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2021-2022学年广东省潮州市潮安区七年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年广东省潮州市潮安区七年级（上）期末数学试卷 解析版，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省潮州市潮安区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填在题目后面的括号内。
1．（3分）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．1 B．﹣3 C．π D．0
2．（3分）下列方程中，一元一次方程的是（ ）
A．2x﹣1＝3 B．x+y＝9 C． D．x+2＝x2
3．（3分）下列合并同类项正确的是（ ）
A．3y﹣2y＝1 B．﹣2xy+4xy＝xy
C．6ab2﹣7ab2＝﹣ab2 D．6y2+2y2＝8y4
4．（3分）把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（ ）
A．70° B．90° C．105° D．120°
5．（3分）一个角的度数等于60°20′，那么它的余角等于（ ）
A．40°40′ B．39°80′ C．119°40′ D．29°40′
6．（3分）260000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.26×109 B．2.6×108 C．2.6×109 D．26×107
7．（3分）某商店以每个120元的价格卖出两个智能手表，其中一个盈利20%，另一个亏损20%．在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不盈不亏 B．亏损10元 C．盈利9.6元 D．盈利10元
8．（3分）下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在线段AB上有C、D两点，CD长度为1cm，AB长为整数，则以A，B，C，D为端点的所有线段长度和不可能为（ ）
A．16cm B．21cm C．22cm D．31cm
10．（3分）观察下面三行数：
第①行：2、4、6、8、10、12、…
第②行：3、5、7、9、11、13、…
第③行：1、4、9、16、25、36、…
设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+2z的值为（ ）
A．9999 B．10001 C．20199 D．20001
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。请将下列各题的正确答案填写在横线上。
11．（4分）如果单项式5ax2yn+1与﹣7axmy4的和仍是单项式，那么m﹣2n的值是 ．
12．（4分）关于x的方程的解是x＝4，则a＝ ．
13．（4分）若小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从B处沿东偏南20°方向行走至点C处，则∠ABC＝ ．
14．（4分）一个两位数，个位上的数与十位上的数之和是12，若交换个位与十位的位置则得到的两位数为原来数字的，则原来的两位数是 ．
15．（4分）如果x+y＝2，则（x+y）2+2x+2y+1＝ ．
16．（4分）已知∠AOB，过O点作OC，若∠AOC＝∠AOB，且∠AOC＝35°，则∠BOC＝ ．
17．（4分）已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是 ，最大值是 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
18．（6分）计算：．
19．（6分）先化简，再求值：（3a2﹣3ab+4b2）﹣2（b2+a2﹣2ab+1），其中a＝2，b＝﹣1．
20．（6分）解方程：．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。
21．（8分）为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，具体标准如下：若每月用水量不超过18吨，按2元/吨收费；若每月用水量超过18吨，但不超过40吨，超过部分按3元/吨收费；若每月用水量超过40吨，超过部分按6元/吨收费．
（1）若小红家某月用水30吨，则该月应交水费 元；
（2）若小红家某月交水费192元，求该月用水的吨数．
22．（8分）已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，
（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：
（2）如图2，若BD＝AB＝CD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．
23．（8分）某服装城共购入了两批A、B两款袜子．第一批购入A、B两款袜子共2500双，A款袜子售价为每双16元，B款袜子售价为每双24元，全部售出后的销售总额为52000元．服装城把2500双袜子全部售出后马上购入第二批袜子．已知第二批袜子中，A款袜子的进货量比第一批减少了2m双，售价不变；B款袜子的进货量比第一批减少了%，售价比原售价降低了，两批袜子全部售出后的销售总额为94040元．
（1）服装城第一批购入的A、B两款袜子各多少双？
（2）该服装城第二批购进A款袜子多少双？
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分。
24．（10分）如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，当射线OQ达到OA后，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒．
（1）分别求出当t＝5和t＝18时，∠POQ的度数；
（2）当OP与OQ重合时，求t的值；
