；再由题意，根据等差数列的通项公式，以及累加法求出，即可得出结果.
【详解】
因为第1组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同，
所以，时，，
因此第8组中抽取的号码个位数字为，
又每组有10个数字，因此第8组中抽取的数字号码为，即；
因为数列满足，，，数列成等差数列，
设公差为，则，，
所以，
则，，……，，
以上各式相加得，则，
所以.
故答案为：.
9．【湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2020届高三下学期高考押题】若数列{an}满足a1＝2，an+1，a2020＝_____.
【答案】
【解析】
【分析】
分别求出，得到数列是周期为4的数列，利用周期性即可得出结果.
【详解】
数列满足，，
，同理可得：，
，
，
…
数列是周期为4的数列，
又2020＝505×4，，
故答案为：.
10．【广东省汕头市金山中学四校2021届高三上学期10月联考】已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是_______，_______.
【答案】 146
【解析】
【分析】
根据已知与的关系式，利用求数列的通项公式；由所得通项公式有奇数项通项公式为，求前9项中奇数项的和即可.
【详解】
由，
当时，，
当时，，
∴，
∴奇数项通项为，，
.
故答案为：；146.
11．【浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次联考】已知数列的前项和为，满足，，则_______；___________．
【答案】 5
【解析】
【分析】
先构造数列，根据，计算，即得；根据相邻项乘积定值，得奇偶特征，计算即可.
【详解】
依题意，设，则，，故，
，故；
因为，，，故以此类推，n是奇数，，故，
n是偶数，，故，所以.
故答案为：；5.
12．若正项数列满足，则数列的通项公式是_______．
【来源】江西省智学联盟体（南昌市第二中学等）2022届高三上学期第一次联考数学（文）试题
【答案】
【分析】
根据给定条件将原等式变形成，再利用构造成基本数列的方法求解即得.
【详解】
在正项数列中，，则有，
于是得，而，因此得：数列是公比为2的等比数列，
则有，即，
所以数列的通项公式是.
故答案为：
13．在数列中，，，则______ ．
【来源】重庆市缙云教育联盟2022届高三上学期8月月度质量检测数学试题
【答案】18
【分析】
利用累积法进行求解即可.
【详解】
解：在数列中，，，
，则
故答案为：18．
14．已知数列满足，则的最小值为___________.
【来源】甘肃省西北师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期第二次月考数学试题
【答案】
【分析】
利用数列递推式，可得数列是以10为首项，1为公差的等差数列，可得数列的通项，再利用函数的单调性，即可求的最小值．
【详解】
解：
，
数列是以10为首项，1为公差的等差数列


在上单调递减，在上单调递增
时，取得最小值为
故答案为：
15．数列满足，且，则数列前项的和为_________．
【来源】考点38 数列求和-备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用）
【答案】
【分析】
利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项求和法可求得数列前项的和.
【详解】
由题意可得，
所以，，
因此，数列前项的和为.
故答案为：.
16．【海南、山东等新高考地区2021届高三上学期期中备考金卷】已知数列的前项和为，且，数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）若，，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）令可求得的值，令，由可得出，两式作差可得出，且有，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）利用累加法可求得，，可得，进而可求得数列的前项的和.
【详解】
（1）当时，，；
当时，由可得出，
两式作差得，即，则，且，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比也为，；
（2）由题意得，，所以，且，
则，，，，，
所以，
所以，所以，
所以，易得也适合上式，
所以的前项和为.
17．【广东省2021届高三上学期10月联考】给出一下两个条件：①数列为等比数列，且，②数列的首项，且.从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).
（1）求数列的通项公式；.
（2）设数列满足，求数列的前n项和.
【答案】条件选择见解析，（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）若选条件①.，和两式相处可得数列的公比，令，可以求出，即可得的通项公式；若选条件②.，利用累加法可以求的通项公式；
（2）若选条件①.，利用（1）的结果可得，利用裂项相消求和即可，若选条件②. 利用（1）的结果可得，也采用裂项相消求和即可.
【详解】
若选条件①.
（1）由条件，得，
则公比，
令，可得，
即，所以，
从而有.
（2）由（1）得，，
则有，
则其前n项和为：

.
若选条件②.
（1）令，可得，
令，可得，
依次类推可得：，
将这一系列等式求和可得：.
其中，故可得.
（2）由（1）得，，
则有，
则其前n项和为：


18．【江西省赣州市会昌县七校2021届高三联合月考】已知数列中，且．数列中，且（）．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为，并求使得恒成立的最大正整数的值．
【答案】（1），；（2），最大正整数值为6.
【解析】
【分析】
（1）利用与两式相减可得，根据等比数列的通项公式可得，根据利用累乘法可得.
（2）利用错位相减法求出，再求出的最小值，解关于的不等式可得解.
【详解】
（1）因为，
当时，，
两式相减得；
当时，，所以；
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则．
数列中，，满足（）．
即，，，…，，，
等式左右两边分别相乘可得，而，所以．
（2），由（1）可得，数列的前项和为.
则

