2022届新教材北师大版函数的概念、性质与基本初等函数单元测试含答案19
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2022届新教材北师大版 函数的概念、性质与基本初等函数 单元测试
一、选择题
1、函数f(x)＝|x|＋1是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
2、若，且，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
3、已知，且，则（ ）
A．18 B．26 C．36 D．42
4、若函数是奇函数，则使成立的的取值范围是( )
A． B． C． D．
5、化简的值得( )
A． B． C． D．
6、已知函数 和在(0，＋∞)上都是减函数，则函数在上是
A. 减函数且 B. 增函数且
C. 减函数且 D. 增函数且
7、已知全集为，集合，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8、设，则（ ）
A. B. C. D.
9、设，b=，c=ln，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． a＞b＞c B． b＞a＞c C． b＞c＞a D． a＞c＞b
10、设，则（ ）
A. B. C. D.
11、若函数在区间和区间上均存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12、已知函数f(x)= ，若f(f(m))≥0，则m的取值范围是（ ）
A. [-2，2] B. [-2，2] [4，+∞)
C. [-2，2+] D. [-2，2+] [4，+∞)
二、填空题
13、已知是定义在上周期为的奇函数，当时， ，则___________.
14、函数的单调递增区间为________.
15、函数 f (x)＝ 值域为R，则实数a的取值范围是____________．
16、设函数f（x）=﹣x2+2x+3，x∈[0，3]的最大值和最小值分别是M，m，则M+m= ．
三、解答题
17、（本小题满分10分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1. 5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
18、（本小题满分12分）对于在区间上有意义的函数，满足对任意的，，有恒成立，厄称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的，现有函数.
（1）若函数在区间（）上是“友好”的，求实数的取值范围；
（2）若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围.
19、（本小题满分12分）函数f（x）=x+．
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论．
（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在[，+∞）内是增函数．
参考答案
1、答案B
解析函数定义域为R，
f(－x)＝|－x|＋1＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，故选B.
2、答案D
解析∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
3、答案C
解析先根据指数对数互化关系，利用表示出，将两边同除以，根据换底公式变形,将对数的底数都变为即可求解.
详解
由题意得，.又由，得，所以，即，解得.
点睛
指数式与对数式互化：.
4、答案D
解析由f（x）为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式．
详解
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
即，
整理可得，，
∴1﹣a？2x＝a﹣2x，
∴a＝1，
∴f（x），
∵f（x））3，
∴30，
整理可得，，
∴1＜2x＜2
解可得，0＜x＜1
故选：D．
点睛
本题主要考查了奇函数的定义的应用及分式不等式的求解，属于基础题．
5、答案D
解析直接利用指数与对数的运算法则求解即可.
详解：由
，故选D.
点睛
本题考查了对数的运算法则、指数的运算法则，考查了推理能力与计算能力以及应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.
6、答案A
解析∵和在(0，＋∞)都是减函数，∴，∴为减函数且，故选A
7、答案C
解析因为，所以，则选C.
8、答案C
解析 因为，所以，故选C.
9、答案B
解析利用指数函数、对数函数的单调性求解
详解
,a= ,b>a>0,
c=<ln1=0，∴b>a>c
故选：B.
点睛
与指数函数与对数函数有关的比较大小问题，可利用指数函数和对数函数的单调性，比较大小.
10、答案D
解析,故，故选D.
11、答案B
解析就、、分三类讨论对应函数的图象和性质后可得实数满足的不等式组，从而可求其取值范围.
详解：当时，，不满足题设；
当时，函数的图象与轴正半轴只存在一个交点，不满足题设；
当时，因为在区间和区间上均存在零点（如图所示），
则，，，即，
解得.
故选：B.
点睛
本题考查二次函数的零点分布，此类问题一般遵循“由图列式，动态检验，多退少补”的基本原则，具体如下：
（1）由图列式指根据一元二次函数零点的状况画出对应的二次函数图象的草图，从二次函数的开口方向、判别式的正负、对称轴的位置和区间端点函数的正负四个角度分析，列出相应的不等式组；
（2）动态检验指让图象上下平移，看判别式的条件是否多余或者缺失，左右移动看对称轴的位置是否有限制；
（3）结合（2）把多余的条件去掉或补上缺失的条件.
12、答案D
解析设不等式的解集为M，利用排除法：
当m=3时， ，
即，选项A,B错误；
当m=4时， ，
即，选项C错误；
本题选择D选项.
点睛：当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
13、答案-2
解析的周期为，又是定义在上的奇函数， ，故答案为.
14、答案
解析求解出函数定义域，求出在定义域中的增区间即为原函数的增区间.
详解
由题意可知函数定义域为：
将拆分为：和
可知时，单调递增；又单调递增
可得的单调递增区间为：
本题正确结果：
点睛
本题考查利用“同增异减”求解复合函数的单调区间，易错点是忽略函数的定义域.
15、答案a≥2
解析由题意讨论x≤1时，函数y是单调减函数，且y≤2；x＞1时，函数y应为单调增函数，且需保证整体上的单调性；由此求得a的取值范围．
详解
由题意知，当x≤1时，函数y＝﹣x2+2x+1是单调减函数，且y≤2；
当x＞1时，函数y＝loga（x+3）应为单调增函数，且需保持一致的单调性；
∴，
解得a≥2；
∴实数a的取值范围是a≥2.
故答案为：a≥2.
点睛
本题考查了分段函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
16、答案4
解析函数图象如下
结合图象可知：M=4，m=0，所以M+m=4.
考点：函数图象。
17、答案（1）；
（2）2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.
（2）由（1），利用基本不等式即可求解.
详解：（1）由题意知，当时，（万件），
则，解得，.
所以每件产品的销售价格为（元），
2018年的利润.
（2）当时，，
，当且仅当时等号成立.
，
当且仅当，即万元时，（万元）.
故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.
点睛
本题考查了常见函数的模型（分式型）、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
解析
18、答案（1）（2）
试题解析：（1）由题意可得在上单调递减，
故，
∴
即，∴
令（），则，则
当或时，，∴.
又对于任意的，，故
综上，的取值范围是
（2），即，且①
∴，即②
当时，方程②的解为，代入①，成立
当时，方程②的解为，代入①，不成立.
当且时，方程②的解为或
将代入①，则且，
∴且，
将代入①，则，且
所以且
则要使方程有且仅有一个解，则，
综上，若方程的解集中有且仅有一个元素，则的取值范围为.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
解析
（2）直接用定义证明函数的单调性．
试题解析：解：（1）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∵f（﹣x）=﹣x+=﹣（x+）=﹣f（x），
∴f（x）是奇函数；
（2）任取x1，x2∈[，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣（x2+）
=（x1﹣x2）+（﹣）
=（x1﹣x2）（），
因为≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0且x1x2＞2，
因此，f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在[，+∞）内是增函数．
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
解析