（3）当∠POQ＝40°时，求t的值．
25．（10分）小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
x+＝0的解为x＝﹣，而﹣＝﹣1；
2x+＝0的解为x＝﹣，而﹣＝﹣2．
于是，小东将这种类型的方程作如下定义：
若一个关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究：
（1）若a＝﹣1，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由；
（2）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为奇异方程，解关于y的方程：a（a﹣b）y+2＝（b+）y．
2021-2022学年广东省潮州市潮安区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填在题目后面的括号内。
1．（3分）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．1 B．﹣3 C．π D．0
【分析】根据正数大于0，0大于负数，判断即可．
【解答】解：∵正数大于0，0大于负数，
∴在1，﹣3，π和0这四个数中，最小的数是：﹣3，
故选：B．
2．（3分）下列方程中，一元一次方程的是（ ）
A．2x﹣1＝3 B．x+y＝9 C． D．x+2＝x2
【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：A选项是一元一次方程，故该选项符合题意；
B选项中含有两个未知数，故该选项不符合题意；
C选项不是整式方程，故该选项不符合题意；
D选项中最高次数是2次，故该选项不符合题意；
故选：A．
3．（3分）下列合并同类项正确的是（ ）
A．3y﹣2y＝1 B．﹣2xy+4xy＝xy
C．6ab2﹣7ab2＝﹣ab2 D．6y2+2y2＝8y4
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此判断即可．
【解答】解：A．3y﹣2y＝y，故本选项不合题意；
B．﹣2xy+4xy＝2xy，故本选项不合题意；
C．6ab2﹣7ab2＝﹣ab2，故本选项符合题意；
D．6y2+2y2＝8y2，故本选项不合题意；
故选：C．
4．（3分）把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（ ）
A．70° B．90° C．105° D．120°
【分析】∠ABC等于30度角与直角的和，据此即可计算得到．
【解答】解：∠ABC＝30°+90°＝120°．
故选：D．
5．（3分）一个角的度数等于60°20′，那么它的余角等于（ ）
A．40°40′ B．39°80′ C．119°40′ D．29°40′
【分析】直接利用互余两角的关系，结合度分秒的换算得出答案．
【解答】解：∵一个角的度数等于60°20′，
∴它的余角＝90°﹣60°20′＝29°40′，
故选：D．
6．（3分）260000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.26×109 B．2.6×108 C．2.6×109 D．26×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：260000000用科学记数法表示为2.6×108．
故选：B．
7．（3分）某商店以每个120元的价格卖出两个智能手表，其中一个盈利20%，另一个亏损20%．在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不盈不亏 B．亏损10元 C．盈利9.6元 D．盈利10元
【分析】设盈利的进价是x元，亏损的是y元，根据某商店有两个进价不同的计算器都卖了120元，其中一个盈利20%，另一个亏损20%，可列方程求解．
【解答】解：设盈利的进价是x元．
120﹣x＝20%x，解得x＝100．
设亏本的进价是y元．
y﹣120＝20%y，解得y＝150．
120+120﹣100﹣150＝﹣10元．
故亏损了10元．
故选：B．
8．（3分）下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】正方体的展开图有“1+4+1”型，“2+3+1”型、“3+3”型三种类型，其中“1”可以左右移动．注意“一”、“7”、“田”、“凹”字型的都不是正方体的展开图．
【解答】解：A、属于“田”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
B、属于“7”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
C、属于“1+4+1”字型，是正方体的展开图，故选项正确；
D、属于“凹”字型，不是正方体的展开图，故选项错误．
故选：C．
9．（3分）如图，在线段AB上有C、D两点，CD长度为1cm，AB长为整数，则以A，B，C，D为端点的所有线段长度和不可能为（ ）
A．16cm B．21cm C．22cm D．31cm
【分析】根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是AC+CD+DB+AD+CB+AB，然后根据CD＝1，线段AB的长度是一个正整数，可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：AC+CD+DB+AD+CB+AB＝（AC+CD+DB）+（AD+CB）+AB＝AB+AB+CD+AB＝3AB+CD，
∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多1，
∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和不可能为21．
故选：B．
10．（3分）观察下面三行数：
第①行：2、4、6、8、10、12、…
第②行：3、5、7、9、11、13、…
第③行：1、4、9、16、25、36、…
