初中数学第29章 直线与圆的位置关系综合与测试精品精练

九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系综合练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、平面内，⊙O的半径为3，若点P在⊙O外，则OP的长可能为（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

2、以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（       ）

A．不能构成三角形 B．这个三角形是等边三角形

C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是等腰三角形

3、如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的⊙O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列判断：（1）AC与BD的交点是⊙O的圆心；（2）AF与DE的交点是⊙O的圆心；（3）AE=DF；（4）BC与⊙O相切，其中正确判断的个数是（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

4、在中，，cm，cm．以C为圆心，r为半径的与直线AB相切．则r的取值正确的是（       ）

A．2cm B．2.4cm C．3cm D．3.5cm

5、一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．8

6、下面四个结论正确的是（       ）

A．度数相等的弧是等弧 B．三点确定一个圆

C．在同圆或等圆中，圆心角是圆周角的2倍 D．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等

7、在中，，，给出条件：①；②；③外接圆半径为4．请在给出的3个条件中选取一个，使得BC的长唯一．可以选取的是（       ）

A．① B．② C．③ D．①或③

8、如图，若的半径为R，则它的外切正六边形的边长为（       ）

A． B． C． D．

9、如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=20°，则∠D等于（       ）

A．20° B．30° C．50° D．40°

10、如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，连接OB、AB，若，则的度数为（       ）

A．50° B．55° C．65° D．70°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，OE＝cm，则OF＝________cm．

2、在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可）

3、一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是__________．

4、如图，PA是⊙O的切线，A是切点．若∠APO=25°，则∠AOP=___________°．

5、如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值是_______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在中，，平分，与交于点，，垂足为，与交于点，经过，，三点的与交于点．

(1)求证是的切线；

(2)若，，求的半径．

2、如图，是的直径，是圆上两点，且有，连结，作的延长线于点．

(1)求证：是的切线；

(2)若，求阴影部分的面积．（结果保留）

3、数学课上老师提出问题：“在矩形中，，，是的中点，是边上一点，以为圆心，为半径作，当等于多少时，与矩形的边相切？”．

小明的思路是：解题应分类讨论，显然不可能与边及所在直线相切，只需讨论与边及相切两种情形．请你根据小明所画的图形解决下列问题：

(1)如图1，当与相切于点时，求的长；

(2)如图2，当与相切时，

①求的长；

②若点从点出发沿射线移动，连接，是的中点，则在点的移动过程中，直接写出点在内的路径长为______．

4、如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交O于B，连接AD、AB，AB是O的切线．

(1)求证：AD是O的切线．

(2)若O的半径为4，，求平行四边形OAEC的面积．

5、如图，是的直径，是半径，连接，．延长至点，使，过点作交的延长线于点．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求半径的长．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

根据点与圆的位置关系得出OP＞3即可．

【详解】

解：∵⊙O的半径为3，点P在⊙O外，

∴OP＞3，

故选：A．

【点睛】

本题考查点与圆的位置关系，解答的关键是熟知点与圆的位置关系：设平面内的点与圆心的距离为d，圆的半径为r，则点在圆外d＞r，点在圆上d=r，点在圆内d＜r．

2、C

【解析】

【分析】

分别计算出正三角形、正方形、正六边形的边心距,后根据勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，三角形构成的条件，判断即可．

【详解】

如图，∵正三角形、正方形、正六边形都内接于半径为1的圆，边心距分别为OC，OE，OG，OA=1，∠AOC=60°，∠AOE=45°，∠AOG=30°，

∴OC=OAcos60°=，OE= OAcos45°=，OG= OAcos30°=，

∵，

∴这个三角形是直角三角形，

故选C．

【点睛】

本题考查了正多边形与圆，特殊角的三角函数，勾股定理的逆定理，熟练掌握正多边形的计算是解题的关键．

3、B

【解析】

【分析】

连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG＝DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利用OG＝OD可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．

【详解】

解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，

∵G是BC的中点，

∴CG＝BG，

∵CD＝BA，根据勾股定理可得，

∴AG＝DG，

∴GH垂直平分AD，

∴点O在HG上，

∵AD∥BC，

∴HG⊥BC，

∴BC与圆O相切；

∵OG＝OD，

∴点O不是HG的中点，

∴圆心O不是AC与BD的交点；

∵∠ADF＝∠DAE＝90°，

∴∠AEF＝90°，

∴四边形AEFD为⊙O的内接矩形，

∴AF与DE的交点是圆O的圆心；AE=DF；

∴（1）错误，（2）（3）（4）正确．

故选：B．

【点睛】

本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了矩形的性质和三角形外心．

4、B

【解析】

【分析】

如图所示，过C作CD⊥AB，交AB于点D，在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，利用勾股定理求出AB的长，利用面积法求出CD的长，即为所求的r．

