沪科版八年级下册18.2 勾股定理的逆定理课文课件ppt

这是一份沪科版八年级下册18.2 勾股定理的逆定理课文课件ppt，共30页。PPT课件主要包含了学习目标及重难点，课程导入，想一想，∠C是90°，课程讲授，证明文字命题的步骤，∵a2+b2c2，∵边长取正值，∴ABc，∴∠C90°等内容，欢迎下载使用。

1.掌握勾股定理逆定理的相关概念能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.(重点）2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.（重点、难点）
据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子, 再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图. 这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角.
用圆规、直尺作△ABC，使AB＝5，AC＝4，BC＝3，如图所示，量一量∠C，它是90°吗？
为什么用上面三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？你能说明理由吗？
它是真命题吗？你能证明吗？
勾股定理（毕达哥拉斯定理）：
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
探索1：勾股定理的逆定理
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且 a2+b2=c2，
求证：△ABC是直角三角形
第一步：根据题意画出图形，并在图形上标出有关字母与符号;
第三步：分析因果关系，找出证明途径；最后有条理地写出证明过程.
第二步：再结合题意和所画图形，写出已知和求证；
证明：作△A'B'C'，使 ∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b
则有A'B'2 =a2+b2
∴ A'B'2 =c2
在△ABC和△A'B'C'中，
BC=B'C'=aCA=C'A'=bAB=A'B'=c
∴ △ABC ≌ △A'B'C'
∴ ∠ C= ∠ C’
(全等三角形对应角相等）
∴ △ABC是直角三角形
即如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
∴ △ABC是直角三角形，且∠C=90°
∵ 在△ABC中， a2+b2=c2
根据下列三角形的三边a，b，c的值，判断△ABC是不是直角三角形. 如果是，指出哪条边所对的角是直角.
(1) a＝7，b＝24，c＝25
∴ △ABC是直角三角形，最大边c所对角是直角.
(1)∵a2+b2＝72+242＝625，c2＝625
∴ △ABC不是直角三角形
(2)∵a2+b2＝72+82＝113，c2＝121
(2) a＝7，b＝8，c＝11
像上面的 7、24、25 这三个数，我们称之为勾股数.
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.
勾股数必能成为直角三角形的三条边长，但直角三角形的三边长不一定是勾股数.
(1) 勾股数必须同时满足两个条件：
① 三个数都是正整数.
② 两个较小数的平方和等于最大数的平方.
(2) 如果 a，b，c是一组勾股数，那么 na，nb，nc
(n是正整数)也是一组勾股数.
(1) a=25 b=20 c=15
(2) a=13 b=14 c=15
(4) a:b: c=3:4:5
下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方.
已知：在△ABC中，三条边长分别为 a=n2-1，b＝2n，c＝n2+1 (n＞1) . 求证：△ABC为直角三角形.
∴ △ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)
(n2-1)2+(2n)2
＝n4-2n2+1+4n2
探索2：勾股定理的逆定理的应用
1、在△ABC中，a =15， b=17， c=8，求此三角形的面积.
2、已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积?
又∵ CD＝12，AD＝13
AC2+CD2＝AD2
∴ △ACD是直角三角形，
∴ 四边形ABCD的面积是36.
△ABC是直角三角形.理由如下：
∵ a:b:c=9:15:12.
(9x)2+(12x)2=
∴ △ABC是直角三角形.
已知：在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC 边上的中线 AD=12cm，求证：AB=AC.
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状.
∵ a2+b2+c2+338=10a+24b+26c
∴ （a2-10a+25)+(b2-24b+144)+(c2-26c+169）=0
∴ （a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0
∵ （a-5)2≥0，
∴ a2+b2＝c2
∴ △ABC是直角三角形
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足 a2c2 – b2c2=a4 – b4，试判断△ABC的形状.
∵ a2c2 – b2c2=a4 – b4
∴ c2(a2 – b2)=(a2+b2)(a2-b2)
(a2 – b2)(a2+b2-c2)=0
∴ a2 – b2=0
或 a2+b2-c2=0
∴ △ABC是等腰三角形或直角三角形
或 a2+b2=c2
如图，△ABC中，CD是AB边上的高，且 CD2=AD·BD，求证：△ABC是直角三角形.
∵ CD是AB边上的高
∴ ∠ADC=∠BDC=90°
=2CD2+AD2+BD2
∵ CD2=AD·BD
=2AD·BD+AD2+BD2=(AD+BD)2
即 AC2+BC2=AB2
如图，AD为△ABC的高 . 求证：AB2-AC2=BD2-CD2
∵ AD为△ABC的高
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
∴ AD2= AB2-BD2
AD2= AC2-DC2
AB2-BD2= AC2-DC2
即 AB2-AC2=BD2-CD2
某港口位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
解：根据题意画图 , 如图所示.
∵ 242+182=302 即 PQ2+PR2=QR2
由“远航”号沿东北方向航行可知
即“海天”号沿西北方向航行.
PQ=16×1.5=24PR=12×1.5=18QR=30
∴ ∠RPS=45°.
2、如图所示的一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m. 求这块地的面积.