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2021-2022学年福建省福州市福清市八年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年福建省福州市福清市八年级（上）期末数学试卷 解析版，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省福州市福清市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项）
1．（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，将0.00012用科学记数法表示为（ ）
A．0.12×10﹣3 B．1.2×10﹣4 C．1.2×10﹣5 D．12×10﹣3
3．（4分）计算2﹣1+（π﹣3）0的结果是（ ）
A． B． C．﹣5+π D．π﹣1
4．（4分）下列计算结果为a8的是（ ）
A．a2+a6 B．a2•a4 C．（a4）2 D．a16÷a2
5．（4分）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝17米，OB＝9米，A、B间的距离不可能是（ ）
A．23米 B．8米 C．10米 D．18米
6．（4分）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（ ）
A．12 B．7 C．2 D．14
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD，若∠A＝32°，则∠CDB的度数（ ）
A．74° B．37° C．32° D．106°
8．（4分）下列等式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
9．（4分）福清“玉融山环山栈道”，是市民登山锻炼，休闲赏景的好去处，总长约3.6千米，甲乙两人同时从栈道起点出发，沿着绿道徒步，已知甲每小时走x千米，乙的速度是甲的1.5倍，最终乙比甲早20分钟到达栈道终点，则符合题意的方程是（ ）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝ D．﹣＝
10．（4分）若y＝，则的值为（ ）
A． B．﹣1 C． D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）正多边形的一个外角为36°，则这是一个正 边形．
12．（4分）因式分解：2x2﹣8＝ ．
13．（4分）计算12a3b÷（﹣4a2）的结果是 ．
14．（4分）如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠PAB的度数为 ．
15．（4分）若（x+m）（x﹣3）＝x2+nx﹣12，则n＝ ．
16．（4分）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面积为，AC＝2，点P为BD上动点，连接AP，则AP+BP的最小值为 ．
三、解答题（共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）计算：
（1）a•a3+（a2）2+（2a）4；
（2）（x+3）2+（x+2）（x﹣2）．
18．（6分）解方程：．
19．（8分）如图，A，B，C，D四点共线，且AC＝BD，AE∥BF，CE⊥AB于C，DF⊥AB于D，求证：△ACE≌△BDF．
20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝1．
21．（8分）如图，在Rt△ABC，∠BCA＝90°，∠A＝30°．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD，若CD＝2，求BD的长．
22．（10分）如图，∠ABN＝60°，点C为射线BN上一定点，点A关于射线BN对称点为D，连接CD，点P是DB延长线上一点，且∠ACP＝60°．
（1）请依题意补全图形，并证明∠BAC＝∠BDC；（友情提示：无需尺规作图）
（2）求证：AC＝PC．
23．（10分）阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如a2+2a﹣4＝a2+2a+12﹣12﹣4＝（a+1）2﹣5
∵（a+1）2≥0，∴a2+2a﹣4＝（a+1）2﹣5≥﹣5，
因此，代数式a2+2a﹣4有最小值﹣5．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）代数式a2﹣2a+2的最小值为 ；
（2）试比较a2+b2+11与6a﹣2b的大小关系，并说明理由；
（3）已知：a﹣b＝2，ab+c2﹣4c+5＝0，求代数式a+b+c的值．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，B（4，0），∠OAB＝90°，OA＝AB．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，点C（b，0）是x轴正半轴上的点，点D（0，a）是y轴正半轴上的点，若a+b＝4，求证：AD⊥AC；
（3）在（2）条件下，如图3，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，并延长AE交OC于G，求点G的坐标．（用含b的式子表示）
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AC，BC上的点，连接AE，BD交于点F，∠BFE＝∠BAC．
（1）求证：∠EAC＝∠ABD；
（2）当2∠AEB＝∠BAC时，
①若BD平分∠ABC，BE＝m，AF＝n，求△BEF的面积；（用含m，n的式子表示）
