2019-2020学年福建省莆田市八年级（上）期末数学试卷

这是一份2019-2020学年福建省莆田市八年级（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019-2020学年福建省莆田市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）2019年6月全国开始实行生活垃圾分类，下列四个图标分别为可回收垃圾、厨余垃圾、湿垃圾和有害垃圾，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＝1 C．x＜1 D．x≠1
3．（4分）一个n边形的内角和为360°，则n等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（4分）根据测试，华为首款5G手机传输1M的文件只需0.0025秒，其中0.0025用科学记数法表示为（　　）
A．2.5×10﹣3 B．2.5×10﹣4 C．25×10﹣4 D．0.25×10﹣2
5．（4分）能把三角形分割成面积相等两部分的一定是（　　）
A．三角形的中线
B．三角形的角平分线
C．三角形的高线
D．三角形一边上的垂直平分线
6．（4分）下列运算结果为x5的是（　　）
A．x2+x3 B．x2•x3 C．（x3）2 D．x15÷x3
7．（4分）从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形（　　）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
8．（4分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P沿着某一条直线做同样的轴对称，分别得到线段A'B'和点P'（每块区域为一个正方形小格）是（　　）

A．1区 B．2区 C．3区 D．4区
9．（4分）在多项式4x2+1中，添加一项后，不能构成完全平方式的是（　　）
A．4x B．﹣4x C．4x4 D．﹣4x4
10．（4分）如图，若△ABC内一点P，满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，得到下列两个命题：
①若∠BAC＝90°，则∠APC＝90°；
②若AB＝AC，则∠APB＝∠BPC．
下列说法正确的是（　　）

A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题
C．①，②均为假命题 D．①，②均为真命题
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算：20200﹣2﹣1＝　 　．
12．（4分）因式分解2x2﹣4x+2＝　 　．
13．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，若CD是高　 　．

14．（4分）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分（a﹣1）米的正方形．若两块试验田的小麦都收获了500千克，则“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的　 　倍．

15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝12，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E．若点P是AD上一动点，PB，则PE+PB的最小值是　 　．

16．（4分）如图，在孔雀开屏般漂亮的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　 　．

三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤．
17．（8分）（1）计算：（﹣3xy）2•4x2；
（2）计算：（x+2）（2x﹣3）．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3．
19．（8分）如图，点B，C，D，E在一条直线上，AB＝FC，BC＝DE．求证：AD＝FE．

20．（8分）莆田元宵节从农历正月初六持续到正月廿九，堪称全国最长的元宵节，其中江东桔塔和延宁蔗塔十分引人关注．元宵节前夕，桔子重量比甘蔗重量少100千克．若市场上每千克桔子的价格是甘蔗的1.5倍，所采购桔子和甘蔗的费用都是1200元
21．（8分）如图，在△ABC中，求作线段AD，且S△ABD：S△ACD＝AB：AC，并说明理由．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

22．（10分）如图，△ABC的高为AD．△A'B'C'的高为A'D'，且A'D'＝AD．现有①②③三个条件：
①∠B＝∠B'，∠C＝∠C'；
②∠B＝∠B'，AB＝A'B'；
③BC＝B'C'，AB＝A'B'．
分别添加以上三个条件中的一个，如果能判定△ABC≌△A'B'C'，写出序号；如果不能判定△ABC≌△A'B'C'，写出序号

23．（10分）密码的使用在现代社会是极其重要的．现有一种密码的明文（真实文），其中的字母是按计算机键盘顺序分别与26个自然数1，2，3，…，25（见表）．设明文的任一字母所对应的自然数为x，且通过某种规定的对应运算把x转化为对应的自然数x'
Q
W
E
R
T
Y
U
I
O
P
A
S
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
F
G
H
J
K
L
Z
X
C
V
B
N
M
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
例如，有一种译码方法按照以下变换实现：
x→x'，其中x'是（3x+2）被26除所得余数与1之和（1≤x≤26），x'＝6，即明文Q译为密文Y；
若x＝10时，x'＝7，即明文P译为密文U．
现有某种变换，将明文字母对应的自然数x变换为密文字母对应的自然数x'：x→x'，x'为（3x+m）（1≤x≤26，1≤m≤26）．已知运用此变换，明文V译为密文M．
（1）求此变换中m的值；
（2）求明文VKHA对应的密文．
24．（12分）如图1，顶角为36°的等腰三角形称为锐角黄金三角形．它的底与腰之比为k＝≈0.618，八年级数学课题组探究底角为36°的等腰三角形，也称钝角黄金三角形
（1）在图1和图2中，若DE＝BC，求证：EF＝AB；
（2）求钝角黄金三角形底与腰的比值（用含k的式子表示）；
（3）如图3，在钝角黄金三角形ABC中，AD，△ADE．若AB＝1，记△ABC，△ADE分别为第1，2，3个钝角黄金三角形，求第2020个钝角黄金三角形的周长（用含k的式子表示）．

