2022高考数学一轮复习专题36 运用裂项相消法求和（解析卷）

专题36  运用裂项相消法求和

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．常见的裂项技巧

①＝－.     ②＝.

③＝.        ④＝－.

⑤＝.

一、题型选讲

例1、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列是等比数列，且，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【解析】（1）设数列的公比为，∵，

∴，∴，

∵，

∴，

∴，

即：，

解得：.

∴，

∴.

（2），

∴

.

例2、（华南师大附中2021届高三综合测试）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．

已知Sn为等差数列的前n项和，若         ．

(1)求an；

(2)令，求数列的前n项和Tn．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【解析】：(1)若选择条件(1)，在等差数列中

，，解得

若选择条件(2)，在等差数列中

，解得

；

若选择条件(3)，在等差数列中

al=Sl=3，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n -[(n-l)2 +2(n -1)]= 2n+l，a1也符合，

∴an=2n+1；

(2)由(1)得，

例3、（江苏盐城中学2021届高三年级第三阶段检测数学试题）已知数列的前n项和满足，且.

（1）求数列的前n项和及通项公式；

（2） 记，为的前n项和，求．

【解析】(I)由已知有，

∴数列为等差数列，

且，

∴，即，

当时，，

又也满足上式，∴；

(II)由(1)知，，

∴，

例4、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【解析】（1）当时，，整理得，，解得；

当时，①，可得②，

①－②得，即，

化简得，

因为，，所以，

从而是以为首项，公差为的等差数列，所以；

（2）由（1）知，

因为，

.

例5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知数列的前n项和满足，且.

（1）求数列的前n项和，及通项公式；

（2）记，为的前n项和，求.

【解析】（I）由已知有，

∴数列为等差数列，

且，

∴，即，

当时，，

又也满足上式，∴；

（II）由（1）知，，

∴，

例6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.

(1)求;

(2)设，求的前项和.

【解析】 (1)设数列的公差为，

由题意知:    ①

又因为成等比数列，

所以，

，

，

又因为，

所以.  ②

由①②得，

所以，

， ，，

.

(2)因为，

所以

所以数列的前项和.

例7、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为．

(1)求的通项公式；

(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）设等差数列的公差为d，

由得，解得，

；

（2），

， ，

若，则，整理得，

又，，整理得，

解得，

又，，，

∴存在满足题意．

例8、【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】在数列中，有.

（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；

（2）记，求数列的前n项和.

【解析】（1）因为，

所以当时，，

上述两式相减并整理，得.

又因为时，，适合上式，

所以.从而得到，

所以，

所以数列为等差数列，且其通项公式为.

（2）由（1）可知，.

所以

.

二、达标训练

1、【2020届中原金科大联考高三4月质量检测】已知数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【解析】（1）当时，，整理得，，解得；

当时，①，可得②，

①－②得，即，

化简得，

因为，，所以，

从而是以为首项，公差为的等差数列，所以；

（2）由（1）知，

因为，

.

2、（2020届山东省临沂市高三上期末）设，向量，，.

（1）试问数列是否为等差数列？为什么？

（2）求数列的前项和.

【解析】（1），

.

，

为常数，

是等差数列.

（2），

.

3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知等差数列满足,前7项和.

(1)求数列的通项公式;

(2)设,求数列的前项和.

【解析】 (1)设等差数列的公差为d,由可知,前7项和.

,解得..

(2)

前项和

.

4、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知等差数列和等比数列满足：

(I)求数列和的通项公式；

(II)求数列的前项和.

【解析】 (I) ，故，

解得，故，.

(II)

，故.

5、（南通市2021届高三年级期中学情检测）等比数列的前n项和为成等差数列，且.

（1）求数列的通项公式；  （2）若，求数列的前项和.

【解析】（1）设等比数列的公比为，

由成等差数列知，，

所以，即.                                          又，所以，所以，       

所以等差数列的通项公式.                            

（2）由（1）知

所以                                   

所以数列的前 项和：

所以数列的前项和  

6、（金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一））已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2＝an(Sn－)．

(1)求Sn的表达式；

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．

【解析】：(1)因为Sn2＝an(Sn－)，

当n≥2时，Sn2＝(Sn－Sn－1)(Sn－)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn．①…………2分

由题意得Sn－1·Sn≠0，所以－＝2，

即数列{}是首项为＝＝1，公差为2的等差数列．…………5分

所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，得Sn＝． …………………………………………7分

(2)易得bn＝＝……………………………8分

＝(－)，……………………………10分

所以Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)

＝