②若EF＝s，BF＝t，求AF的长．（用含s，t的式子表示）
2021-2022学年福建省福州市福清市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项）
1．（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：D．
2．（4分）目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，将0.00012用科学记数法表示为（ ）
A．0.12×10﹣3 B．1.2×10﹣4 C．1.2×10﹣5 D．12×10﹣3
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.00012用科学记数法表示为1.2×10﹣4．
故选：B．
3．（4分）计算2﹣1+（π﹣3）0的结果是（ ）
A． B． C．﹣5+π D．π﹣1
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂，然后计算加法，求出算式的值即可．
【解答】解：2﹣1+（π﹣3）0
＝+1
＝．
故选：B．
4．（4分）下列计算结果为a8的是（ ）
A．a2+a6 B．a2•a4 C．（a4）2 D．a16÷a2
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．a2与a6不是同类项无法合并，故此选项不合题意；
B．a2•a4＝a6，故此选项不合题意；
C．（a4）2＝a8，故此选项符合题意；
D．a16÷a2＝a14，故此选项不合题意；
故选：C．
5．（4分）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝17米，OB＝9米，A、B间的距离不可能是（ ）
A．23米 B．8米 C．10米 D．18米
【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可．
【解答】解：∵OA＝17米，OB＝9米，
∴17﹣9＜AB＜17+9，
即：8＜AB＜26，
故选：B．
6．（4分）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（ ）
A．12 B．7 C．2 D．14
【分析】由全等三角形的性质得到AC＝DC＝7，CB＝CE＝5，再根据BD＝DC+CB即可得解．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，CB＝CE，
∵CE＝5，AC＝7，
∴CB＝5，DC＝7，
∴BD＝DC+CB＝7+5＝12．
故选：A．
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD，若∠A＝32°，则∠CDB的度数（ ）
A．74° B．37° C．32° D．106°
【分析】根据等腰三角形的性质，由AB＝AC得到∠ACB＝∠ABC，则根据三角形内角和计算出∠ACB＝74°，再利用作法得到CB＝CD，所以∠CDB＝∠CBD，然后根据三角形外角性质计算∠CDB的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣32°）＝74°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∵∠ACB＝∠CDB+∠CBD，
∴∠CDB＝∠ACB＝×74°＝37°．
故选：B．
8．（4分）下列等式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据分式的基本性质判断即可．
【解答】解：A.≠，故A不符合题意，
B.＝，故B符合题意；
C.＝（c≠0），故C不符合题意，
D.≠，故D不符合题意；
故选：B．
9．（4分）福清“玉融山环山栈道”，是市民登山锻炼，休闲赏景的好去处，总长约3.6千米，甲乙两人同时从栈道起点出发，沿着绿道徒步，已知甲每小时走x千米，乙的速度是甲的1.5倍，最终乙比甲早20分钟到达栈道终点，则符合题意的方程是（ ）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝ D．﹣＝
【分析】甲每小时走x千米，乙的速度是每小时走1.5x千米，根据“最终乙比甲早20分钟到达栈道终点”列出方程．
【解答】解：甲每小时走x千米，乙的速度是每小时走1.5x千米，
根据题意，得﹣＝．
故选：C．
10．（4分）若y＝，则的值为（ ）
A． B．﹣1 C． D．
【分析】根据已知可得y﹣x＝2xy，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵y＝，
∴y﹣2xy＝x，
∴y﹣x＝2xy，
∴＝
＝
＝﹣，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）正多边形的一个外角为36°，则这是一个正 十 边形．
【分析】设这个正多边形边数为x，根据正多边形的性质可得：正多边形的每一个外角都是相等的，再结合正多边形的外角和为360°可得36x＝360，解方程即可．
【解答】解：设这个正多边形边数为x，由题意得：
36x＝360，
解得：x＝10．
故答案为：十．
12．（4分）因式分解：2x2﹣8＝ 2（x+2）（x﹣2） ．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出后，再利用平方差公式分解即可得出答案．
【解答】解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．
13．（4分）计算12a3b÷（﹣4a2）的结果是 ﹣3ab ．
【分析】根据单项式除以单项式的法则化简即可．
【解答】解：原式＝[12÷（﹣4）]（a3÷a2）b
＝﹣3ab，
故答案为：﹣3ab．
