2021-2022学年福建省莆田市八年级（上）期末数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年福建省莆田市八年级（上）期末数学试卷 解析版，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省莆田市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为（　　）
A．3×10﹣6 B．3×10﹣7 C．0.3×10﹣6 D．0.3×10﹣7
3．（4分）若多边形的边数由3增加到n（n为大于3的整数）则其外角和的度数（　　）
A．增加 B．减少 C．不变 D．不能确定
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．（a3）2＝a5
C．（2ab）3＝6a3b3 D．
5．（4分）袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种规格，小朦同学已经取了10cm和15cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（　　）

A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
6．（4分）若xy＝x﹣y，则分式＝（　　）
A． B．y﹣x C．﹣1 D．1
7．（4分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，OC＝CD＝DE．若∠BDE＝81°，则∠AOB的度数是（　　）

A．24° B．27° C．30° D．33°
8．（4分）下列关于全等三角形的说法中，不正确的是（　　）
A．面积及一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．面积相等的两个等腰直角三角形全等
C．面积及底边对应相等的两个等腰三角形全等
D．面积及腰对应相等的两个等腰三角形全等
9．（4分）在△ABC中，线段AD，AE，AF分别是△ABC的高、中线、角平分线，以下两个结论：
①若∠B＝∠C，则点D，E，F重合；
②若∠B≠∠C，则点F总在点D，E之间，其中（　　）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①②均是假命题 D．①②均是真命题
10．（4分）挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式﹣﹣阿贝尔公式：如图是一个简单的阶梯形，可用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系，可以得到：a1b1+a2b2+a3b3＝（　　）

A．a1（b2﹣b3）+（a1+a2）（b1﹣b2）+（a1+a2+a3）b3
B．a1（b1﹣b2）+（a1+a2）（b1﹣b2）+（a1+a2+a3）b2
C．a1（b1﹣b2）+（a1+a2）（b2﹣b3）+（a1+a2+a3）b3
D．a1（b2﹣b3）+（a1+a2）（b2﹣b3）+（a1+a2+a3）b2
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）分解因式：x2﹣2x+1＝　 　．
12．（4分）若分式y＝有意义，则x的取值范围是 　 　．
13．（4分）点（1，﹣3）关于y轴的对称点坐标是　 　．
14．（4分）将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中F，A，C，D四点在同一直线上，点B在AE上，则图中∠ABF的度数是 　 　．

15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，DE⊥AC于点E．F为BC上一点，若DF＝AD，S△ACD﹣S△CDF＝6，则△AED的面积为 　 　．

16．（4分）今年以来，由于受到大宗商品价格上涨的影响，某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品的价格进行调整，现有3种方案：①第一次提价m%，第二次降价n%；②第一次提价n%，第二次降价m%；③第一次提价，第二次降价，其中m＞n＞0．这三种方案中提价最多的是方案 　 　．（填上方案序号）
三、解答题：本大题共9小题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤.
17．（8分）计算：
（1）49.8×50.2；
（2）（7x2y3﹣8x3y2z）÷8x2y2．
18．（8分）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨BD＝CD，AB＝AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．为什么？

19．（8分）先化简再求值：，其中．
20．（8分）如图，AC⊥AB于点A，射线BD⊥AB于点B，AB＞AC．在AB上找一点P，在射线BD上找一点Q，使得△ACP与△BPQ全等，以下是甲、乙两位同学的作法．
甲：作线段AB的垂直平分线交AB于点P，在射线BD上取点Q，使得PQ＝PC，则P，Q两点即为所求；
乙：在线段AB上截取BP＝AC，连接CP，过点P作CP的垂线交射线BD于点Q，则P，Q两点即为所求．
（1）请在甲、乙两位同学的作法中任选一种，补全图形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）甲、乙两位同学的作法中，△ACP与△BPQ全等的判定依据分别是 　 　、　 　．（填“SSS”，“SAS”，“ASA”或“HL”）