【详解】

解：如图所示，过C作CD⊥AB，交AB于点D，

在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，

根据勾股定理得：AB==5（cm），

∵S△ABC=BC•AC=AB•CD，

∴×3×4=×10×CD，

解得：CD=2.4，

则r=2.4（cm）．

故选：B．

【点睛】

此题考查了切线的性质，勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

5、C

【解析】

【分析】

如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得．

【详解】

解：如图，由题意得：，

是等边三角形，

，

则这个正多边形的边数为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键．

6、D

【解析】

【分析】

根据圆的有关概念、确定圆的条件、圆周角定理及三角形的外心的性质解得即可．

【详解】

解：A、在同圆或等圆中，能完全重合的弧才是等弧，故错误；

B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；

C、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，故错误；

D、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，故正确；

故选D．

【点睛】

本题考查了圆的有关的概念，属于基础知识，必须掌握．

7、B

【解析】

【分析】

画出图形，作，交BE于点D．根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出AD的长，再由AD和AC的长作比较即可判断①②；由前面所求的AD的长和AB的长，结合该三角形外接圆的半径长，即可判断该外接圆的圆心可在AB上方，也可在AB下方，其与AE的交点即为C点，为两点不唯一，可判断其不符合题意．

【详解】

如图，，，点C在射线上．作，交BE于点D．

∵，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∴不存在的三角形ABC，故①不符合题意；

∵，，AC=8，

而AC>6，

∴存在的唯一三角形ABC，

如图，点C即是．

∴，使得BC的长唯一成立，故②符合题意；

∵，，

∴存在两个点C使的外接圆的半径等于4，两个外接圆圆心分别在AB的上、下两侧，如图，点Ｃ和即为使的外接圆的半径等于4的点．

故③不符合题意．

故选B．

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外接圆的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．

8、B

【解析】

【分析】

如图连结OA，OB，OG，根据六边形ABCDEF为圆外切正六边形，得出∠AOB=60°△AOB为等边三角形，根据点G为切点，可得OG⊥AB，可得OG平分∠AOB，得出∠AOC=，根据锐角三角函数求解即可．

【详解】

解：如图连结OA，OB，OG，

∵六边形ABCDEF为圆外切正六边形，

∴∠AOB=360°÷6=60°，△AOB为等边三角形，

∵点G为切点，

∴OG⊥AB，

∴OG平分∠AOB，

∴∠AOC=，

∴cos30°=，

∴．

故选择B．

【点睛】

本题考查圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数，掌握圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数是解题关键．

9、C

【解析】

【分析】

连接CO利用切线的性质定理得出∠OCD=90°，进而求出∠DOC=40°即可得出答案．

【详解】

解：连接OC，

∵DC切⊙O于点C，

∴∠OCD=90°，

∵∠A=20°，

∴∠OCA=20°，

∴∠DOC=40°，

∴∠D=90°-40°=50°．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质以及三角形外角性质等知识，根据已知得出∠OCD=90°是解题关键．

10、A

【解析】

【分析】

根据切线的性质得出PA=PB，∠PBO=90°，再根据三角形内角和定理求解即可．

【详解】

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴PA=PB，∠OBP=90°，

又∵∠ABO=25°，

∴∠PBA=90°-25°=65°=∠PAB，

∴∠P=180°-65°-65°=50°，

故选：A．

【点睛】

本题考查切线的性质，三角形内角和定理，掌握切线的性质和等腰三角形的性质，三角形内角和为180°是解题的关键．

二、填空题

1、或

【解析】

【分析】

根据题意分两种情况并综合利用垂径定理和勾股定理以及圆的基本性质进行分析即可求解.

【详解】

解：如图，连接BO

∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，BD＝12cm，

∴,

∵OE＝cm，BD⊥AC,

∴cm,

∴,,

∵OF⊥BC,

∴,

∴,

如图，

∵OE＝cm，BD⊥AC, ,

∴,

∵OF⊥BC,

∴,

∴.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查圆的综合问题，熟练掌握并利用垂径定理和勾股定理以及圆的基本性质进行分析是解题的关键.注意未作图题一般情况下要进行分类作图讨论.

2、∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可．

【详解】

解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，

∵∠ABT=∠ATB=45°，

∴∠BAT=90°，

又∵AB是圆O的直径，

∴AT是圆O的切线，

故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．

【点睛】

本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．

3、六

【解析】

【分析】

根据正多边形的中心角＝计算即可．

【详解】

解：设正多边形的边数为n．

由题意得，＝60°，

∴n＝6，

故答案为：六．

【点睛】

本题考查正多边形和圆，解题的关键是记住正多边形的中心角＝．

4、65

【解析】

【分析】

根据切线的性质得到OA⊥AP，根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．

【详解】

解：∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，

∴，

∵∠APO=25°，

∴，

故答案为：65．

【点睛】

本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

5、1

【解析】

【分析】

以AB为直径作圆，当CF与圆相切时，AF最大．根据切线长定理转化线段AF＋BC＝CF，在Rt△DFC利用勾股定理求解．

【详解】

解：以AB为直径作圆，因为∠AGB＝90°，所以G点在圆上．

当CF与圆相切时，AF最大．

此时FA＝FG，BC＝CG．

设AF＝x，则DF＝4−x，FC＝4＋x，

在Rt△DFC中，利用勾股定理可得：

42＋（4−x）2＝（4＋x）2，

解得x＝1．

故答案为：1．

【点睛】

本题主要考查正方形的性质、圆中切线长定理以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．

三、解答题

1、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）连接，利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可证，从而，得到，根据切线的判定方法可证是的切线；

（2）证明，利用相似三角形的性质可求的半径．

(1)

证明：连接，

∵，

∴，

∴是直径，是的中点．

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

又∵经过半径的外端，

∴是的切线．

(2)

解：∵，

∴，

在与中，

，，

∴．

∴，

在中，，，

∴.