14．（4分）如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠PAB的度数为 40° ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB＝PC，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC＝20°，∠PBC＝∠PCB＝30°，∠PAB＝∠PBA，
∴∠PAB＝（180°﹣2×20°﹣2×30°）＝40°，
故答案为：40°．
15．（4分）若（x+m）（x﹣3）＝x2+nx﹣12，则n＝ 1 ．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开即可求出m与n的值．
【解答】解：（x+m）（x﹣3）＝x2﹣3x+mx﹣3m＝x2+（m﹣3）x﹣3m，
∴m﹣3＝n，3m＝12，
解得：m＝4，n＝1，
故答案为：1．
16．（4分）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面积为，AC＝2，点P为BD上动点，连接AP，则AP+BP的最小值为 ．
【分析】过A作AF⊥CB于E，过点P作PE⊥BC于E，故PE＝BP，故AP+BP＝AP+PE≥AF，求出AF即可．
【解答】解：过A作AF⊥CB于E，过点P作PE⊥BC于E，
∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∴PE＝BP，
∴AP+BP＝AP+PE≥AF，
∵△ABC的面积为，AC＝2，
∴BC•AF＝，
∴AF＝，
∴AP+BP的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）计算：
（1）a•a3+（a2）2+（2a）4；
（2）（x+3）2+（x+2）（x﹣2）．
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则分别化简，再合并同类项得出答案；
（2）直接利用乘法公式化简，再合并同类项得出答案．
【解答】解：（1）原式＝a4+a4+16a4
＝18a4；
（2）原式＝x2+6x+9+x2﹣4
＝2x2+6x+5．
18．（6分）解方程：．
【分析】本题的最简公分母是3（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘3（x+1），
得：3x﹣2x＝3（x+1），
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是方程的解，
∴原方程的解为x＝﹣．
19．（8分）如图，A，B，C，D四点共线，且AC＝BD，AE∥BF，CE⊥AB于C，DF⊥AB于D，求证：△ACE≌△BDF．
【分析】先根据平行线的性质得到∠A＝∠FBD，再利用垂直的定义得到∠ECA＝∠FDA＝90°，然后根据全等三角形的判断方法可得到结论．
【解答】证明：∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBD，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠ECA＝∠FDA＝90°，
在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（ASA）．
20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝1．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当x＝1时，原式＝＝﹣1．
21．（8分）如图，在Rt△ABC，∠BCA＝90°，∠A＝30°．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD，若CD＝2，求BD的长．
【分析】（1）利用基本作图作∠ABC的平分线即可；
（2）先计算出∠ABC的度数，再利用角平分线的定义得到∠CBD＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．
【解答】解：（1）如图，BD为所作；
（2）∵∠BCA＝90°，∠A＝30°．
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CDB＝30°，
∴BD＝2CD＝2×2＝4．
22．（10分）如图，∠ABN＝60°，点C为射线BN上一定点，点A关于射线BN对称点为D，连接CD，点P是DB延长线上一点，且∠ACP＝60°．
（1）请依题意补全图形，并证明∠BAC＝∠BDC；（友情提示：无需尺规作图）
（2）求证：AC＝PC．
【分析】（1）根据题意即可补全图形，利用SSS证明∠BAC＝∠BDC即可；
（2）结合（1）根据三角形内角和定理即可证明AC＝PC．
【解答】（1）解：如图，即为补全的图形；
证明：∵A，D两点关于射线BN对称，B，C在BN上，
∴BA＝BD，CA＝CD，
在△ABC和△DBC中，
，
∴△ABC≌△DBC（SSS），
∴∠BAC＝∠BDC；
（2）证明：∵△ABC≌△DBC，
∴∠ABC＝∠DBC＝60°，
∴∠PBA＝60°＝∠ACP，
∵∠PEB＝∠AEC，
∴∠P＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠P＝∠BDC，
∴CP＝CD，CA＝CD，
∴CP＝CA．
23．（10分）阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如a2+2a﹣4＝a2+2a+12﹣12﹣4＝（a+1）2﹣5
∵（a+1）2≥0，∴a2+2a﹣4＝（a+1）2﹣5≥﹣5，