设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+2z的值为（ ）
A．9999 B．10001 C．20199 D．20001
【分析】总结第①，第②，第③行的变化规律，分别求出x，y，z的值即可计算．
【解答】解：观察第①行：2、4、6、8、10、12、…
∴第100个数为100×2＝200，
即x＝200，
观察第②行：3、5、7、9、11、13、…
∴第100个数为100×2+1＝201，
观察第③行：1、4、9、16、25、36、…
∴第100个数是1002＝10000，
即x＝200、y＝201、z＝10000，
∴2x﹣y+2z＝20199，
故选：C．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。请将下列各题的正确答案填写在横线上。
11．（4分）如果单项式5ax2yn+1与﹣7axmy4的和仍是单项式，那么m﹣2n的值是 ﹣4 ．
【分析】根据合并同类项法则得5ax2yn+1与﹣7axmy4是同类项，再根据同类项的定义解决此题．
【解答】解：∵单项式5ax2yn+1与﹣7axmy4的和仍是单项式，
∴5ax2yn+1与﹣7axmy4是同类项．
∴m＝2，n+1＝4，
解得m＝2，n＝3，
∴m﹣2n＝2﹣6＝﹣4．
故答案为：﹣4．
12．（4分）关于x的方程的解是x＝4，则a＝ 3 ．
【分析】根据已知方程的解为x＝4，将x＝4代入方程求出a的值即可．
【解答】解：把x＝4代入方程，得3a﹣4＝2+3，
解得：a＝3．
故答案为：3．
13．（4分）若小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从B处沿东偏南20°方向行走至点C处，则∠ABC＝ 110° ．
【分析】先求出20°的余角是70°，然后再求出70°与40°的和即可解答．
【解答】解：由题意得：
90°﹣20°＝70°，
∴∠ABC＝40°+70°＝110°，
故答案为：110°．
14．（4分）一个两位数，个位上的数与十位上的数之和是12，若交换个位与十位的位置则得到的两位数为原来数字的，则原来的两位数是 84 ．
【分析】根据题意分别表示出交换前和交换后的两位数，再根据题意列方程进而得出答案．
【解答】解：设原两位数十位上的数字为x，那么个位数字为：12﹣x，
由题意得，[10x+（12﹣x）]＝10（12﹣x）+x，
解得x＝8，
12﹣x＝4，
所以原来的两位数是84，
故答案为：84．
15．（4分）如果x+y＝2，则（x+y）2+2x+2y+1＝ 9 ．
【分析】将x+y＝2代入（x+y）2+2x+2y+1＝（x+y）2+2（x+y）+1可得结果．
【解答】解：∵x+y＝2，
∴原式＝（x+y）2+2（x+y）+1＝22+2×2+1＝9，
故答案为：9．
16．（4分）已知∠AOB，过O点作OC，若∠AOC＝∠AOB，且∠AOC＝35°，则∠BOC＝ 35°或105° ．
【分析】分两种情况计算，①当OC在∠AOB的内部时；②当当OC在∠AOB的外部时，利用角的和差关系计算即可．
【解答】解：①当OC在∠AOB的外部时，
∵∠AOC＝∠AOB，∠AOC＝35°，
∴∠BOC＝3∠AOC＝3×35°＝105°；
②当当OC在∠AOB的内部时，
∵∠AOC＝∠AOB，∠AOC＝35°，
∴∠BOC＝∠AOC＝35°．
故∠BOC的度数为35°或105°．
故答案为：35°或105°．
17．（4分）已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是 10 ，最大值是 53 ．
【分析】由已知abc＝ab+50可化为ab（c﹣1）＝50，因为a、b、c都是正整数，a只能取5的倍数且最大值只能取50，即可得出b、c的值，计算即可得出答案．
【解答】解：因为abc＝ab+50，
所以abc﹣ab＝50，
即ab（c﹣1）＝50，
因为a、b、c都是正整数，
所以当a＝50时，b＝1，c＝2，a+b+c＝53，
当a＝25时，b＝1，c＝3，a+b+c＝28，
当a＝10时，b＝1，c＝6，a+b+c＝17，
当a＝5时，b＝2，c＝3，a+b+c＝10，
当a＝5时，b＝1，c＝11，a+b+c＝17，
所以则a+b+c的最小值是 10，最大值是53．
故答案为：10，53．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
18．（6分）计算：．
【分析】原式先算括号中的乘方及加法，再计算括号外的乘方，乘法，以及减法即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣1﹣×（2+9）
＝﹣1﹣×11
＝﹣1﹣
＝﹣．
19．（6分）先化简，再求值：（3a2﹣3ab+4b2）﹣2（b2+a2﹣2ab+1），其中a＝2，b＝﹣1．
【分析】原式去括号合并同类项得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（3a2﹣3ab+4b2）﹣（2b2+2a2﹣4ab+2）
＝3a2﹣3ab+4b2﹣2b2﹣2a2+4ab﹣2
＝a2+ab+2b2﹣2，
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝22+2×（﹣1）+2×（﹣1）2﹣2
＝4﹣2+2﹣2
＝2．
20．（6分）解方程：．
【分析】通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题．
【解答】解：，
去分母，得7（4x﹣6）+5（6x﹣4）＝﹣70．
去括号，得28x﹣42+30x﹣20＝﹣70．
移项，得28x+30x＝﹣70+20+42．
合并同类项，得58x＝﹣8．
x的系数化为1，得x＝﹣．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。
21．（8分）为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，具体标准如下：若每月用水量不超过18吨，按2元/吨收费；若每月用水量超过18吨，但不超过40吨，超过部分按3元/吨收费；若每月用水量超过40吨，超过部分按6元/吨收费．