25．（14分）如图1，Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝，点D在边BC上，在AD上方作等边三角形ADE，连接EC．

（1）求证：DE＝CE；
（2）若点D在BC延长线上，其他条件不变，直接写出DE（不必证明）；
（3）当点D从点B出发沿着线段BC运动到点C时，求点E的运动路径长．

2019-2020学年福建省莆田市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）2019年6月全国开始实行生活垃圾分类，下列四个图标分别为可回收垃圾、厨余垃圾、湿垃圾和有害垃圾，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：B．
2．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＝1 C．x＜1 D．x≠1
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠3．
故选：D．
3．（4分）一个n边形的内角和为360°，则n等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：根据n边形的内角和公式，得：
（n﹣2）•180＝360，
解得n＝4．
故选：B．
4．（4分）根据测试，华为首款5G手机传输1M的文件只需0.0025秒，其中0.0025用科学记数法表示为（　　）
A．2.5×10﹣3 B．2.5×10﹣4 C．25×10﹣4 D．0.25×10﹣2
【解答】解：0.0025用科学记数法表示为2.4×10﹣3．
故选：A．
5．（4分）能把三角形分割成面积相等两部分的一定是（　　）
A．三角形的中线
B．三角形的角平分线
C．三角形的高线
D．三角形一边上的垂直平分线
【解答】解：能把三角形分割成面积相等两部分的一定是三角形的中线，
故选：A．
6．（4分）下列运算结果为x5的是（　　）
A．x2+x3 B．x2•x3 C．（x3）2 D．x15÷x3
【解答】解：A．x2与x3不是同类项，所以不能合并；
B．x6•x3＝x5，故本选项符合题意；
C．（x7）2＝x6，故本选项不合题意；
D．x15÷x7＝x12，故本选项不合题意．
故选：B．
7．（4分）从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形（　　）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），
故a8﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
8．（4分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P沿着某一条直线做同样的轴对称，分别得到线段A'B'和点P'（每块区域为一个正方形小格）是（　　）

A．1区 B．2区 C．3区 D．4区
【解答】解：如图，点P的对应点P′落在3区．

故选：C．
9．（4分）在多项式4x2+1中，添加一项后，不能构成完全平方式的是（　　）
A．4x B．﹣4x C．4x4 D．﹣4x4
【解答】解：A、4x2+4+4x＝（2x+4）2，不符合题意；
B、4x6+1﹣4x＝（5x﹣1）2，不符合题意；
C、8x4+4x5+1＝（2x2+1）2，不符合题意；
D、﹣2x4+4x5+1不能构成完全平方式，符合题意，
故选：D．
10．（4分）如图，若△ABC内一点P，满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，得到下列两个命题：
①若∠BAC＝90°，则∠APC＝90°；
②若AB＝AC，则∠APB＝∠BPC．
下列说法正确的是（　　）

A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题
C．①，②均为假命题 D．①，②均为真命题
【解答】解：当∠BAC＝90°时，则∠PAC+∠PAB＝90°，
∵∠PAB＝∠PCA＝α，
∴∠PAC+∠PCA＝90°，
∴∠APC＝90°，所以①为真命题；
当AB＝AC时，则∠ABC＝∠ACB，
即∠PBA+∠PBC＝∠PCB+∠PCA，
∵∠PBC＝∠PCA＝α
∴∠PBA＝∠PCB，
∵∠APB＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB，∠BPC＝180°﹣∠PCB﹣∠PBC，
而∠PAB＝∠PCA＝α，
∴∠APB＝∠BPC．所以②为真命题．
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算：20200﹣2﹣1＝　　．
【解答】解：原式＝1﹣＝．
故答案为：．
12．（4分）因式分解2x2﹣4x+2＝　2（x﹣1）2　．
【解答】解：2x2﹣8x+2＝2（x7﹣2x+1）＝7（x﹣1）2
故答案为3（x﹣1）2．
13．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，若CD是高　1　．

