2022届新教材北师大版概率与统计单元测试含答案15

2022届新教材北师大版  概率与统计     单元 测试

一、选择题

1、“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．

根据折线图和条形图，下列结论错误的是（　　）

A．2012﹣2013 年研发投入占营收比增量相比 2017﹣2018 年增量大

B．该企业连续 12 年研发投入逐年增加

C．2015﹣2016 年研发投入增值最大

D．该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加

2、根据食物中维C的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C含量在50~100毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C含量在30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C的量（单位：mg）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（    ）

A．猕猴桃的极差为32 B．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数

C．猕猴桃的方差小于柚子的方差 D．柚子的中位数为121

3、

一个单位有职工200人，其中有业务员120人，管理人员50人，后勤服务人员30人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在20人的样本中应抽取管理人员人数为（  ）

A． 3    B． 4    C． 5    D． 6

4、已知变量，之间的一组数据如下表：

由散点图可知变量，具有线性相关，则与的回归直线必经过点（    ）

A. B. C. D.

5、某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学业负担情况，该抽样方法记为②.那么　(　　)

A． ①是系统抽样，②是简单随机抽样

B． ①是简单随机抽样，②是简单随机抽样

C． ①是简单随机抽样，②是系统抽样

D． ①是系统抽样，②是系统抽样

6、如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量与中位数分别为（　　）

A. 13，12    B. 12，12    C. 11，11    D. 12，11

7、关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验.受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：①先请高二年级 500名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对；②若卡片上的能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为；④根据统计数估计的值.假如本次试验的统计结果是，那么可以估计的值约为（    ）

A.     B.     C.     D.

8、三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角满足，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（   ）

A．     B．     C．     D．

9、某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是　　

A． B．

C． D．

10、古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四.”如图，已知直线交抛物线于A，B两点，点A，B在y轴上的射影分别为D，C.从长方形ABCD中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为（    ）

A． B． C． D．

11、某小区从热爱跳广场舞的3对夫妻中随机抽取2人去参加社区组织的广场舞比赛，则抽取的2人恰好为1对夫妻的概率为（    ）

A． B． C． D．

12、从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是(　　)．

A．① B．②④ C．③ D．①③

二、填空题

13、

为了解网课学习效果，组织了一次网上测试．并利用分层抽样的方法从高中3个年级的学生中随机抽取了150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生_________人．

14、

某工厂生产、两种型号的不同产品，产品数量之比为.用分层抽样的方法抽出一个样本容量为的样本，则其中种型号的产品有件.现从样本中抽出两件产品，此时含有型号产品的概率为__________.

15、盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）

16、从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率___.

三、解答题

17、（本小题满分10分）从一批产品中取出三件产品,设“三件产品全不是次品”,“三件产品全是次品”,“三件产品不全是次品”,则下列结论不正确的是__________.①与互斥;②与互斥;③任何两个均互斥;④任何两个均不互斥.

18、（本小题满分12分）在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有5个小球，小球上分别写有0，1,2,3，4的数字，小球除数字外其它完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回.抽奖活动的奖励规则是：①若取出的两个小球上数字之积大于8，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于2，则奖励饮料一瓶.

（1）求每对亲子获得飞机玩具的概率；

（2）试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由.

19、（本小题满分12分）某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.

（1）求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；

（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在的学生至少有1人被抽到的概率.

参考答案

1、答案D

解析根据图形给出的信息，分析判断即可．

详解

从研发投入占营收比（图中的红色折线）07～09年有所下降并非连续12年研发投入占营收比逐年增加，故D错．

故选：D．

点睛

本题考查命题真假的判断，考查识图能力，考查分析问题解决问题的能力，属基础题．

2、答案C

解析根据所给数据求出极差即可判断，分别求出猕猴桃和柚子的平均数，比较即可判断，分别求出其方差判断，结合数据求出柚子的中位数判断即可．

详解：解：对于，猕猴桃的极差为：，故正确；

对于，猕猴桃的平均数是，

柚子的平均数是，故正确；

对于，猕猴桃的方差是：，

柚子的方差是：，

故猕猴桃的方差大于柚子的方差，故错误；

对于，柚子的中位数是121，故正确；

故选：C．

点睛

本题考查了极差，方差，中位数，平均数问题，属于基础题．

3、答案C

解析在20人的样本中应抽取管理人员人数为 ，选C.

4、答案C

解析由表中数据求出平均数和即可得到结果.

详解

由表中数据知，，，

则与的回归直线必经过点.

故选：C．

点睛

本题主要考查回归分析的基本思想及应用，理解并掌握回归直线方程必经过样本中心点，属基础题.

5、答案A

解析某牛奶生产线上每隔分钟抽取一袋进行检验,是等距抽样，所以是系统抽样，从某中学的名数学爱好者中抽取人了解学业负担情况，是简单随机抽样，故选A．

考点：系统抽样、简单随机抽样．

6、答案B

解析平均重量为

中位数为，选B.