因此，代数式a2+2a﹣4有最小值﹣5．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）代数式a2﹣2a+2的最小值为 1 ；
（2）试比较a2+b2+11与6a﹣2b的大小关系，并说明理由；
（3）已知：a﹣b＝2，ab+c2﹣4c+5＝0，求代数式a+b+c的值．
【分析】（1）将代数式a2﹣2a+2配方可得最值；
（2）作差并配方，可进行大小比较；
（3）变形后得：a＝b+2，代入ab+c2﹣4c+5＝0中，再利用配方法即可解决问题．
【解答】解：（1）a2﹣2a+2＝（a2﹣2a+1）+1＝（a﹣1）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，
∴（a﹣1）2+1≥1，
即代数式a2﹣2a+2的最小值为1；
故答案为：1；
（2）a2+b2+11＞6a﹣2b，理由如下：
a2+b2+11﹣（6a﹣2b）
＝a2+b2+11﹣6a+2b
＝（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+1
＝（a﹣3）2+（b+1）2+1，
∵（a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0，
∴a2+b2+11＞6a﹣2b；
（3）∵a﹣b＝2，
∴a＝b+2，
∵ab+c2﹣4c+5＝0，
∴b（b+2）+c2﹣4c+5＝0，
∴（b+1）2+（c﹣2）2＝0，
∴b+1＝0，c﹣2＝0，
∴b＝﹣1，c＝2，
∴a＝﹣1+2＝1，
∴a+b+c＝1﹣1+2＝2．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，B（4，0），∠OAB＝90°，OA＝AB．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，点C（b，0）是x轴正半轴上的点，点D（0，a）是y轴正半轴上的点，若a+b＝4，求证：AD⊥AC；
（3）在（2）条件下，如图3，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，并延长AE交OC于G，求点G的坐标．（用含b的式子表示）
【分析】（1）过A作AC⊥OB于C，根据等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（3）过O作OM∥AC交AG的延长线于M，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）过A作AC⊥OB于C，
∵AO＝AB，∠OAC＝∠OAB＝×90°＝45°，OC＝OB，
∵B（4，0），
∴OB＝4，OC＝2，AO＝AB，
∴∠AOC＝×（180°﹣90°）＝45°＝∠OAC，
∴AD＝OD＝2，
∴A（2，2）；
（2）∵C（b，0），D（0，a），
∴OD＝a，OC＝b，
∵a+b＝4，
∴OD+OC＝4，
∵OB＝OC+BC＝4，
∴OD＝BC，
∵x轴⊥y轴，
∴∠DOB＝90°，∠AOD＝90°﹣∠AOC＝45°＝∠ABO，
在△ADO和△ACB中，
，
∴△ADO≌△ACB（SAS），
∴∠DAO＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠DAO+∠OAC＝∠CAB+∠OAC＝90°，
∴AD⊥AC；
（3）过O作OM∥AC交AG的延长线于M，
∴∠MOA+∠OAC＝180°，
由（2）可知，∠DAC+∠OAB＝∠OAC+∠DAB＝180°，
∴∠MOA＝∠DAB，
∵AE⊥BD，
∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠EAB+∠OAE，
∴∠OAE＝∠ABE，
∵OA＝AB，
∴△MOA≌△DAB（ASA），
∴OM＝AD＝AC，
∵OM∥AC，
∴∠M＝∠CAG，
∵∠OGM＝∠AGC，
∴△MOG≌△ACG（AAS），
∴OG＝GC＝OC＝b，
∴G（b，0）．
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AC，BC上的点，连接AE，BD交于点F，∠BFE＝∠BAC．
（1）求证：∠EAC＝∠ABD；
（2）当2∠AEB＝∠BAC时，
①若BD平分∠ABC，BE＝m，AF＝n，求△BEF的面积；（用含m，n的式子表示）
②若EF＝s，BF＝t，求AF的长．（用含s，t的式子表示）
【分析】（1）根据角的和差关系可得结论；
（2）①过F作FG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质及角的倍分关系可得∠BAE＝90°，再由垂直的定义、角平分线的定义及三角形面积公式可得答案；
②在BD上截取BH＝AE，连接AH，根据全等三角形的判定和性质可得∠AHF＝∠AEB＝∠BAC＝（180°﹣2∠C）＝90°﹣∠C，结合直角三角形的性质可得∠HAF＝∠AHF，最后根据线段和差关系可得答案．
【解答】（1）证明：∵∠BFE＝∠BAC，
∴∠ABD+∠BAE＝∠EAC+∠BAF，
∴∠EAC＝∠ABD；
（2）解：①过F作FG⊥BC于G，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠BAC＝180°﹣2∠C，
∴∠AEB＝∠BAC＝90°﹣∠C，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°，
∴FA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴FA＝FG，
∴S△BEF＝＝mn；
②在BD上截取BH＝AE，连接AH，
在△ABH和△EAC中，
，
∴△ABH≌△EAC（SAS），
∴∠AHB＝∠AEC，∠C＝∠BAH，
∴∠AHF＝∠AEB＝∠BAC＝（180°﹣2∠C）＝90°﹣∠C，
由①知，∠BAE＝90°，
∴∠HAF＝90°﹣∠BAH＝90°﹣∠C，