设半径为，则，，

即，

∴．

∴的半径为．

【点睛】

本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法是解（1）的关键，掌握相似三角形的判定与性质是解（2）的关键．

2、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）要证明DE是⊙O的切线，所以连接OD，只要求出∠ODE＝90°即可解答；

（2）连接BD，利用Rt△ADB的面积加上弓形面积即可求出阴影部分的面积．

(1)

证明：连接OD，

∵，

∴∠CAD＝∠BAD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠CAD＝∠ODA，

∴AE∥OD，

∴∠E+∠ODE＝90°，

∵DE⊥AC，

∴∠E＝90°，

∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，

∵OD是圆O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

(2)

连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠ADE＝60°，∠E＝90°，

∴∠CAD＝90°﹣∠ADE＝30°，

∴∠DAB＝∠CAD＝30°，

∴AB＝2BD，

∵，

∴

∴BD＝2，BA＝4，

∴OD＝OB＝2，

∴△ODB是等边三角形，

∴∠DOB＝60°，

∴△ADB的面积＝AD•DB

＝×2×2

＝2，

∵OA＝OB，

∴△DOB的面积＝△ADB的面积＝，

∴阴影部分的面积为：

△ADB的面积+扇形DOB的面积﹣△DOB的面积

＝2﹣

＝，

∴阴影部分的面积为：．

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，扇形的面积公式，勾股定理，含30°角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形，添加适当的辅助线是解题的关键．

3、 (1)BP=2

(2)①4.8；②9.6

【解析】

【分析】

（1）连接PT，由⊙P与AD相切于点T，可得四边形ABPT是矩形，即得PT=AB=4=PE，在Rt△BPE中，用勾股定理即得BP=2；

（2）①由⊙P与CD相切，有PC=PE，设BP=x，则PC=PE=10-x，在Rt△BPE中，由勾股定理得x2+22=（10-x）2，即可解得BP=4.8；②点M在⊙P内的路径为EM，过P作PN⊥EM于N，由EM是△ABQ的中位线，可得四边形BPNE是矩形，即知EN=BP=4.8，故EM=2EN=9.6．

(1)

连接PT，如图：

∵⊙P与AD相切于点T，

∴∠ATP=90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°，

∴四边形ABPT是矩形，

∴PT=AB=4=PE，

∵E是AB的中点，

∴BE=AB=2，

在Rt△BPE中，；

(2)

①∵⊙P与CD相切，

∴PC=PE，

设BP=x，则PC=PE=10-x，

在Rt△BPE中，BP2+BE2=PE2，

∴x2+22=（10-x）2，

解得x=4.8，

∴BP=4.8；

②点Q从点B出发沿射线BC移动，M是AQ的中点，点M在⊙P内的路径为EM，过P作PN⊥EM于N，如图：

由题可知，EM是△ABQ的中位线，

∴EM∥BQ，

∴∠BEM=90°=∠B，

∵PN⊥EM，

∴∠PNE=90°，EM=2EN，

∴四边形BPNE是矩形，

∴EN=BP=4.8，

∴EM=2EN=9.6．

故答案为：9.6．

【点睛】

本题考查矩形与圆的综合应用，涉及直线和圆相切、勾股定理、动点轨迹等，解题的关键是理解M的轨迹是△ABQ的中位线．

4、 (1)见解析

(2)32

【解析】

【分析】

（1）连接OD，证明，可得，根据切线的性质可得，进而可得，即可证明AD是O的切线；

（2）根据平行四边形OAEC的面积等于2倍即可求解．

(1)

证明：连接OD．

∵四边形OAEC是平行四边形，

∴，

又∵，

∴，

∵AB与相切于点B，

∴，

又∵OD是的半径，

∴AD为的切线．

(2)

∵

在Rt△AOD中，

∴平行四边形OABC的面积是

【点睛】

本题考查了切线的性质与判定，平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键．

5、 (1)证明见解析

(2)⊙O半径的长为

【解析】

【分析】

（1）根据角度的数量关系，可得，即，进而可证是的切线；

（2）由题意知，，由可得的值，由，知，，得，在中，，求解即可．

(1)

证明：∵是的直径

∴

∴

∵

∴

∴，

∴

∴是的切线；

(2)

解：∵，

∴

∵

∴

∵，

∴

∴，

∵

∴

∴，

在中，，即

∴

∴半径长为．

【点睛】

本题考查了切线的判定，勾股定理，正切值．解题的关键在于对知识的灵活运用．