点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.平均数等于组中值与对应概率乘积的和

7、答案A

详解：由题意，500对都小于l的正实数对（x，y）满足，面积为1，

两个数能与1构成锐角三角形三边的数对（x，y），满足且，

即x2+y2＞1，且，

面积为1﹣，

因为统计两数能与l 构成锐角三角形三边的数对（x，y） 的个数m=113，

所以=1﹣，所以π=．

故答案为：A

点睛：（1）本题考查随机模拟法求圆周率的问题，考查几何概率的应用等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是转化“卡片上的能与1构成锐角三角形”，这里涉及到余弦定理，由于1的对角最大，所以其是锐角，所以，化简得x2+y2＞1.

8、答案D

详解：由题意，且，解得，

不妨设三角形内的斜边的边长为5，则较小边直角边的边长为，

较长直角边的边长为，所以小正方形的边长为1，

所以打正方形的面积为，小正方形的面积为，

所以满足条件的概率为，故选D.

点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的求解问题，其中解答中利用三角函数的基本关系式，求得大、小正方形的边长，得到大、小正方形的面积是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

9、答案A

解析X服从超几何分布，根据古典概型的概率公式计算即可．

详解

X服从超几何分布，

因为有6个小镇不太方便，

所以从6个不方便小镇中取4个，

，

故选A．

点睛

此题考查古典概型的概率公式和超几何分布，属于基础题.

10、答案C

解析求出两点坐标，由阿基米德理论计算抛物线中弓形，从而得阴影部分面积，然后由几何概型概率公式计算概率．

详解

把代入抛物线方程得，即，，

，，

∴，

∴所求概率为．

故选：C.

点睛

本题考查几何概型，解题关键是求出阴影部分面积，读懂并能应用阿基米德理论是基础．

11、答案A

解析设第1，2，3对夫妻分别为，，，从中随机抽取2人，

所有等可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，，共有15种，

其中抽取的2人恰好为1对夫妻的情况有，，，共3种，

所以抽取的2人恰好为1对夫妻的概率为．

故选：A.

12、答案C

解析详解

根据题意，从1，2，3，…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”，“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”三种情况；依次分析所给的4个事件可得，

①、恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件；

②、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是奇数不是对立事件；

③、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件；

④、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件.

故选C.

13、答案3000

解析

由已知高三年级抽取的学生人数为：人.

设该校高中的学生总数为，则，解得

所以该高中共有学生3000

故答案为：3000

14、答案

解析

设种型号抽取件，所以，解得：，，

从样本中抽取2件，含有型号产品的概率.

故答案为：

15、答案

解析9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为．故答案为．

16、答案

解析解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，

基本事件总数，

学生甲被抽到包含的基本事件个数，

∴学生甲被抽到的概率．

故答案为：．

17、答案①③④

解析利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．

详解

解：从一批产品中取出三件产品，

设 “三件产品全不是次品”， “三件产品全是次品”， “三件产品不全是次品”，

在①中，与能同时发生，与不是互斥事件，故①错误；

在②中，与不能同时发生，与互斥，故②正确；

在③中，与不是互斥事件，故③错误；

在④中，与互斥，故④错误．

故答案为：①③④．

点睛

本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

18、答案（1）;（2）获得汽车玩具的概率大于获得饮料的概率.

（2）先记“获得汽车玩具”为事件，“获得饮料”为事件，列举法分别求出事件与事件所包含的基本事件数，分别求出其对应的概率，进而可判断出结果.

详解

解：（1）总的基本事件有

，

共25个.

记“获得飞机玩具”为事件，

则包含的基本事件有共4个.

故每对亲子获得飞机玩具的概率为.

（2）记“获得汽车玩具”为事件，记“获得饮料”为事件.

事件包含的基本事件有

共11个.

每对亲子获得汽车玩具的概率为.

每对亲子获得饮料的概率为.

,

即每对亲子获得汽车玩具的概率大于获得饮料的概率.

点睛

本题主要考查列举法求古典概型的概率，只需由列举法列举出总的基本事件数，以及满足条件的基本事件数，由概率的计算公式即可求出结果.

解析

19、答案（1），74，；（2）1200；（3）.

（2）计算得到名学生中成绩不低于分的频率，根据样本估计总体的方法，利用总数频率可得所求人数；

（3）根据分层抽样原则确定、和种分别抽取的人数，采用列举法列出所有结果，从而可知成绩在的学生没人被抽到的概率；根据对立事件概率公式可求得结果.

详解：（1）由频率分布直方图可得第组的频率为：

估计所抽取的名学生成绩的平均数为：

由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为

中位数在第组中

设中位数为，则有：，解得：

即所求的中位数为

（2）由（1）知：名学生中成绩不低于分的频率为：

用样本估计总体，可以估计高三年级名学生中成绩不低于分的人数为：

（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为，，

这三组中所抽取的人数分别为，，

记成绩在的名学生分别为，成绩在的名学生分别为，成绩在的名学生为，则从中随机抽取人的所有可能结果为：

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种

其中成绩在的学生没人被抽到的可能结果为，只有种，

故成绩在的学生至少有人被抽到的概率：

点睛

本题考查利用频率分布直方图计算频率、频数、估计平均数、中位数的问题，分层抽样、古典概型概率问题的求解；考查学生对于统计和概率部分知识的综合掌握情况，属于常考题型.

解析