∴∠HAF＝∠AHF，
∴AF＝FH＝BF﹣BH＝BF﹣AE＝BF﹣AF﹣EF，
∴2AF＝BF﹣EF，
∴AF＝（t﹣s）．
2021-2022学年福建省福州市福清市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项）
1．（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，将0.00012用科学记数法表示为（ ）
A．0.12×10﹣3 B．1.2×10﹣4 C．1.2×10﹣5 D．12×10﹣3
3．（4分）计算2﹣1+（π﹣3）0的结果是（ ）
A． B． C．﹣5+π D．π﹣1
4．（4分）下列计算结果为a8的是（ ）
A．a2+a6 B．a2•a4 C．（a4）2 D．a16÷a2
5．（4分）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝17米，OB＝9米，A、B间的距离不可能是（ ）
A．23米 B．8米 C．10米 D．18米
6．（4分）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（ ）
A．12 B．7 C．2 D．14
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD，若∠A＝32°，则∠CDB的度数（ ）
A．74° B．37° C．32° D．106°
8．（4分）下列等式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
9．（4分）福清“玉融山环山栈道”，是市民登山锻炼，休闲赏景的好去处，总长约3.6千米，甲乙两人同时从栈道起点出发，沿着绿道徒步，已知甲每小时走x千米，乙的速度是甲的1.5倍，最终乙比甲早20分钟到达栈道终点，则符合题意的方程是（ ）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝ D．﹣＝
10．（4分）若y＝，则的值为（ ）
A． B．﹣1 C． D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）正多边形的一个外角为36°，则这是一个正 边形．
12．（4分）因式分解：2x2﹣8＝ ．
13．（4分）计算12a3b÷（﹣4a2）的结果是 ．
14．（4分）如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠PAB的度数为 ．
15．（4分）若（x+m）（x﹣3）＝x2+nx﹣12，则n＝ ．
16．（4分）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面积为，AC＝2，点P为BD上动点，连接AP，则AP+BP的最小值为 ．
三、解答题（共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）计算：
（1）a•a3+（a2）2+（2a）4；
（2）（x+3）2+（x+2）（x﹣2）．
18．（6分）解方程：．
19．（8分）如图，A，B，C，D四点共线，且AC＝BD，AE∥BF，CE⊥AB于C，DF⊥AB于D，求证：△ACE≌△BDF．
20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝1．
21．（8分）如图，在Rt△ABC，∠BCA＝90°，∠A＝30°．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD，若CD＝2，求BD的长．
22．（10分）如图，∠ABN＝60°，点C为射线BN上一定点，点A关于射线BN对称点为D，连接CD，点P是DB延长线上一点，且∠ACP＝60°．
（1）请依题意补全图形，并证明∠BAC＝∠BDC；（友情提示：无需尺规作图）
（2）求证：AC＝PC．
23．（10分）阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如a2+2a﹣4＝a2+2a+12﹣12﹣4＝（a+1）2﹣5
∵（a+1）2≥0，∴a2+2a﹣4＝（a+1）2﹣5≥﹣5，
因此，代数式a2+2a﹣4有最小值﹣5．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）代数式a2﹣2a+2的最小值为 ；
（2）试比较a2+b2+11与6a﹣2b的大小关系，并说明理由；
（3）已知：a﹣b＝2，ab+c2﹣4c+5＝0，求代数式a+b+c的值．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，B（4，0），∠OAB＝90°，OA＝AB．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，点C（b，0）是x轴正半轴上的点，点D（0，a）是y轴正半轴上的点，若a+b＝4，求证：AD⊥AC；
（3）在（2）条件下，如图3，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，并延长AE交OC于G，求点G的坐标．（用含b的式子表示）
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AC，BC上的点，连接AE，BD交于点F，∠BFE＝∠BAC．
（1）求证：∠EAC＝∠ABD；
（2）当2∠AEB＝∠BAC时，
①若BD平分∠ABC，BE＝m，AF＝n，求△BEF的面积；（用含m，n的式子表示）
②若EF＝s，BF＝t，求AF的长．（用含s，t的式子表示）
2021-2022学年福建省福州市福清市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项）