21．（8分）列方程解应用题
回望建党百年，科技引领发展，科技的发展是实现中国梦的重要支撑．2021年9月，在第十三届中国国际航空航天博览会上，换装国产发动机的歼﹣20战机首次亮相，展示了中国空军飞速发展的战斗力，该机将担负中国空军未来对空、对海的主权维护任务．2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，并顺利与中国天宫空间站实现对接．
天宫空间站的运行速度接近第一宇宙速度，第一宇宙速度比歼﹣20最大飞行速度快7.05千米/秒．如果天宫空间站以第一宇宙速度飞行632千米所用时间比歼﹣20以最大速度飞行85千米所用时间少20%，求歼﹣20最大飞行速度．
22．（10分）“回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷．例如：处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺．数学中也有像回文联一样的“回文等式”，例如，以下是三个两位数乘两位数的“回文等式”：
21×24＝42×12，
31×26＝62×13，
12×84＝48×21．
（1）下列选项中能构成“回文等式”的是 　 　．（填上所有正确的序号）
A.18×31与13×81
B.46×32与63×24
C.46×96与69×64
D.22×454与454×22
E.31×286与682×13
（2）请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律，并用所学数学知识证明．
23．（10分）在△ABC中，∠BAC为钝角，AB＝AC，点D在边AC上，点E在射线BA上，且CE＝BD．
【方法探究】（1）如图1，若点E在边AB上，求证：AD＝AE；
小红给出的证明思路：过点B作BM⊥CA的延长线于点M，过点C作CN⊥BA的延长线于点N，……
请你按照小红的思路完成剩下的证明；
【拓展延伸】（2）如图2，若∠BAC＝120°，点E在BA的延长线上，试探究线段AB，AD，AE之间的数量关系，并说明理由．


24．（12分）阅读下面材料，并解答相应的问题
欧拉分式
欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见．在分式中，就有这样一个欧拉分式：
＝．
（1）请你对欧拉分式中，当n＝2时的情况进行证明；
（2）请你利用欧拉分式解决下列问题：
①计算：；
②求的值．
25．（14分）在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上运动．以DE为边向右作等边△DEF，设AD＝kBE．
（1）如图1．求证：∠CEF＝∠BDE；
（2）如图1，连接CF，请你从下列三个选项中，任选一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明：①k＝2；②CF平分∠ACB；③AD，BE，CF三条线段构成以AD为斜边的直角三角形．
（3）如图2，k＝，连接AF，BF．当AF+BF取得最小值时，求的值．


2021-2022学年福建省莆田市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（4分）KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为（　　）
A．3×10﹣6 B．3×10﹣7 C．0.3×10﹣6 D．0.3×10﹣7
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000003用科学记数法表示为：3×10﹣7．
故选：B．
3．（4分）若多边形的边数由3增加到n（n为大于3的整数）则其外角和的度数（　　）
A．增加 B．减少 C．不变 D．不能确定
【分析】利用多边形的外角和特征即可解决问题．
【解答】解：因为多边形外角和固定为360°，所以外角和的度数是不变的．
故选：C．
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．（a3）2＝a5
C．（2ab）3＝6a3b3 D．
【分析】直接利用整式的除法运算法则、同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项正确；
B、（a3）2＝a6，故此选项错误；
C、（2ab2）3＝8a3b6，故此选项错误；
D、3a2÷4a2＝，故此选项错误；
故选：A．
5．（4分）袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种规格，小朦同学已经取了10cm和15cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（　　）

A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
【分析】先设第三根木棒的长为xcm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出不符合条件的x的值即可．
【解答】解：设第三根木棒的长为xcm，
∵已经取了10cm和15cm两根木棍，
∴15﹣10＜x＜15+10，即5＜x＜25．
∴四个选项中只有D不在其范围内，符合题意．
故选：D．
6．（4分）若xy＝x﹣y，则分式＝（　　）
A． B．y﹣x C．﹣1 D．1
【分析】原式进行通分计算，然后代入求值．
【解答】解：原式＝＝＝﹣，
∵xy＝x﹣y，
∴原式＝﹣＝﹣1，
故选：C．
7．（4分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，OC＝CD＝DE．若∠BDE＝81°，则∠AOB的度数是（　　）

