2022-2023学年广东省潮州市潮安区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省潮州市潮安区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下面图标中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    在中，，若，则为(    )

A.  B.  C. 或 D.

3.    一个三角形的两边长为和，第三边长为奇数，则第三边长为(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

4.    点关于轴对称的点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    内角和为的多边形是(    )

A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形

6.    如图，，，，垂足分别为，，，下列结论错误的是(    )
    

A.  B.  C.  D.

7.    将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.    如图，四边形是平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.    如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作交、于点、，若的周长为，，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，与的平分线交于点，得，与的平分线相交于点，得，，与的平分线相交于点，得，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 自行车的三角形车架可以固定，利用的原理是______．
12. 已知一个等腰三角形的两边分别为和，则它的周长为______．
13. 若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是          ．
14. 如图，已知，添加一个条件______，使≌．

15. 已知和关于轴对称，则的值为______．
16. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则：______．
17. 如图，的面积为，，，的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    已知：如图，，求证：．

19. 本小题分
    如图，在中，，点在的延长线上．
    尺规作图：作的角平分线不写作法，保留作图痕迹；
    若，则的度数为______．

20. 本小题分
    如图，，，的垂直平分线交于点，求的度数．
     
21. 本小题分
    如图，在和中，，是的中点，连接，交于点，且于点，．
    求证：≌．
    若，求的长．

22. 本小题分
    如图，在等腰直角三角形中，，，为边上的中线，点、分别为、上的点，且．
    求证：；
    若，求四边形的面积．

23. 本小题分
    如图，中，，，于，平分，交于，交于．
    求证：是等边三角形；
    求证：．

24. 本小题分

如图，，，，，垂足为．

求证：≌；

求的度数；

求证：．

25. 本小题分
    如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为当点第一次到达点时，、同时停止运动．
    点、运动几秒后，、两点重合？
    点、运动几秒后，可得到等边三角形？
    当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B、、能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
．
故选：．
根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据三角形的三边关系，得
第三边长大于，而小于两边之和．
又第三边长是奇数，则第三边长等于或．
故选：．
首先根据三角形的三边关系求得第三边长的取值范围，再根据第三边长是奇数得到答案．
此题主要考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
 

4.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为：．
故选：．
关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得到答案．
此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 

5.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数是，
则，
解得，
故选：．
边形的内角和公式为，由此列方程求．
本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，故A，，D正确，
，
，故C错误，
故选：．
根据证明≌，利用全等三角形的性质即可一一判断．
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，，
所以，．
故选：．
根据直角三角形的两锐角互余求出的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由作图得平分，
，所以选项不符合题意，
四边形为平行四边形，
，，
，
，所以选项不符合题意，
，
，
，所以选项不符合题意，
与不能确定相等，所以选项符合题意．
故选：．
利用基本作图可对选项直接进行判断；再根据平行四边形的性质得到，，所以，则可对选项进行判断；同时得到，所以，则可对、选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作已知角的角平分线也考查了平行四边形的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
，
，
同理可得，，
的周长，
，
的周长．
故选D．
根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，同理得到，从而求出的周长，再根据三角形的周长的定义解答即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记性质并准确识图求出的周长是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：与的平分线交于点，
，，
由三角形的外角性质，，
，
，
整理得，，
同理，．
故选：．
根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后整理得到，由此推理可求解．
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质与定义并求出后一个角是前一个角的是解题的关键．
 

11.【答案】三角形的稳定性 

【解析】解：自行车的三角形车架可以固定，利用的原理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
利用三角形的稳定性进行解答．
此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
 

12.【答案】 

【解析】解：若是底边长，是腰长，
则，，能组成三角形，
则它的周长是：；
若是底边长，是腰长，
，
，，不能组成三角形，舍去；
它的周长是．
故答案为：．
分别从若是底边长，是腰长与若是底边长，是腰长去分析，即可求得答案，注意检验是否能组成三角形．
此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意分类讨论思想的应用．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的外角和根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
根据任何多边形的外角和都是度，利用除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】
解：，即这个多边形的边数是．  

14.【答案】 

【解析】解：，，
当添加时，根据“”可判断≌．
故答案为：．
由于，加上为公共边，所以要根据“”判断≌，则需添加．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

15.【答案】 

【解析】解：和关于轴对称，
，，
解得，，
则．
故答案为：．
直接利用关于轴对称点的性质横坐标不变，纵坐标互为相反数得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的坐标，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
 

16.【答案】： 

【解析】解：由作法可知：平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
：：，
故答案为：：．
利用基本作图得平分，利用角平分线的定义计算出，由得到，利用含度的直角三角形三边的关系得到，则，所以，然后根据三角形面积公式可得结论．
本题考查了作图基本作图，角平分线的性质，含度角的直角三角形，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为，
的长为的最小值，
的周长最短，
故答案为：．
连接，由的面积为，，，可得，再根据是线段的垂直平分线，可推出的长为的最小值，从而得出周长的最小值为．
本题考查了轴对称最短路径，三角形的面积计算公式，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确判断出的长为的最小值是解题的关键．
 

18.【答案】证明：在与中，
，
≌，
，
． 

【解析】根据全等三角形对应角相等得出，进一步得出．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质；根据全等三角形对应角相等得出是解决问题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解；如图，为所作；

，
，
，
平分，
．
故答案为．
利用基本作图，作的平分线即可；
利用得到，再根据三角形外角性质得到，然后根据角平分线的定义求解．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作已知角的角平分线也考查了等腰三角形的性质．
 

20.【答案】解：，
，
的垂直平分，
，
，
． 

【解析】点拨
先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出及的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出的度数即可进行解答．
本题考查的是等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
 

21.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，；

解：≌，
，，
是的中点，
，
，，
，
． 

【解析】易证，即可证明≌，即可解题；
根据中结论可得，，根据长度即可求得长度，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证≌是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，为中点，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
；
解：≌，
，


，
为中点，
，
． 

【解析】根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
根据三角形的面积公式解答．
此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
 

23.【答案】证明：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；

，，
，
，
由知是等边三角形，
，
． 

【解析】由，可得，根据平分得，根据，，得，即可得是等边三角形；
可得，则，由知是等边三角形，得，即可证明．
本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，掌握数形结合思想是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
，，
，
在和中，
，
≌，
即≌；
，，
，
由知≌，
，
，
，
，
；
延长到，使得，

，
，
在和中，
，
≌，
，，
≌，
，，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据题意和题目中的条件可以找出≌的条件；
根据中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到的度数；
根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
 

25.【答案】解：设点、运动秒后，、两点重合，
，
解得：；

设点、运动秒后，可得到等边三角形，如图，
，，
三角形是等边三角形，
，
解得，
点、运动秒后，可得到等边三角形．

当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
由知秒时、两点重合，恰好在处，
如图，假设是等腰三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
≌，
，
设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形，
，，，
，
解得：故假设成立．
当点、在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时、运动的时间为秒． 

【解析】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
首先设点、运动秒后，、两点重合，表示出，的运动路程，的运动路程比的运动路程多，列出方程求解即可；
根据题意设点、运动秒后，可得到等边三角形，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，三角形就是等边三角形；
首先假设是等腰三角形，可证出≌，可得，设出运动时间，表示出，，的长，列出方程，可解出未知数的值．