1．（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：D．
2．（4分）目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，将0.00012用科学记数法表示为（ ）
A．0.12×10﹣3 B．1.2×10﹣4 C．1.2×10﹣5 D．12×10﹣3
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.00012用科学记数法表示为1.2×10﹣4．
故选：B．
3．（4分）计算2﹣1+（π﹣3）0的结果是（ ）
A． B． C．﹣5+π D．π﹣1
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂，然后计算加法，求出算式的值即可．
【解答】解：2﹣1+（π﹣3）0
＝+1
＝．
故选：B．
4．（4分）下列计算结果为a8的是（ ）
A．a2+a6 B．a2•a4 C．（a4）2 D．a16÷a2
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．a2与a6不是同类项无法合并，故此选项不合题意；
B．a2•a4＝a6，故此选项不合题意；
C．（a4）2＝a8，故此选项符合题意；
D．a16÷a2＝a14，故此选项不合题意；
故选：C．
5．（4分）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝17米，OB＝9米，A、B间的距离不可能是（ ）
A．23米 B．8米 C．10米 D．18米
【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可．
【解答】解：∵OA＝17米，OB＝9米，
∴17﹣9＜AB＜17+9，
即：8＜AB＜26，
故选：B．
6．（4分）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（ ）
A．12 B．7 C．2 D．14
【分析】由全等三角形的性质得到AC＝DC＝7，CB＝CE＝5，再根据BD＝DC+CB即可得解．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，CB＝CE，
∵CE＝5，AC＝7，
∴CB＝5，DC＝7，
∴BD＝DC+CB＝7+5＝12．
故选：A．
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD，若∠A＝32°，则∠CDB的度数（ ）
A．74° B．37° C．32° D．106°
【分析】根据等腰三角形的性质，由AB＝AC得到∠ACB＝∠ABC，则根据三角形内角和计算出∠ACB＝74°，再利用作法得到CB＝CD，所以∠CDB＝∠CBD，然后根据三角形外角性质计算∠CDB的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣32°）＝74°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∵∠ACB＝∠CDB+∠CBD，
∴∠CDB＝∠ACB＝×74°＝37°．
故选：B．
8．（4分）下列等式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据分式的基本性质判断即可．
【解答】解：A.≠，故A不符合题意，
B.＝，故B符合题意；
C.＝（c≠0），故C不符合题意，
D.≠，故D不符合题意；
故选：B．
9．（4分）福清“玉融山环山栈道”，是市民登山锻炼，休闲赏景的好去处，总长约3.6千米，甲乙两人同时从栈道起点出发，沿着绿道徒步，已知甲每小时走x千米，乙的速度是甲的1.5倍，最终乙比甲早20分钟到达栈道终点，则符合题意的方程是（ ）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝ D．﹣＝
【分析】甲每小时走x千米，乙的速度是每小时走1.5x千米，根据“最终乙比甲早20分钟到达栈道终点”列出方程．
【解答】解：甲每小时走x千米，乙的速度是每小时走1.5x千米，
根据题意，得﹣＝．
故选：C．
10．（4分）若y＝，则的值为（ ）
A． B．﹣1 C． D．
【分析】根据已知可得y﹣x＝2xy，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵y＝，
∴y﹣2xy＝x，
∴y﹣x＝2xy，
∴＝
＝
＝﹣，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）正多边形的一个外角为36°，则这是一个正 十 边形．
【分析】设这个正多边形边数为x，根据正多边形的性质可得：正多边形的每一个外角都是相等的，再结合正多边形的外角和为360°可得36x＝360，解方程即可．
【解答】解：设这个正多边形边数为x，由题意得：
36x＝360，
解得：x＝10．
故答案为：十．
12．（4分）因式分解：2x2﹣8＝ 2（x+2）（x﹣2） ．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出后，再利用平方差公式分解即可得出答案．
【解答】解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．
13．（4分）计算12a3b÷（﹣4a2）的结果是 ﹣3ab ．
【分析】根据单项式除以单项式的法则化简即可．
【解答】解：原式＝[12÷（﹣4）]（a3÷a2）b
＝﹣3ab，
故答案为：﹣3ab．
14．（4分）如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠PAB的度数为 40° ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB＝PC，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC＝20°，∠PBC＝∠PCB＝30°，∠PAB＝∠PBA，