A．24° B．27° C．30° D．33°
【分析】设∠O＝x，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠BDE＝∠O+∠OED＝3x＝81°，再根据三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：设∠O＝x，
∵OC＝CD，
∴∠O＝∠CDO＝x，
∴∠DCE＝2x，
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∴∠BDE＝∠O+∠OED＝3x＝81°，
∴x＝27°，
∴∠AOB＝27°．
故选：B．
8．（4分）下列关于全等三角形的说法中，不正确的是（　　）
A．面积及一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．面积相等的两个等腰直角三角形全等
C．面积及底边对应相等的两个等腰三角形全等
D．面积及腰对应相等的两个等腰三角形全等
【分析】根据直角三角形全等的判定，全等三角形的判定，等腰直角三角形逐一判断即可．
【解答】解：A．面积及一直角边对应相等的两个直角三角形，则另一条直角边也对应相等，所以可以利用SAS来判断全等，故A不符合题意；
B．面积相等的两个等腰直角三角形，则它们的腰对应相等，所以可以利用SAS来判断全等，故B不符合题意；
C．面积及底边对应相等的两个等腰三角形全等，则底边上的高对应相等，从而可得它们的腰对应相等，所以可以利用SSS来判断全等，故C不符合题意；
D．面积及腰对应相等的两个等腰三角形，则腰上的高相等，因为腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外，所以两个等腰三角形不一定全等，因为故D符合题意；
故选：D．
9．（4分）在△ABC中，线段AD，AE，AF分别是△ABC的高、中线、角平分线，以下两个结论：
①若∠B＝∠C，则点D，E，F重合；
②若∠B≠∠C，则点F总在点D，E之间，其中（　　）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①②均是假命题 D．①②均是真命题
【分析】由等腰三角形“三线合一”可判定①，②由∠B≠∠C，知AB≠AC，假设AB＜AC，延长AE至点H，使EH＝AE，连接CH，可证△AEB≌△HEC（SAS），得AB＝CH，∠BAE＝∠H，故CH＜AC，即得∠CAH＜∠H，∠CAH＜∠BAE，从而可得点F总在点D，E之间，故②是真命题．
【解答】解：①∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴BC边上的高、中线、角平分线重合，即D，E，F重合，故①是真命题；
②∵∠B≠∠C，
∴AB≠AC，
假设AB＜AC，如图所示，延长AE至点H，使EH＝AE，连接CH，
在△AEB和△HEC中，
，
∴△AEB≌△HEC（SAS），
∴AB＝CH，∠BAE＝∠H，
∵AB＜AC，
∴CH＜AC，
∴∠CAH＜∠H，
∴∠CAH＜∠BAE，
∴点F总在点D，E之间，故②是真命题，
故选：D．

10．（4分）挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式﹣﹣阿贝尔公式：如图是一个简单的阶梯形，可用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系，可以得到：a1b1+a2b2+a3b3＝（　　）

A．a1（b2﹣b3）+（a1+a2）（b1﹣b2）+（a1+a2+a3）b3
B．a1（b1﹣b2）+（a1+a2）（b1﹣b2）+（a1+a2+a3）b2
C．a1（b1﹣b2）+（a1+a2）（b2﹣b3）+（a1+a2+a3）b3
D．a1（b2﹣b3）+（a1+a2）（b2﹣b3）+（a1+a2+a3）b2
【分析】通过用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系，从而列式求解．
【解答】解：如图，

∵S矩形ABMC+S矩形DMNE+S矩形FNHG＝S矩形APDC+S矩形PQFE+S矩形QBHG，
∴a1b1+a2b2+a3b3＝a1（b1﹣b2）+（a1+a2）（b2﹣b3）+（a1+a2+a3）b3，
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）分解因式：x2﹣2x+1＝　（x﹣1）2　．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．
12．（4分）若分式y＝有意义，则x的取值范围是 　x≠﹣1　．
【分析】根据分式有意义的条件可得：x+1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1，
故答案为：x≠﹣1．
13．（4分）点（1，﹣3）关于y轴的对称点坐标是　（﹣1，﹣3）　．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点（1，﹣3）关于y轴的对称点坐标是（﹣1，﹣3），
故答案为：（﹣1，﹣3）．
14．（4分）将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中F，A，C，D四点在同一直线上，点B在AE上，则图中∠ABF的度数是 　15°　．