两式相减可得
，所以，
因为为递增数列，所以，
故恒成立，只需，变形可得，
所以，即最大正整数值为6.
19．【广东省2021届高三上学期新高考适应性测试（一）】已知数列的前项和为，，且满足.
（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用化简已知条件，从而证得数列是等比数列，先求得，然后求得数列的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求得.
【详解】
（1）由题得，，
整理得，.
因为，，
所以当时，，
当时，，
所以当时，有，
因此是以2为首项，2为公比的等比数列.
所以，
所以.
（2）由（1）知，
则， ①
①×2，得， ②
②-①，得


.
20．已知数列的前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【来源】重庆市第八中学2022届高三上学期入学摸底数学试题
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）令可求得的值，令，由可得出，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
【详解】
（1）当时，，解得，
当时，由可得出，
上述两式作差可得，所以，，
所以是以为首项，公比的等比数列，所以；
（2），，
，
上式下式可得，
因此，.
21．已知数列，，．，数列的前项和为，（）．
（1）求的值和的通项公式；
（2）令，求．
【来源】山东省新高考质量测评联盟2021届高三4月联考数学试题
【答案】（1）；；（2）．
【分析】
（1）根据前项和与的关系即可求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消即可求出结果.
【详解】
解：（1）数列，，．，数列的前项和为，
①．
当时，整理得，解得．
当时，②，
①-②得：，
由于．，
所以，
整理得（常数），
由于，数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
故，所以．
（2）由（1）得：，
所以，
故．
22．在①；②；③（）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.
已知数列中，，__________.
（1）求；
（2）若数列的前项和为，证明：.
【来源】重庆市杨家坪中学2021届高三下学期第二次月考数学试题
【答案】选①②③（1）；（2）答案见解析.
【分析】
选①：（1）利用累加法以及等差数列前项和公式即可求解；选②：将
整理后即可得
是等差数列，求其通项公式可得；选③：根据已知化简为，
可得是等差数列，求其通项公式可得；（2）利用裂项求和求出，再利用不等式放缩和单调性即可求证.
【详解】
（1）选①：
由（）可得：
当时，



当时，，符合，
所以当时，；
选②：
由，可得，
即，
又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，所以；
选③：
由可得，
即，
又，所以是首项为4，公差为4的等差数列，
所以，所以；
（2）证明：由（1）得，
所以，
因为，所以，
又因为随着的增大而增大，所以，
综上.
23．已知数列满足：，．
（1）证明：数列是等比数列并求数列的前项和为．
（2）设，求数列的前项和．
【来源】广东省江门市蓬江区培英高中2021届高三5月份数学冲刺试题
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【分析】
（1）要证数列是等比数列，只需证明等于同一个常数即可，根据构造即可得证；求出数列的通项公式，利用分组求和法即可求出数列的前项和；
（2）求出数列得通项公式，利用错位相减法即可求得数列的前项和．
【详解】
（1）证明：因为，
所以，即，
，
所以数列是以2为首项2为公比的等比数列，
则 ，故，
所以

；
（2）解：，
则①
②
①②得：


所以.
24．已知为数列的前n项和，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意的，将中落入区间内项的个数记为，求数列的前m项和．
【来源】2021年秋季高三数学开学摸底考试卷02（新高考专用）
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用数列与的关系，求数列的通项公式；（2）由（1）得，从而解出，确定，利用等比数列求和.
【详解】
（1），
，①
，②
①-②：，∴，
，
综上：
（2）由题意知：，即，∵，
∴，∴，
∴
25．已知正项数列的前n项和为，，当时，是与的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
【来源】湖南省新高考2021届高三下学期考前押题《最后一卷》数学试题
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）首先由条件可知，再利用数列与的关系，变形得到递推关系，得到数列的通项公式；（2）由（1）得到，再求数列的和.
【详解】
（1）由题得，当时，①，
当时，②，
①-②，得，
所以③.
当时，由，得，
整理得，解得或(舍去).
又，符合③式.
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以.
（2）由（1）得.
所以.
所以

.
26．已知正项等差数列的前项和为，满足，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求.
【来源】广东省揭阳市2021届高考数学模拟考精选题试题（一）
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）当时，由，得，两式相减可得，从而可求出，当时，，求出，进而可出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，从而可求出
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为，则
由，得
相减得即，
又，所以，
由，得，
解得，(舍去)
由，得；
（2）


.
27．已知数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，求.
【来源】四川省遂宁市2021届高三三三模数学（理）试题
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出的通项公式；
（2）错位相减法求数列的和.
【详解】
（1）因为，令，则，又，
所以，
对两边同时除以，得，
又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，故；
（2）由（1）得：
所以，
则
两式相减得
所以
故
28．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答
问题：设数列的前项和为，且___________，，的前项和
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
【来源】山东省泰安市2021届高三数学考前冲刺卷试题（二）
【答案】选①②③得到都是同一个结果，.
【分析】
①，，两式相减求出，再利用裂项相消法求出；
②由已知得，所以，再利用裂项相消法求出；
③设利用累加法求出，求出，再利用裂项相消法求出.
【详解】
①，，
两式相减得，当时，，所以，，
所以数列是一个等差数列，所以，
所以，
所以.
②,
所以，因为，所以，
所以，
所以.
③，设所以，
所以，，
所以，
又满足上式，
所以，
所以，
所以.