（1）若小红家某月用水30吨，则该月应交水费 72 元；
（2）若小红家某月交水费192元，求该月用水的吨数．
【分析】（1）分两档求出费用即可．
（2）首先判断所以小红家某月交水费用水量超过40吨，设用水量为x吨，根据题意列出方程即可解决问题；
【解答】解：（1）18×2+（30﹣18）×3＝72（元）．
所以若小红家某月用水30吨，则该月应交水费72元，
故答案为72
（2）当用水量为40吨时，水费18×2+22×3＝102（元），
192＞102，
所以小红家某月交水费用水量超过40吨，设用水量为x吨，
由题意：102+6（x﹣40）＝192，
解得x＝55，
答：该月用水55吨．
22．（8分）已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，
（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：
（2）如图2，若BD＝AB＝CD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．
【分析】（1）由线段的中点，线段的和差求出线段DB的长度为1cm；
（2）由线段的中点，线段的和差倍分求出AC的长度为18cm．
【解答】解：（1）如图1所示：
∵AC＝AB+BC，AB＝6cm，BC＝4cm
∴AC＝6+4＝10cm
又∵D为线段AC的中点
∴DC＝AC＝×10＝5cm
∴DB＝DC﹣BC＝6﹣5＝1cm
（2）如图2所示：
设BD＝xcm
∵BD＝AB＝CD
∴AB＝4BD＝4xcm，CD＝3BD＝3xcm，
又∵DC＝DB+BC，
∴BC＝3x﹣x＝2x，
又∵AC＝AB+BC，
∴AC＝4x+2x＝6xcm，
∵E为线段AB的中点
∴BE＝AB＝×4x＝2xcm
又∵EC＝BE+BC，
∴EC＝2x+2x＝4xcm
又∵EC＝12cm
∴4x＝12，
解得：x＝3，
∴AC＝6x＝6×3＝18cm．
23．（8分）某服装城共购入了两批A、B两款袜子．第一批购入A、B两款袜子共2500双，A款袜子售价为每双16元，B款袜子售价为每双24元，全部售出后的销售总额为52000元．服装城把2500双袜子全部售出后马上购入第二批袜子．已知第二批袜子中，A款袜子的进货量比第一批减少了2m双，售价不变；B款袜子的进货量比第一批减少了%，售价比原售价降低了，两批袜子全部售出后的销售总额为94040元．
（1）服装城第一批购入的A、B两款袜子各多少双？
（2）该服装城第二批购进A款袜子多少双？
【分析】（1）设服装城第一批购入的A款袜子x双，则购入的B款袜子（2500﹣x）双，根据销售总额为52000元列出方程即可；
（2）第二批袜子中A款袜子为（1000﹣2m）双，B款袜子为1500×（1﹣%）双，根据销售总额为94040元列出方程即可．
【解答】解：（1）设服装城第一批购入的A款袜子x双，则购入的B款袜子（2500﹣x）双，
由题意，得16x+24（2500﹣x）＝52000，
解得x＝1000，
所以2500﹣1000＝1500（双），
答：服装城第一批购入的A款袜子1000双、B款袜子1500双；
（2）由题意得，，
解得m＝30，
所以1000﹣2m＝1000﹣2×30＝940（双），
答：该服装城第二批购进A款袜子940双．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分。
24．（10分）如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，当射线OQ达到OA后，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒．
（1）分别求出当t＝5和t＝18时，∠POQ的度数；
（2）当OP与OQ重合时，求t的值；
（3）当∠POQ＝40°时，求t的值．
【分析】（1）代入计算即可求解；
（2）根据角度的相遇问题列出方程计算即可求解；
（3）分两种情况：当0＜t≤15时；当15＜t≤20时；列出方程计算即可求解．
【解答】解：（1）当t＝5时，∠AOP＝2t＝10°，∠BOQ＝6t＝30°，
∴∠POQ＝∠AOB﹣∠AOP﹣∠BOQ＝120°﹣10°﹣30°＝80°；
当t＝18时，∠AOP＝2t＝36°，∠BOQ＝6t＝108°，
∴∠AOQ＝120°﹣108°＝12°，
∴∠POQ＝∠AOP﹣∠AOQ＝36°﹣12°＝24°；
（2）当OP与OQ重合时，
依题意得：2t+6t＝120，
解得：t＝15；
（3）当0＜t≤15时，
依题意得：2t+6t+40＝120，
解得：t＝10，
当15＜t≤20时，
依题意得：2t+6t﹣40＝120，
解得：t＝20，
∴当∠POQ＝40°时，t的值为10或20．
25．（10分）小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
x+＝0的解为x＝﹣，而﹣＝﹣1；
2x+＝0的解为x＝﹣，而﹣＝﹣2．
于是，小东将这种类型的方程作如下定义：
若一个关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究：
（1）若a＝﹣1，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由；
（2）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为奇异方程，解关于y的方程：a（a﹣b）y+2＝（b+）y．
【分析】（1）把a＝﹣1代入原方程解得：x＝b，若为“奇异方程”，则x＝b+1，由于b≠b+1，根据“奇异方程”定义即可求解；
（2）根据“奇异方程”定义得到a（a﹣b）＝b，方程a（a﹣b）y+2＝（b+）y可化为by+2＝（b+）y，解方程即可求解．
【解答】解：（1）没有符合要求的“奇异方程”，理由如下：
把a＝﹣1代入原方程解得：x＝b，
若为“奇异方程”，则x＝b+1，
∵b≠b+1，
∴不符合“奇异方程”定义，故不存在；
（2）∵ax+b＝0（a≠0）为奇异方程，
∴x＝b﹣a，
∴a（b﹣a）+b＝0，
a（b﹣a）＝﹣b，
a（a﹣b）＝b，