【分析】由题意可得∠EAD＝45°，∠F＝30°，利用三角形的外角性质即可求得∠ABF的度数．
【解答】解：∵∠EAD＝45°，∠F＝30°，∠EAD是△ABF的外角，
∴∠ABF＝∠EAD﹣∠F＝15°．
故答案为：15°．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，DE⊥AC于点E．F为BC上一点，若DF＝AD，S△ACD﹣S△CDF＝6，则△AED的面积为 　3　．

【分析】在CA上取CG＝CF，连接DG，利用SAS证明△GCD≌△FCD，得DG＝DF，再利用等腰三角形的性质可知AE＝EG，从而得出答案．
【解答】解：如图，在CA上取CG＝CF，连接DG，

∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△GCD和△FCD中，
，
∴△GCD≌△FCD（SAS），
∴DG＝DF，
∵S△ACD﹣S△CDF＝6，
∴S△ADG＝6，
∵DF＝AD，
∴DG＝DA，
∵DE⊥AG，
∴EG＝AE，
∴S△ADE＝3，
故答案为：3．
16．（4分）今年以来，由于受到大宗商品价格上涨的影响，某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品的价格进行调整，现有3种方案：①第一次提价m%，第二次降价n%；②第一次提价n%，第二次降价m%；③第一次提价，第二次降价，其中m＞n＞0．这三种方案中提价最多的是方案 　③　．（填上方案序号）
【分析】设单价为1，那么①售价为：1×（1+m%）（1+n%）＝（1+m%）（1+n%）；
②提价后的价格是：（1+n%）（1+m%）；
按③提价方案提价后的价格是：（1+）2，显然①、②两种方案最终价格是一致的，因而只需比较（1+m%）（1+n%）与（1+）2的大小．
【解答】解：依题意得：（1+m%）（1+n%）＝1+m%+n%+m%•n%＝1+（m+n）%+m%•n%；
（1+）2＝1+（m+n）%+（）2；
所以只要比较m%•n%与（）2的大小即可，
∵（）2﹣m%•n%＝（%）2+（%）2+%≥0，
∴（）2≥m%•n%，
即（1+）2＞（1+m%） （1+n%），
因此，③种方案提价最多．
故答案为：③．
三、解答题：本大题共9小题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤.
17．（8分）计算：
（1）49.8×50.2；
（2）（7x2y3﹣8x3y2z）÷8x2y2．
【分析】（1）观察式子，49.8＝50﹣0.2，50.2＝50+0.2，再根据平方差公式求解即可；
（2）根据多项式除以单项式的运算法则求解即可．
【解答】解：（1）49.8×50.2
＝（50﹣0.2）×（50+0.2）
＝2500﹣0.04
＝2499.96；
（2）原式＝y﹣xz．
18．（8分）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨BD＝CD，AB＝AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．为什么？

【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△ABD≌△ACD（SSS），进而得出答案．
【解答】解：AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，
理由：在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
即AP平分∠BAC．
19．（8分）先化简再求值：，其中．
【分析】原式小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．
【解答】解：原式＝（﹣）
＝
＝，
当x＝时，
原式＝＝﹣2．
20．（8分）如图，AC⊥AB于点A，射线BD⊥AB于点B，AB＞AC．在AB上找一点P，在射线BD上找一点Q，使得△ACP与△BPQ全等，以下是甲、乙两位同学的作法．
甲：作线段AB的垂直平分线交AB于点P，在射线BD上取点Q，使得PQ＝PC，则P，Q两点即为所求；
乙：在线段AB上截取BP＝AC，连接CP，过点P作CP的垂线交射线BD于点Q，则P，Q两点即为所求．
（1）请在甲、乙两位同学的作法中任选一种，补全图形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）甲、乙两位同学的作法中，△ACP与△BPQ全等的判定依据分别是 　HL　、　ASA或AAS　．（填“SSS”，“SAS”，“ASA”或“HL”）

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用全等三角形的判定方法解决问题即可．
【解答】解：（1）图1，图2即为所求：

