2021-2022学年福建省厦门九中八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省厦门九中八年级（上）期末数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 点关于轴的对称点的坐标为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是

A.
B.
C.
D.

5. 下列二次根式中，最简二次根式是

A.  B.  C.  D.

6. 下列叙述正确的是

A. 三角形的外角大于它的内角
B. 三角形的外角都比锐角大
C. 三角形的内角没有小于的
D. 三角形中可以有三个内角都是锐角

7. 分式的最简公分母是

A.  B.
C.  D.

8. 如图，是的角平分线，，垂足为若，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

9. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，的坐标分别是，，若在轴下方有一点，使以，，为顶点的三角形与全等，则满足条件的点的坐标是

A.  B.
C. 或 D. 或

10. 如图，在中，，，、分别在、上，，且是等腰直角三角形，其中，则的值是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. ______；______；______；______．
12. 六边形的内角和的度数是______．
13. 因式分解：______．
14. 如图，在中，，，为线段的垂直平分线与直线的交点，连接，则______．
     

15. 如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接、、若，的面积为，则______．
     

16. 数学兴趣活动课上，小方将等腰的底边与直线重合，问：
    
    已知，，点在边所在的直线上移动，小方发现的最小值是______；
    在直角中，，，，点是边上的动点，连接，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，线段的最小值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）

17. 化简：；
    计算：；
    解分式方程：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，于点，于点，求证：．
    
    
     

19. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图所示，在中，，．
    作线段的垂直平分线，分别交、于点、要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
    连接，判断的形状，并给予证明；
    求证：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有人不能到厂工作，为了应对疫情，在每个工人每小时完成的工作量不变的前提下，已复工的工人加班生产，每天的工作时间由原来个小时增加到个小时．该公司原来每天能生产防护服套，现在每天能生产防护服套．
    求该公司原来生产防护服的工人有多少人？
    复工天后，未到的名工人到岗且同时加入了生产，每天生产时间仍然为小时．为了支援灾区，公司复工后决定生产套防护服，问至少还需要多少天才能完成任务？
    
    
    
    
    
    
     
22. 观察下列各式，发现规律：
    ；；；
    填空：______，______；
    计算写出计算过程：；
    请用含自然数的代数式把你所发现的规律表示出来．
    
    
    
    
    
    
     
23. 问题背景：如图，已知中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，，易证：____________．
    拓展延伸：如图，将中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，请求出，，三条线段的数量关系，并证明．
    实际应用：如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，请直接写出点的坐标．

24. 任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和是，十位数字与个位数字的和为，那么我们把这样的数称为“七上八下数”例如：的千位数字与百位数字的和为：，十位数字与个位数字的和为：，所以是一个七上八下数”：的十位数字与个位数字的和为：，所以不是一个“七上八下数”．
    判断和是不是“七上八下数”？并说明理由；
    若对于一个七上八下数，交换其百位数字和十位数字得到新数，并且定义，若与个位数字的倍的和刚好为一个正整数的平方，求出满足条件的所有“七上八下数”，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，平面直角坐标系中，为线段的中点，轴于，若的面积为，则的面积为______．
    如图，为等腰直角三角形，为直角顶点，点为线段上一点，且，与关于原点对称，线段交轴于点，连，若，试求的值．
    如图，点、在轴上，在轴上，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，直线、交于点，交轴于点，试探究：是否为定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：，
故选：．
根据零指数幂的运算法则进行计算即可．
本题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂的运算法则是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：根据三角形的三边关系，得，
A.，不能组成三角形，不符合题意；
B.，不能够组成三角形，不符合题意；
C.，能组成三角形，符合题意；
D.，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
 

3.【答案】

【解析】

解：点关于轴的对称点为，
点的坐标为：．
故选：．
利用关于轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图作已知角的角平分线也考查了全等三角形的判定与性质．
如图，由作法得，，加上公共边，则可根据“”判定，然后说明为角平分线．
【解答】
解：如图，由作法得，，而，则可根据“”判定，所以，
所以平分．