∴∠PAB＝（180°﹣2×20°﹣2×30°）＝40°，
故答案为：40°．
15．（4分）若（x+m）（x﹣3）＝x2+nx﹣12，则n＝ 1 ．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开即可求出m与n的值．
【解答】解：（x+m）（x﹣3）＝x2﹣3x+mx﹣3m＝x2+（m﹣3）x﹣3m，
∴m﹣3＝n，3m＝12，
解得：m＝4，n＝1，
故答案为：1．
16．（4分）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面积为，AC＝2，点P为BD上动点，连接AP，则AP+BP的最小值为 ．
【分析】过A作AF⊥CB于E，过点P作PE⊥BC于E，故PE＝BP，故AP+BP＝AP+PE≥AF，求出AF即可．
【解答】解：过A作AF⊥CB于E，过点P作PE⊥BC于E，
∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∴PE＝BP，
∴AP+BP＝AP+PE≥AF，
∵△ABC的面积为，AC＝2，
∴BC•AF＝，
∴AF＝，
∴AP+BP的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）计算：
（1）a•a3+（a2）2+（2a）4；
（2）（x+3）2+（x+2）（x﹣2）．
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则分别化简，再合并同类项得出答案；
（2）直接利用乘法公式化简，再合并同类项得出答案．
【解答】解：（1）原式＝a4+a4+16a4
＝18a4；
（2）原式＝x2+6x+9+x2﹣4
＝2x2+6x+5．
18．（6分）解方程：．
【分析】本题的最简公分母是3（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘3（x+1），
得：3x﹣2x＝3（x+1），
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是方程的解，
∴原方程的解为x＝﹣．
19．（8分）如图，A，B，C，D四点共线，且AC＝BD，AE∥BF，CE⊥AB于C，DF⊥AB于D，求证：△ACE≌△BDF．
【分析】先根据平行线的性质得到∠A＝∠FBD，再利用垂直的定义得到∠ECA＝∠FDA＝90°，然后根据全等三角形的判断方法可得到结论．
【解答】证明：∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBD，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠ECA＝∠FDA＝90°，
在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（ASA）．
20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝1．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当x＝1时，原式＝＝﹣1．
21．（8分）如图，在Rt△ABC，∠BCA＝90°，∠A＝30°．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD，若CD＝2，求BD的长．
【分析】（1）利用基本作图作∠ABC的平分线即可；
（2）先计算出∠ABC的度数，再利用角平分线的定义得到∠CBD＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．
【解答】解：（1）如图，BD为所作；
（2）∵∠BCA＝90°，∠A＝30°．
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CDB＝30°，
∴BD＝2CD＝2×2＝4．
22．（10分）如图，∠ABN＝60°，点C为射线BN上一定点，点A关于射线BN对称点为D，连接CD，点P是DB延长线上一点，且∠ACP＝60°．
（1）请依题意补全图形，并证明∠BAC＝∠BDC；（友情提示：无需尺规作图）
（2）求证：AC＝PC．
【分析】（1）根据题意即可补全图形，利用SSS证明∠BAC＝∠BDC即可；
（2）结合（1）根据三角形内角和定理即可证明AC＝PC．
【解答】（1）解：如图，即为补全的图形；
证明：∵A，D两点关于射线BN对称，B，C在BN上，
∴BA＝BD，CA＝CD，
在△ABC和△DBC中，
，
∴△ABC≌△DBC（SSS），
∴∠BAC＝∠BDC；
（2）证明：∵△ABC≌△DBC，
∴∠ABC＝∠DBC＝60°，
∴∠PBA＝60°＝∠ACP，
∵∠PEB＝∠AEC，
∴∠P＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠P＝∠BDC，
∴CP＝CD，CA＝CD，
∴CP＝CA．
23．（10分）阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如a2+2a﹣4＝a2+2a+12﹣12﹣4＝（a+1）2﹣5
∵（a+1）2≥0，∴a2+2a﹣4＝（a+1）2﹣5≥﹣5，
因此，代数式a2+2a﹣4有最小值﹣5．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）代数式a2﹣2a+2的最小值为 1 ；
（2）试比较a2+b2+11与6a﹣2b的大小关系，并说明理由；
（3）已知：a﹣b＝2，ab+c2﹣4c+5＝0，求代数式a+b+c的值．