（2）甲的全等的理由是HL，乙全等的理由是：ASA或AAS．
故答案为：HL，ASA或AAS．
21．（8分）列方程解应用题
回望建党百年，科技引领发展，科技的发展是实现中国梦的重要支撑．2021年9月，在第十三届中国国际航空航天博览会上，换装国产发动机的歼﹣20战机首次亮相，展示了中国空军飞速发展的战斗力，该机将担负中国空军未来对空、对海的主权维护任务．2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，并顺利与中国天宫空间站实现对接．
天宫空间站的运行速度接近第一宇宙速度，第一宇宙速度比歼﹣20最大飞行速度快7.05千米/秒．如果天宫空间站以第一宇宙速度飞行632千米所用时间比歼﹣20以最大速度飞行85千米所用时间少20%，求歼﹣20最大飞行速度．
【分析】设歼﹣20最大飞行速度为x千米/秒，则第一宇宙速度为（x+7.05）千米/秒，由题意：天宫空间站以第一宇宙速度飞行632千米所用时间比歼﹣20以最大速度飞行85千米所用时间少20%，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设歼﹣20最大飞行速度为x千米/秒，则第一宇宙速度为（x+7.05）千米/秒，
由题意得：＝×（1﹣20%），
解得：x＝0.85，
经检验，x＝0.85是原方程的解，且符合题意，
答：歼﹣20最大飞行速度为0.85千米/秒．
22．（10分）“回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷．例如：处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺．数学中也有像回文联一样的“回文等式”，例如，以下是三个两位数乘两位数的“回文等式”：
21×24＝42×12，
31×26＝62×13，
12×84＝48×21．
（1）下列选项中能构成“回文等式”的是 　CDE　．（填上所有正确的序号）
A.18×31与13×81
B.46×32与63×24
C.46×96与69×64
D.22×454与454×22
E.31×286与682×13
（2）请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律，并用所学数学知识证明．
【分析】（1）根据回文等式的定义判断即可；
（2）用字母表示数证明即可．
【解答】解：（1）A选项，18×31＝558，13×81＝1053，558≠1053，故该选项不符合题意；
B选项，46×32和63×24不是回文等式，故该选项不符合题意；
C选项，46×96＝4416，69×64＝4416，故该选项符合题意；
D选项，22×454＝454×22，故该选项符合题意；
E选项，31×286＝8866，682×13＝8866，故该选项符合题意；
故答案为：CDE；
（2）回文等式左右两边的两个两位数中十位数的积等于个位数的积，
理由如下：设回文等式左边的两个两位数为10a+b，10c+d，
其中a，b，c，d为小于10的正整数，
依题意得：（10a+b）（10c+d）＝（10d+c）（10b+a），
∴100ac+10ad+10bc+bd＝100bd+10ad+10bc+ac，
∴99ac＝99bd，
∴ac＝bd．
23．（10分）在△ABC中，∠BAC为钝角，AB＝AC，点D在边AC上，点E在射线BA上，且CE＝BD．
【方法探究】（1）如图1，若点E在边AB上，求证：AD＝AE；
小红给出的证明思路：过点B作BM⊥CA的延长线于点M，过点C作CN⊥BA的延长线于点N，……
请你按照小红的思路完成剩下的证明；
【拓展延伸】（2）如图2，若∠BAC＝120°，点E在BA的延长线上，试探究线段AB，AD，AE之间的数量关系，并说明理由．


【分析】（1）由“AAS”可证△CAN≌△BAM，可得CN＝BM，AN＝AM，由“HL”可证Rt△CNE≌Rt△BMD，可得EN＝DM，可得结论；
（2）在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T，由等腰三角形的性质可得ET＝TE′，由锐角三角函数可求解．
【解答】（1）证明：过点B作BM⊥CA的延长线于点M，过点C作CN⊥BA的延长线于点N
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAN＝∠BAM，CA＝BA，
∴△CAN≌△BAM（AAS），
∴CN＝BM，AN＝AM，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CN＝BM，
∴Rt△CNE≌Rt△BMD（HL），
∴EN＝DM，
∵AM＝AN，
∴AD＝AE．
（2）解：AE﹣AD＝AC，理由如下：
如图，在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．

∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′，
∵AT＝AC•cos（180°﹣120°）＝AC，
∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝AC．
24．（12分）阅读下面材料，并解答相应的问题
欧拉分式
欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见．在分式中，就有这样一个欧拉分式：
＝．
（1）请你对欧拉分式中，当n＝2时的情况进行证明；
（2）请你利用欧拉分式解决下列问题：
①计算：；
②求的值．
【分析】（1）先通分，再化简运算即可；
（2）①令a＝2022，b＝2021，c＝2020，原式＝2022+2021+2020＝6063；
②原式＝++，再化简即可．
【解答】（1）证明：当n＝2时，

＝﹣+
＝
＝
＝1；
（2）解：①当n＝3时，令a＝2022，b＝2021，c＝2020，
原式＝2022+2021+2020＝6063；
②原式＝++
＝++﹣﹣﹣
＝0﹣1
＝﹣1．
25．（14分）在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上运动．以DE为边向右作等边△DEF，设AD＝kBE．
（1）如图1．求证：∠CEF＝∠BDE；
（2）如图1，连接CF，请你从下列三个选项中，任选一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明：①k＝2；②CF平分∠ACB；③AD，BE，CF三条线段构成以AD为斜边的直角三角形．
（3）如图2，k＝，连接AF，BF．当AF+BF取得最小值时，求的值．

【分析】（1）由∠BDE+∠BED+∠B＝180°和∠BED+∠CEF＝∠DEF＝180°，进而命题得证；
（2）选择②为条件，①为结论，作FG∥AC交BC于G，可证得△DBE≌△EGF，进一步可求得结论；
（3）作EG⊥AB于G，可证得△EDG≌△ECF，从而∠ECF＝∠EGD＝90°，故点F在过C点垂直于BC的直线上运动，于是作点A关于CM的对称点N，AN交CM于H，连接BN交CM于F，则AF+BF最小值BN，可证得AB＝AC＝AN，设CF＝a，．于是AB＝BC＝＝，EG＝CF＝a，BG＝EG＝，BE＝，AD＝，进一步求得结果．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DEF是等边三角形，
∴∠ABC＝∠DEF＝60°，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°，
∠BED+∠CEF＝180°﹣∠DEF＝120°，
∴∠CEF＝∠BDE；
（2）解：如图1，

②作为条件，①作为结论，
作FG∥AC交BC于G，
∵△ABC是等边三角形，△DEF是等边三角形，
∴∠AC＝∠ACB＝60°，DE＝EF，
∴∠EGF＝∠ACB＝60°，
∴∠B＝∠EGF，
∵CF平分∠ACB，
∴∠CFG＝，
∵∠CFG＝∠EGF﹣∠FCG＝60°﹣30°＝30°，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴FG＝CG，
由（1）知：∠BDE＝∠FEG，
在△DBE和△EGF中，
，
∴△DBE≌△EGF（AAS），
∴BD＝EG，BE＝FG，
∴CG＝BE，
∴AD＝BE+CG＝2BE；
（3）解：如图2，

作EG⊥AB于G，
在Rt△EBG中，∠GEB＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴BG＝，
∵AD＝，
∴BG+AD＝BE，
∵AB＝BC，
∴DG＝CE，
∵∠BDE＝∠CEF，DE＝EF，
∴△EDG≌△ECF（SAS），
∴∠ECF＝∠EGD＝90°，
∴点F在过C点垂直于BC的直线上运动，
如图3，

作点A关于CM的对称点N，AN交CM于H，连接BN交CM于F，
则AF+BF最小值BN，
∵∠ACM＝30°，
∴AC＝2AH，∠CAN＝60°，
∴AN＝2AH＝AC，∠BAN＝∠BAC+∠CAN＝120°，
∴AB＝AC＝AN，
∴∠ABN＝∠N＝＝＝30°，
设CF＝a，．
∴AB＝BC＝＝，
EG＝CF＝a，
在Rt△GEB中，∠ABC＝60°，
∴BG＝EG＝，BE＝，
∴AD＝，
∴．