2022高考数学一轮复习专题36 运用裂项相消法求和（原卷）

专题36  运用裂项相消法求和

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．常见的裂项技巧

①＝－.     ②＝.

③＝.        ④＝－.

⑤＝.

一、题型选讲

例1、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列是等比数列，且，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

例2、（华南师大附中2021届高三综合测试）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．

已知Sn为等差数列的前n项和，若         ．

(1)求an；

(2)令，求数列的前n项和Tn．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

例3、（江苏盐城中学2021届高三年级第三阶段检测数学试题）已知数列的前n项和满足，且.

（1）求数列的前n项和及通项公式；

（2） 记，为的前n项和，求．

例4、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

例5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知数列的前n项和满足，且.

（1）求数列的前n项和，及通项公式；

（2）记，为的前n项和，求.

例6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.

(1)求;

(2)设，求的前项和.

例7、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为．

(1)求的通项公式；

(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．

例8、【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】在数列中，有.

（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；

（2）记，求数列的前n项和.

二、达标训练

1、【2020届中原金科大联考高三4月质量检测】已知数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

2、（2020届山东省临沂市高三上期末）设，向量，，.

（1）试问数列是否为等差数列？为什么？

（2）求数列的前项和.

3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知等差数列满足,前7项和.

(1)求数列的通项公式;

(2)设,求数列的前项和.

4、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知等差数列和等比数列满足：

(I)求数列和的通项公式；

(II)求数列的前项和.

5、（南通市2021届高三年级期中学情检测）等比数列的前n项和为成等差数列，且.

（1）求数列的通项公式；  （2）若，求数列的前项和.

6、（金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一））已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2＝an(Sn－)．

(1)求Sn的表达式；

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．