∴方程a（a﹣b）y+2＝（b+）y可化为by+2＝（b+）y，
∴by+2＝by+y，
2＝y，
解得y＝4．
2021-2022学年广东省潮州市潮安区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填在题目后面的括号内。
1．（3分）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．1 B．﹣3 C．π D．0
2．（3分）下列方程中，一元一次方程的是（ ）
A．2x﹣1＝3 B．x+y＝9 C． D．x+2＝x2
3．（3分）下列合并同类项正确的是（ ）
A．3y﹣2y＝1 B．﹣2xy+4xy＝xy
C．6ab2﹣7ab2＝﹣ab2 D．6y2+2y2＝8y4
4．（3分）把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（ ）
A．70° B．90° C．105° D．120°
5．（3分）一个角的度数等于60°20′，那么它的余角等于（ ）
A．40°40′ B．39°80′ C．119°40′ D．29°40′
6．（3分）260000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.26×109 B．2.6×108 C．2.6×109 D．26×107
7．（3分）某商店以每个120元的价格卖出两个智能手表，其中一个盈利20%，另一个亏损20%．在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不盈不亏 B．亏损10元 C．盈利9.6元 D．盈利10元
8．（3分）下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在线段AB上有C、D两点，CD长度为1cm，AB长为整数，则以A，B，C，D为端点的所有线段长度和不可能为（ ）
A．16cm B．21cm C．22cm D．31cm
10．（3分）观察下面三行数：
第①行：2、4、6、8、10、12、…
第②行：3、5、7、9、11、13、…
第③行：1、4、9、16、25、36、…
设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+2z的值为（ ）
A．9999 B．10001 C．20199 D．20001
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。请将下列各题的正确答案填写在横线上。
11．（4分）如果单项式5ax2yn+1与﹣7axmy4的和仍是单项式，那么m﹣2n的值是 ．
12．（4分）关于x的方程的解是x＝4，则a＝ ．
13．（4分）若小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从B处沿东偏南20°方向行走至点C处，则∠ABC＝ ．
14．（4分）一个两位数，个位上的数与十位上的数之和是12，若交换个位与十位的位置则得到的两位数为原来数字的，则原来的两位数是 ．
15．（4分）如果x+y＝2，则（x+y）2+2x+2y+1＝ ．
16．（4分）已知∠AOB，过O点作OC，若∠AOC＝∠AOB，且∠AOC＝35°，则∠BOC＝ ．
17．（4分）已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是 ，最大值是 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
18．（6分）计算：．
19．（6分）先化简，再求值：（3a2﹣3ab+4b2）﹣2（b2+a2﹣2ab+1），其中a＝2，b＝﹣1．
20．（6分）解方程：．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。
21．（8分）为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，具体标准如下：若每月用水量不超过18吨，按2元/吨收费；若每月用水量超过18吨，但不超过40吨，超过部分按3元/吨收费；若每月用水量超过40吨，超过部分按6元/吨收费．
（1）若小红家某月用水30吨，则该月应交水费 元；
（2）若小红家某月交水费192元，求该月用水的吨数．
22．（8分）已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，
（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：
（2）如图2，若BD＝AB＝CD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．
23．（8分）某服装城共购入了两批A、B两款袜子．第一批购入A、B两款袜子共2500双，A款袜子售价为每双16元，B款袜子售价为每双24元，全部售出后的销售总额为52000元．服装城把2500双袜子全部售出后马上购入第二批袜子．已知第二批袜子中，A款袜子的进货量比第一批减少了2m双，售价不变；B款袜子的进货量比第一批减少了%，售价比原售价降低了，两批袜子全部售出后的销售总额为94040元．
（1）服装城第一批购入的A、B两款袜子各多少双？
（2）该服装城第二批购进A款袜子多少双？
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分。
24．（10分）如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，当射线OQ达到OA后，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒．
（1）分别求出当t＝5和t＝18时，∠POQ的度数；
（2）当OP与OQ重合时，求t的值；
（3）当∠POQ＝40°时，求t的值．
25．（10分）小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
x+＝0的解为x＝﹣，而﹣＝﹣1；
2x+＝0的解为x＝﹣，而﹣＝﹣2．
于是，小东将这种类型的方程作如下定义：