故选：．  

5.【答案】

【解析】

解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
，是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

6.【答案】

【解析】

解：、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故本选项说法不正确，不符合题意；
B、钝角三角形的钝角的外角是锐角，故本选项说法不正确，不符合题意；
C、三角形的内角有小于的，例如：一个三角形的三个角分别为：、、，其中小于，故本选项说法不正确，不符合题意；
D、等边三角形的三个内角都是，都是锐角，
则三角形中可以有三个内角都是锐角说法正确，符合题意；
故选：．
根据三角形的外角性质、三角形的按角分类判断即可．
本题考查的是三角形的外角性质和概念，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

【试题解析】

解：分式中各项的分母分别是、、，
所以其最简公分母是．
故选：．
确定最简公分母的方法是：
取各分母系数的最小公倍数；
凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题考查了最简公分母．确定最简公分母的方法一定要掌握．

8.【答案】

【解析】

解：，，
，
，
，
是的角平分线，
，
又，
≌
，
，，
≌  ，
，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形的内角和求出，利用三角形全等，求出，再利用外角求出答案．
考查角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识，根据三角形的内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：如图所示：有两种情况，

，，以，，为顶点的三角形与全等，
的坐标是，的坐标是，
故选：．
先根据题意和全等三角形的判定画出符合的图形，再求出点的坐标即可．
本题考查了全等三角形的判定定理和点的坐标，能画出符合条件的点的位置是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．
 

10.【答案】

【解析】

解：在中，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
过作于，过作于，

，
，
，
，，
≌，
，，
中，，
，
，，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得：，，作辅助线，构建三角形全等，证明≌，得，，根据直角三角形度的角性质得，可得出答案．
此题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形度角的性质，等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解本题的关键是证明≌．
 

11.【答案】

【解析】

解：原式，
故答案为：；
原式，
故答案为：；
原式
，
故答案为：；
，
故答案为：．
利用同底数幂的乘法运算法则进行计算；
根据幂的乘方运算法则进行计算；
根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算；
根据合并同类项运算法则进行计算．
本题考查整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法底数不变，指数相加以及幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：六边形的内角和的度数是．
故答案为：．
根据多边形的内角和公式可得答案．
本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：为线段的垂直平分线与直线的交点，
，
，
．
故答案为：．
先根据线段垂直平分线的性质得到，则利用等腰三角形的性质得到，然后计算即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：连接，

四边形和四边形是正方形，
，
，
，
故答案为．
连接，易得，利用等底等高将转化成，代值计算即可．
本题考查平行线的性质，三角形的面积公式，其中利用平行线的性质将所求面积转化是解题关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：如图中，作于．

，，
，
，
根据垂线段最短可知，当与重合时，的值最小，最小值为．
故答案为：．
如图，在上取一点，使得，连接，．

，，
，
，
，
，，
≌，
，
时，的值最小，最小值为，
的最小值为．
故答案为：．
作于根据垂线段最短，求出即可解决问题．
在上取一点，使得，连接，由≌，推出，易知时，的值最小，求出的最小值即可解决问题．
本题考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
 

17.【答案】

解：

；


；
，
，
，
，
，
检验：当时，，
是原方程的根．
 

【解析】

利用完全平方公式进行计算即可；
先化简每一个二次根式，然后再进行计算即可；
按照解分式方程的步骤进行计算即可．
本题考查了解分式方程，完全平方式，二次根式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】

证明：于点，于点，
，
在和中，

≌
，
又，
．
 

【解析】

本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
要证明，只要证明即可，由条件可以求得和全等，从而可以证得结论．
 

19.【答案】

解：原式

，
当时，原式．
 

【解析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】

解：如图所示，直线即为所求；
的直角三角形，
证明：是线段的垂直平分线，
，
，，
，
，
，
是直角三角形；
由知，，
，故B，
即．
 

【解析】

尺规作图，要按照规范画图进行，要显示作图痕迹．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，于是得到结论；
根据等腰三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
 