【分析】（1）将代数式a2﹣2a+2配方可得最值；
（2）作差并配方，可进行大小比较；
（3）变形后得：a＝b+2，代入ab+c2﹣4c+5＝0中，再利用配方法即可解决问题．
【解答】解：（1）a2﹣2a+2＝（a2﹣2a+1）+1＝（a﹣1）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，
∴（a﹣1）2+1≥1，
即代数式a2﹣2a+2的最小值为1；
故答案为：1；
（2）a2+b2+11＞6a﹣2b，理由如下：
a2+b2+11﹣（6a﹣2b）
＝a2+b2+11﹣6a+2b
＝（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+1
＝（a﹣3）2+（b+1）2+1，
∵（a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0，
∴a2+b2+11＞6a﹣2b；
（3）∵a﹣b＝2，
∴a＝b+2，
∵ab+c2﹣4c+5＝0，
∴b（b+2）+c2﹣4c+5＝0，
∴（b+1）2+（c﹣2）2＝0，
∴b+1＝0，c﹣2＝0，
∴b＝﹣1，c＝2，
∴a＝﹣1+2＝1，
∴a+b+c＝1﹣1+2＝2．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，B（4，0），∠OAB＝90°，OA＝AB．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，点C（b，0）是x轴正半轴上的点，点D（0，a）是y轴正半轴上的点，若a+b＝4，求证：AD⊥AC；
（3）在（2）条件下，如图3，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，并延长AE交OC于G，求点G的坐标．（用含b的式子表示）
【分析】（1）过A作AC⊥OB于C，根据等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（3）过O作OM∥AC交AG的延长线于M，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）过A作AC⊥OB于C，
∵AO＝AB，∠OAC＝∠OAB＝×90°＝45°，OC＝OB，
∵B（4，0），
∴OB＝4，OC＝2，AO＝AB，
∴∠AOC＝×（180°﹣90°）＝45°＝∠OAC，
∴AD＝OD＝2，
∴A（2，2）；
（2）∵C（b，0），D（0，a），
∴OD＝a，OC＝b，
∵a+b＝4，
∴OD+OC＝4，
∵OB＝OC+BC＝4，
∴OD＝BC，
∵x轴⊥y轴，
∴∠DOB＝90°，∠AOD＝90°﹣∠AOC＝45°＝∠ABO，
在△ADO和△ACB中，
，
∴△ADO≌△ACB（SAS），
∴∠DAO＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠DAO+∠OAC＝∠CAB+∠OAC＝90°，
∴AD⊥AC；
（3）过O作OM∥AC交AG的延长线于M，
∴∠MOA+∠OAC＝180°，
由（2）可知，∠DAC+∠OAB＝∠OAC+∠DAB＝180°，
∴∠MOA＝∠DAB，
∵AE⊥BD，
∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠EAB+∠OAE，
∴∠OAE＝∠ABE，
∵OA＝AB，
∴△MOA≌△DAB（ASA），
∴OM＝AD＝AC，
∵OM∥AC，
∴∠M＝∠CAG，
∵∠OGM＝∠AGC，
∴△MOG≌△ACG（AAS），
∴OG＝GC＝OC＝b，
∴G（b，0）．
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AC，BC上的点，连接AE，BD交于点F，∠BFE＝∠BAC．
（1）求证：∠EAC＝∠ABD；
（2）当2∠AEB＝∠BAC时，
①若BD平分∠ABC，BE＝m，AF＝n，求△BEF的面积；（用含m，n的式子表示）
②若EF＝s，BF＝t，求AF的长．（用含s，t的式子表示）
【分析】（1）根据角的和差关系可得结论；
（2）①过F作FG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质及角的倍分关系可得∠BAE＝90°，再由垂直的定义、角平分线的定义及三角形面积公式可得答案；
②在BD上截取BH＝AE，连接AH，根据全等三角形的判定和性质可得∠AHF＝∠AEB＝∠BAC＝（180°﹣2∠C）＝90°﹣∠C，结合直角三角形的性质可得∠HAF＝∠AHF，最后根据线段和差关系可得答案．
【解答】（1）证明：∵∠BFE＝∠BAC，
∴∠ABD+∠BAE＝∠EAC+∠BAF，
∴∠EAC＝∠ABD；
（2）解：①过F作FG⊥BC于G，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠BAC＝180°﹣2∠C，
∴∠AEB＝∠BAC＝90°﹣∠C，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°，
∴FA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴FA＝FG，
∴S△BEF＝＝mn；
②在BD上截取BH＝AE，连接AH，
在△ABH和△EAC中，
，
∴△ABH≌△EAC（SAS），
∴∠AHB＝∠AEC，∠C＝∠BAH，
∴∠AHF＝∠AEB＝∠BAC＝（180°﹣2∠C）＝90°﹣∠C，
由①知，∠BAE＝90°，
∴∠HAF＝90°﹣∠BAH＝90°﹣∠C，
∴∠HAF＝∠AHF，
∴AF＝FH＝BF﹣BH＝BF﹣AE＝BF﹣AF﹣EF，
∴2AF＝BF﹣EF，
∴AF＝（t﹣s）．
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