若一个关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究：
（1）若a＝﹣1，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由；
（2）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为奇异方程，解关于y的方程：a（a﹣b）y+2＝（b+）y．
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参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填在题目后面的括号内。
1．（3分）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．1 B．﹣3 C．π D．0
【分析】根据正数大于0，0大于负数，判断即可．
【解答】解：∵正数大于0，0大于负数，
∴在1，﹣3，π和0这四个数中，最小的数是：﹣3，
故选：B．
2．（3分）下列方程中，一元一次方程的是（ ）
A．2x﹣1＝3 B．x+y＝9 C． D．x+2＝x2
【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：A选项是一元一次方程，故该选项符合题意；
B选项中含有两个未知数，故该选项不符合题意；
C选项不是整式方程，故该选项不符合题意；
D选项中最高次数是2次，故该选项不符合题意；
故选：A．
3．（3分）下列合并同类项正确的是（ ）
A．3y﹣2y＝1 B．﹣2xy+4xy＝xy
C．6ab2﹣7ab2＝﹣ab2 D．6y2+2y2＝8y4
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此判断即可．
【解答】解：A．3y﹣2y＝y，故本选项不合题意；
B．﹣2xy+4xy＝2xy，故本选项不合题意；
C．6ab2﹣7ab2＝﹣ab2，故本选项符合题意；
D．6y2+2y2＝8y2，故本选项不合题意；
故选：C．
4．（3分）把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（ ）
A．70° B．90° C．105° D．120°
【分析】∠ABC等于30度角与直角的和，据此即可计算得到．
【解答】解：∠ABC＝30°+90°＝120°．
故选：D．
5．（3分）一个角的度数等于60°20′，那么它的余角等于（ ）
A．40°40′ B．39°80′ C．119°40′ D．29°40′
【分析】直接利用互余两角的关系，结合度分秒的换算得出答案．
【解答】解：∵一个角的度数等于60°20′，
∴它的余角＝90°﹣60°20′＝29°40′，
故选：D．
6．（3分）260000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.26×109 B．2.6×108 C．2.6×109 D．26×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：260000000用科学记数法表示为2.6×108．
故选：B．
7．（3分）某商店以每个120元的价格卖出两个智能手表，其中一个盈利20%，另一个亏损20%．在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不盈不亏 B．亏损10元 C．盈利9.6元 D．盈利10元
【分析】设盈利的进价是x元，亏损的是y元，根据某商店有两个进价不同的计算器都卖了120元，其中一个盈利20%，另一个亏损20%，可列方程求解．
【解答】解：设盈利的进价是x元．
120﹣x＝20%x，解得x＝100．
设亏本的进价是y元．
y﹣120＝20%y，解得y＝150．
120+120﹣100﹣150＝﹣10元．
故亏损了10元．
故选：B．
8．（3分）下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】正方体的展开图有“1+4+1”型，“2+3+1”型、“3+3”型三种类型，其中“1”可以左右移动．注意“一”、“7”、“田”、“凹”字型的都不是正方体的展开图．
【解答】解：A、属于“田”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
B、属于“7”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
C、属于“1+4+1”字型，是正方体的展开图，故选项正确；
D、属于“凹”字型，不是正方体的展开图，故选项错误．
故选：C．
9．（3分）如图，在线段AB上有C、D两点，CD长度为1cm，AB长为整数，则以A，B，C，D为端点的所有线段长度和不可能为（ ）
A．16cm B．21cm C．22cm D．31cm
【分析】根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是AC+CD+DB+AD+CB+AB，然后根据CD＝1，线段AB的长度是一个正整数，可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：AC+CD+DB+AD+CB+AB＝（AC+CD+DB）+（AD+CB）+AB＝AB+AB+CD+AB＝3AB+CD，
∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多1，
∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和不可能为21．
故选：B．
10．（3分）观察下面三行数：
第①行：2、4、6、8、10、12、…
第②行：3、5、7、9、11、13、…
第③行：1、4、9、16、25、36、…
设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+2z的值为（ ）
A．9999 B．10001 C．20199 D．20001
【分析】总结第①，第②，第③行的变化规律，分别求出x，y，z的值即可计算．