21.【答案】

解：设原来生产防护服的工人有人，
由题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，
答：原来生产防护服的工人有人；
设还需要生产天才能完成任务，
套，
即每人每小时生产套防护服．
由题意得，，
解得：，
答：至少还需要生产天才能完成任务．
 

【解析】

设原来生产防护服的工人有人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于的方程，求解即可；
设还需要生产天才能完成任务．根据前面天完成的工作量后面天完成的工作量列出关于的不等式，求解即可．
本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
 

22.【答案】

，    ；
；
归纳总结得：自然数．
 

【解析】

解：根据题意得：；；
故答案为：；；
见答案；
见答案．
【分析】
根据已知等式得出规律，写出所求结果即可；
利用二次根式性质计算得到结果即可；
归纳总结得到一般性规律，写出即可．
此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．  

23.【答案】

【解析】

解：问题背景：，
证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌
，，
，
故答案为：，；
拓展延伸：，
证明：在中，，
，，
，
在和中，
，
≌
，，
；
实际应用：如图，作轴于，轴于，

点的坐标为，点的坐标为，
，，，
由可知，≌，
，，
，
点的坐标为．
问题背景：证明≌，根据全等三角形的性质得到，，结合图形解答即可；
拓展延伸：根据三角形内角和定理、平角的定义证明，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，结合图形解答即可；
实际应用：根据≌，得到，，根据坐标与图形性质解答．
本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

24.【答案】

解：是“七上八下数”，是“七上八下数”，理由如下：
的千位数字与百位数字的和为：，十位数字与个位数字的和为：，
是一个“七上八下数”，
的千位数字与百位数字的和为：，十位数字与个位数字的和为：，
不是一个“七上八下数”；
设“七上八下数”，其中，，
，，，，且，，，为整数，则：
交换其百位数字和十位数字得到新数，





，
与个位数字的倍的和刚好为一个正整数的平方，
设，为正整数，
，
，
，，，且，，为整数，
是正整数，
能被整除，
，
，
，
即，
，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，
，
或或，
为正整数，
没有符合条件的；
当时，，
，
或或或或或或，
为正整数，
只有满足条件，
此时，，，，，
；
当时，，
，
或或或或或或，
为正整数，
只有满足条件，
此时，，，，，
；
当时，，
，
或或或或或或，
为正整数，
此时没有满足条件的；
当时，，
，
或或或或或或，
为正整数，
此时没有满足条件的；
当时，，
，
或或或或或或，
为正整数，
只有满足条件，
此时，，，，，
；
当时，，
，
或或或或或或，
为正整数，
只有满足条件，
此时，，，，，
；
当时，，
，
或或或或或或，
为正整数，
此时没有满足条件的；
综上所述，满足条件的所有“七上八下数”为、、、．
 

【解析】

读懂“七上八下数”的意思，再根据定义代入和进行验证即可；
先表示出的一般代数式，再根据与个位数字的倍的和刚好为一个正整数的平方，探究出符合要求的“七上八下数”．
本题考查了因式分解的应用和列代数式，本题关键是理解“七上八下数”的定义．
 

25.【答案】

【解析】

解：，，
，，
的面积为，
，
负值舍去，
，，
为线段的中点，
，
，
．
故答案为：．
连，过点作于，

是等腰直角三角形，
，，，
又，
是的垂直平分线，
，
不妨设、交于，、交于，
，
，
，
又，
，
≌，
，
，
；
，
理由如下：
作点关于轴的对称点，连接，作交轴于，

，，
等腰直角三角形，
，
，
又，
≌，
，，
又，，
≌，
，
，
即．
根据三角形的面积可求出的值，求出点的坐标，则可得出答案；
连，过点作于，，由等腰直角三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，根据三角形的面积可得出，则可得出答案；
作点关于轴的对称点，连接，作交轴于，证明≌，由全等三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了三角形的面积，等腰直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．