【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝8，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝BC＝7，
故答案为1．
14．（4分）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分（a﹣1）米的正方形．若两块试验田的小麦都收获了500千克，则“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的　　倍．

【解答】解：由题意可得，
“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的：＝＝倍，
故答案为：．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝12，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E．若点P是AD上一动点，PB，则PE+PB的最小值是　　．

【解答】解：作点B关于AD的对称点B′，
∵AB＝AC＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
∴B′与点C重合，连接CE，
∵△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝12，
∴×5×CE＝12，
解得：CE＝，
故答案为：                          

16．（4分）如图，在孔雀开屏般漂亮的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　315°　．

【解答】解：在△AEF和△LBA中
，
∴△AEF≌△LBA（SAS），
∴∠7＝∠EAF，
∴∠1+∠3＝90°，
同理可得∠2+∠6＝90°，∠4+∠5＝90°，
而∠4＝45°，
∴∠2+∠2+∠3+∠6+∠5+∠6+∠6＝90°+90°+90°+45°＝315°．
故答案为315°．
三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤．
17．（8分）（1）计算：（﹣3xy）2•4x2；
（2）计算：（x+2）（2x﹣3）．
【解答】解：（1）原式＝9x2y2•4x2     
＝36x8y2；

（2）解：原式＝2x2﹣3x+4x﹣8
＝2x2+x﹣6．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝4时，原式＝＝．
19．（8分）如图，点B，C，D，E在一条直线上，AB＝FC，BC＝DE．求证：AD＝FE．

【解答】证明：∵AB∥FC，
∴∠B＝∠FCE，
∵BC＝DE，
∴BD＝CE，
∵AB＝FC，
∴△ABD≌△FCE （SAS），
∴AD＝FE．
20．（8分）莆田元宵节从农历正月初六持续到正月廿九，堪称全国最长的元宵节，其中江东桔塔和延宁蔗塔十分引人关注．元宵节前夕，桔子重量比甘蔗重量少100千克．若市场上每千克桔子的价格是甘蔗的1.5倍，所采购桔子和甘蔗的费用都是1200元
【解答】解：设每千克甘蔗的价格是x元，则每千克桔子的价格是1.5x元，
依题意，得：﹣，
解得：x＝4，
经检验，x＝3是原分式方程的解，
∴1.5x＝2．
答：每千克甘蔗的价格是4元，每千克桔子的价格是6元．
21．（8分）如图，在△ABC中，求作线段AD，且S△ABD：S△ACD＝AB：AC，并说明理由．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【解答】
解：如图，线段AD即为所求作的．
理由如下：
作DE⊥AB，DF⊥AC，F．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF．
∵S△ABD＝AB•DE，S△ACD＝DF•AC，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
22．（10分）如图，△ABC的高为AD．△A'B'C'的高为A'D'，且A'D'＝AD．现有①②③三个条件：
①∠B＝∠B'，∠C＝∠C'；
②∠B＝∠B'，AB＝A'B'；
③BC＝B'C'，AB＝A'B'．
分别添加以上三个条件中的一个，如果能判定△ABC≌△A'B'C'，写出序号；如果不能判定△ABC≌△A'B'C'，写出序号

【解答】解：①能判定△ABC≌△A'B'C'，证明如下：
如图1，∵AD＝A'D'，∠ADB＝∠A'D'B'，

∴△ABD≌△A'B'D'（AAS），
∴AB＝A'B'，
又∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，
∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）；
②不能判定△ABC≌△A'B'C'，
对应的反例如图2所示．（只要C'在射线B'D'上
 