【解答】解：观察第①行：2、4、6、8、10、12、…
∴第100个数为100×2＝200，
即x＝200，
观察第②行：3、5、7、9、11、13、…
∴第100个数为100×2+1＝201，
观察第③行：1、4、9、16、25、36、…
∴第100个数是1002＝10000，
即x＝200、y＝201、z＝10000，
∴2x﹣y+2z＝20199，
故选：C．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。请将下列各题的正确答案填写在横线上。
11．（4分）如果单项式5ax2yn+1与﹣7axmy4的和仍是单项式，那么m﹣2n的值是 ﹣4 ．
【分析】根据合并同类项法则得5ax2yn+1与﹣7axmy4是同类项，再根据同类项的定义解决此题．
【解答】解：∵单项式5ax2yn+1与﹣7axmy4的和仍是单项式，
∴5ax2yn+1与﹣7axmy4是同类项．
∴m＝2，n+1＝4，
解得m＝2，n＝3，
∴m﹣2n＝2﹣6＝﹣4．
故答案为：﹣4．
12．（4分）关于x的方程的解是x＝4，则a＝ 3 ．
【分析】根据已知方程的解为x＝4，将x＝4代入方程求出a的值即可．
【解答】解：把x＝4代入方程，得3a﹣4＝2+3，
解得：a＝3．
故答案为：3．
13．（4分）若小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从B处沿东偏南20°方向行走至点C处，则∠ABC＝ 110° ．
【分析】先求出20°的余角是70°，然后再求出70°与40°的和即可解答．
【解答】解：由题意得：
90°﹣20°＝70°，
∴∠ABC＝40°+70°＝110°，
故答案为：110°．
14．（4分）一个两位数，个位上的数与十位上的数之和是12，若交换个位与十位的位置则得到的两位数为原来数字的，则原来的两位数是 84 ．
【分析】根据题意分别表示出交换前和交换后的两位数，再根据题意列方程进而得出答案．
【解答】解：设原两位数十位上的数字为x，那么个位数字为：12﹣x，
由题意得，[10x+（12﹣x）]＝10（12﹣x）+x，
解得x＝8，
12﹣x＝4，
所以原来的两位数是84，
故答案为：84．
15．（4分）如果x+y＝2，则（x+y）2+2x+2y+1＝ 9 ．
【分析】将x+y＝2代入（x+y）2+2x+2y+1＝（x+y）2+2（x+y）+1可得结果．
【解答】解：∵x+y＝2，
∴原式＝（x+y）2+2（x+y）+1＝22+2×2+1＝9，
故答案为：9．
16．（4分）已知∠AOB，过O点作OC，若∠AOC＝∠AOB，且∠AOC＝35°，则∠BOC＝ 35°或105° ．
【分析】分两种情况计算，①当OC在∠AOB的内部时；②当当OC在∠AOB的外部时，利用角的和差关系计算即可．
【解答】解：①当OC在∠AOB的外部时，
∵∠AOC＝∠AOB，∠AOC＝35°，
∴∠BOC＝3∠AOC＝3×35°＝105°；
②当当OC在∠AOB的内部时，
∵∠AOC＝∠AOB，∠AOC＝35°，
∴∠BOC＝∠AOC＝35°．
故∠BOC的度数为35°或105°．
故答案为：35°或105°．
17．（4分）已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是 10 ，最大值是 53 ．
【分析】由已知abc＝ab+50可化为ab（c﹣1）＝50，因为a、b、c都是正整数，a只能取5的倍数且最大值只能取50，即可得出b、c的值，计算即可得出答案．
【解答】解：因为abc＝ab+50，
所以abc﹣ab＝50，
即ab（c﹣1）＝50，
因为a、b、c都是正整数，
所以当a＝50时，b＝1，c＝2，a+b+c＝53，
当a＝25时，b＝1，c＝3，a+b+c＝28，
当a＝10时，b＝1，c＝6，a+b+c＝17，
当a＝5时，b＝2，c＝3，a+b+c＝10，
当a＝5时，b＝1，c＝11，a+b+c＝17，
所以则a+b+c的最小值是 10，最大值是53．
故答案为：10，53．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
18．（6分）计算：．
【分析】原式先算括号中的乘方及加法，再计算括号外的乘方，乘法，以及减法即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣1﹣×（2+9）
＝﹣1﹣×11
＝﹣1﹣
＝﹣．
19．（6分）先化简，再求值：（3a2﹣3ab+4b2）﹣2（b2+a2﹣2ab+1），其中a＝2，b＝﹣1．
【分析】原式去括号合并同类项得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（3a2﹣3ab+4b2）﹣（2b2+2a2﹣4ab+2）
＝3a2﹣3ab+4b2﹣2b2﹣2a2+4ab﹣2
＝a2+ab+2b2﹣2，
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝22+2×（﹣1）+2×（﹣1）2﹣2
＝4﹣2+2﹣2
＝2．
20．（6分）解方程：．
【分析】通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题．
【解答】解：，
去分母，得7（4x﹣6）+5（6x﹣4）＝﹣70．
去括号，得28x﹣42+30x﹣20＝﹣70．
移项，得28x+30x＝﹣70+20+42．
合并同类项，得58x＝﹣8．
x的系数化为1，得x＝﹣．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。
21．（8分）为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，具体标准如下：若每月用水量不超过18吨，按2元/吨收费；若每月用水量超过18吨，但不超过40吨，超过部分按3元/吨收费；若每月用水量超过40吨，超过部分按6元/吨收费．
（1）若小红家某月用水30吨，则该月应交水费 72 元；
（2）若小红家某月交水费192元，求该月用水的吨数．
【分析】（1）分两档求出费用即可．
（2）首先判断所以小红家某月交水费用水量超过40吨，设用水量为x吨，根据题意列出方程即可解决问题；
【解答】解：（1）18×2+（30﹣18）×3＝72（元）．
所以若小红家某月用水30吨，则该月应交水费72元，
故答案为72
（2）当用水量为40吨时，水费18×2+22×3＝102（元），
192＞102，
所以小红家某月交水费用水量超过40吨，设用水量为x吨，
由题意：102+6（x﹣40）＝192，
解得x＝55，
答：该月用水55吨．
22．（8分）已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，
（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：
（2）如图2，若BD＝AB＝CD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．
【分析】（1）由线段的中点，线段的和差求出线段DB的长度为1cm；
（2）由线段的中点，线段的和差倍分求出AC的长度为18cm．
【解答】解：（1）如图1所示：
∵AC＝AB+BC，AB＝6cm，BC＝4cm
∴AC＝6+4＝10cm
又∵D为线段AC的中点
∴DC＝AC＝×10＝5cm
∴DB＝DC﹣BC＝6﹣5＝1cm
（2）如图2所示：
设BD＝xcm
∵BD＝AB＝CD
∴AB＝4BD＝4xcm，CD＝3BD＝3xcm，
又∵DC＝DB+BC，
∴BC＝3x﹣x＝2x，
又∵AC＝AB+BC，
∴AC＝4x+2x＝6xcm，
∵E为线段AB的中点
∴BE＝AB＝×4x＝2xcm
又∵EC＝BE+BC，
∴EC＝2x+2x＝4xcm
又∵EC＝12cm
∴4x＝12，
解得：x＝3，
∴AC＝6x＝6×3＝18cm．
23．（8分）某服装城共购入了两批A、B两款袜子．第一批购入A、B两款袜子共2500双，A款袜子售价为每双16元，B款袜子售价为每双24元，全部售出后的销售总额为52000元．服装城把2500双袜子全部售出后马上购入第二批袜子．已知第二批袜子中，A款袜子的进货量比第一批减少了2m双，售价不变；B款袜子的进货量比第一批减少了%，售价比原售价降低了，两批袜子全部售出后的销售总额为94040元．
（1）服装城第一批购入的A、B两款袜子各多少双？
（2）该服装城第二批购进A款袜子多少双？
【分析】（1）设服装城第一批购入的A款袜子x双，则购入的B款袜子（2500﹣x）双，根据销售总额为52000元列出方程即可；
（2）第二批袜子中A款袜子为（1000﹣2m）双，B款袜子为1500×（1﹣%）双，根据销售总额为94040元列出方程即可．
【解答】解：（1）设服装城第一批购入的A款袜子x双，则购入的B款袜子（2500﹣x）双，
由题意，得16x+24（2500﹣x）＝52000，
解得x＝1000，
所以2500﹣1000＝1500（双），
答：服装城第一批购入的A款袜子1000双、B款袜子1500双；
（2）由题意得，，
解得m＝30，
所以1000﹣2m＝1000﹣2×30＝940（双），
答：该服装城第二批购进A款袜子940双．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分。
24．（10分）如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，当射线OQ达到OA后，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒．
（1）分别求出当t＝5和t＝18时，∠POQ的度数；
（2）当OP与OQ重合时，求t的值；
（3）当∠POQ＝40°时，求t的值．
【分析】（1）代入计算即可求解；
（2）根据角度的相遇问题列出方程计算即可求解；
（3）分两种情况：当0＜t≤15时；当15＜t≤20时；列出方程计算即可求解．
【解答】解：（1）当t＝5时，∠AOP＝2t＝10°，∠BOQ＝6t＝30°，
∴∠POQ＝∠AOB﹣∠AOP﹣∠BOQ＝120°﹣10°﹣30°＝80°；
当t＝18时，∠AOP＝2t＝36°，∠BOQ＝6t＝108°，
∴∠AOQ＝120°﹣108°＝12°，
∴∠POQ＝∠AOP﹣∠AOQ＝36°﹣12°＝24°；
（2）当OP与OQ重合时，
依题意得：2t+6t＝120，
解得：t＝15；
（3）当0＜t≤15时，
依题意得：2t+6t+40＝120，
解得：t＝10，
当15＜t≤20时，
依题意得：2t+6t﹣40＝120，
解得：t＝20，
∴当∠POQ＝40°时，t的值为10或20．
25．（10分）小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
x+＝0的解为x＝﹣，而﹣＝﹣1；
2x+＝0的解为x＝﹣，而﹣＝﹣2．
于是，小东将这种类型的方程作如下定义：
若一个关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究：
（1）若a＝﹣1，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由；
（2）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为奇异方程，解关于y的方程：a（a﹣b）y+2＝（b+）y．
【分析】（1）把a＝﹣1代入原方程解得：x＝b，若为“奇异方程”，则x＝b+1，由于b≠b+1，根据“奇异方程”定义即可求解；
（2）根据“奇异方程”定义得到a（a﹣b）＝b，方程a（a﹣b）y+2＝（b+）y可化为by+2＝（b+）y，解方程即可求解．
【解答】解：（1）没有符合要求的“奇异方程”，理由如下：
把a＝﹣1代入原方程解得：x＝b，
若为“奇异方程”，则x＝b+1，
∵b≠b+1，
∴不符合“奇异方程”定义，故不存在；
（2）∵ax+b＝0（a≠0）为奇异方程，
∴x＝b﹣a，
∴a（b﹣a）+b＝0，
a（b﹣a）＝﹣b，
a（a﹣b）＝b，
∴方程a（a﹣b）y+2＝（b+）y可化为by+2＝（b+）y，
∴by+2＝by+y，
2＝y，
解得y＝4．
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