③不能判定△ABC≌△A'B'C'，
对应的反例如图3所示．

23．（10分）密码的使用在现代社会是极其重要的．现有一种密码的明文（真实文），其中的字母是按计算机键盘顺序分别与26个自然数1，2，3，…，25（见表）．设明文的任一字母所对应的自然数为x，且通过某种规定的对应运算把x转化为对应的自然数x'
Q
W
E
R
T
Y
U
I
O
P
A
S
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
F
G
H
J
K
L
Z
X
C
V
B
N
M
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
例如，有一种译码方法按照以下变换实现：
x→x'，其中x'是（3x+2）被26除所得余数与1之和（1≤x≤26），x'＝6，即明文Q译为密文Y；
若x＝10时，x'＝7，即明文P译为密文U．
现有某种变换，将明文字母对应的自然数x变换为密文字母对应的自然数x'：x→x'，x'为（3x+m）（1≤x≤26，1≤m≤26）．已知运用此变换，明文V译为密文M．
（1）求此变换中m的值；
（2）求明文VKHA对应的密文．
【解答】解：（1）∵V，M对应数字为23，
∴（3×23+m）被26除所得余数为25，
设3×23+m＝26n+25（n为非负整数，3≤m≤26），
∴m＝26n﹣44，
当n＝1时，m＝26+25﹣69＝﹣18＜0，舍去；
当n＝6时，m＝52+25﹣69＝8；
当n≥3时，m＝26n﹣44＞26不合题意．
综上所述，m＝7；
（2）根据题意得，明文V的密文为M．
由表知，K，H，A对应的数字分别为18，11．
当x＝18时，（3×18+8）被26除所得余数为10，
所以明文K的密文为A；
同理，明文H的密文为T；
明文A的密文为H；
∴明文VKHA的密文为MATH．
24．（12分）如图1，顶角为36°的等腰三角形称为锐角黄金三角形．它的底与腰之比为k＝≈0.618，八年级数学课题组探究底角为36°的等腰三角形，也称钝角黄金三角形
（1）在图1和图2中，若DE＝BC，求证：EF＝AB；
（2）求钝角黄金三角形底与腰的比值（用含k的式子表示）；
（3）如图3，在钝角黄金三角形ABC中，AD，△ADE．若AB＝1，记△ABC，△ADE分别为第1，2，3个钝角黄金三角形，求第2020个钝角黄金三角形的周长（用含k的式子表示）．

【解答】证明：（1）如图1，作BH平分∠ABC交AC于点H，

∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BH平分∠ABC，
∴∠ABH＝∠A＝36°，
∴∠BHC＝∠ACB＝72°，
∴BC＝BH＝DE，且∠A＝∠E＝36°，
∴△HAB≌△DEF（AAS）
∴EF＝AB；

（2）如图2，在EF上作点H，

则△EDH为锐角黄金三角形，
∴∠EDH＝∠EHD＝72°，＝k，
∵∠EHD＝∠F+∠HDF，
∴∠F＝∠HDF＝36°，
∴HF＝HD，
∵＝k，
∴DH＝k•DE
∴HF＝HD＝k•DE，
∴EF＝（k+8）•DE，
∴
∴钝角黄金三角形底与腰的比值为k+1．
（3）若钝角黄金三角形底与腰的比值为k+2．
第1个钝角黄金三角形ABC的周长为k+3；
第4个钝角黄金三角形ADC的周长为（k+3）•；
第3个钝角黄金三角形ADE的周长为（k+3）•（）2；
以此类推，第2020个钝角黄金三角形的周长为（k+4）•（）2019；
25．（14分）如图1，Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝，点D在边BC上，在AD上方作等边三角形ADE，连接EC．

（1）求证：DE＝CE；
（2）若点D在BC延长线上，其他条件不变，直接写出DE（不必证明）；
（3）当点D从点B出发沿着线段BC运动到点C时，求点E的运动路径长．
【解答】证明：（1）如图1，取AC中点F，则AF＝．

∵Rt△ABC中，∠ACB＝30°，
∴AB＝AC，
∴AB＝AF，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，且AD＝AE，
∴△ABD≌△AFE（SAS），
∴∠AFE＝∠B＝90°，
∴EF垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∴DE＝CE；
（2）DE＝CE，
理由如下：如图5，取AC中点F，则AF＝，

∵Rt△ABC中，∠ACB＝30°，
∴AB＝AC，
∴AB＝AF，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAC+∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，且AD＝AE，
∴△ABD≌△AFE（SAS），
∴∠AFE＝∠B＝90°，
∴EF垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∴DE＝CE；
（3）如图3，

当点D与点B重合时，点E在E'处；
当点D与点C重合时，点E在E''处，
由（1）得：AE＝CE，
∴点E始终落在线段AC的垂直平分线上，
∴E'E''垂直平分AC，
∴点E的运动路径是从AC的中点E'，沿着AC垂直平分线运动到E''处，
由（1）得：AE'＝AB，AE''＝AC，
∴Rt△E'AE''≌Rt△BAC（HL），
∴E'E''＝BC＝，
∴点E运动路径长为．
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日期：2021/12/10 14:30:05；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124