冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试精品单元测试课后测评

九年级数学下册第三十章二次函数单元测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、抛物线y=ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示:

给出下列说法：

①抛物线与y轴的交点为(0，6)；

②抛物线的对称轴在y轴的右侧；

③抛物线的开口向下；

④抛物线与x轴有且只有1个公共点．

以上说法正确是（       ）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④

2、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（     ）

A． B． C． D．

3、抛物线的顶点坐标为（　　）

A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）

4、已知二次函数y＝x2﹣2x+m，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列结论正确的是（　　）

A．若x1+x2＜2，则y1＞y2 B．若x1+x2＞2，则y1＞y2

C．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y2 D．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2

5、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（       ）

A．-2 B．-1 C．4 D．7

6、如图，要在二次函数的图象上找一点，针对b的不同取值，所找点M的个数，有下列三种说法：①如果，那么点M的个数为0；②如果．那么点M的个数为1；③如果，那么点M的个数为2．上述说法中正确的序号是（       ）

A．① B．② C．③ D．②③

7、已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

8、二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

9、若二次函数y＝a（x＋b）2＋c（a≠0）的图象，经过平移后可与y＝（x＋3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（       ）

A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0

C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2

10、对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+4x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜3＜x2，则c的取值范围是（       ）

A．c＜﹣6 B．c＜﹣18 C．c＜﹣8 D．c＜﹣11

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：；；抛物线经过点与点，则；方程的一个解是；，其中所有正确的结论是__________．

2、在东京奥运会跳水比赛中，中国小花全红婵的表现，令人印象深刻．在正常情况下，跳水运动员进行10米跳台训练时，必须在距水面5米之前完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易出现失误．假设某运动员起跳后第t秒离水面的高度为h米，且．那么为了避免出现失误，这名运动员最多有_____秒时间，完成规定的翻腾动作．

3、二次函数的图像不经过第______象限．

4、已知二次函数的图象顶点坐标是，还经过点，它的图象与轴交于、两点，则线段的长为______．

5、二次函数的对称轴是________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)一大型货车装载设备后高为，宽为．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？

2、已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a为常数，a≠0）交x轴于点A（－1，0）和点B（5，0），交y轴于点C．

(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；

(2)若点P是抛物线上一点，且PB＝PC，求点P的坐标；

(3)点Q是抛物线的对称轴l上一点，当QA＋QC最小时，求点Q的坐标．

3、如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，平行于x的直线与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，则抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准碗形”，线段AB称为碗宽，点M到线段AB的距离称为碗高．

(1)抛物线y＝x2对应的碗宽为       ；

(2)抛物线y＝ax2（a＞0）对应的碗宽为      ；抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碗高为      ；

(3)已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．

①求碗顶M的坐标；

②如图2，将“准碗形AMB”绕点M顺时针旋转30°得到“准碗形”．过点作x轴的平行线交准碗形于点C，点P是线段上的动点，过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q．请直接写出线段PQ长度的最大值．

4、某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为20元、10元，每天卖出件数分别为40件、80件．为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价．售卖时发现，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件．若每天两种礼品共卖出140件，则每天销售的最大利润是多少？

(1)分析：设甲种礼品每件降低了x元，填写表格（用含x的式子表示，并化简）；

(2)解答：           

5、已知一抛物线的顶点为（2，4），图象过点（1，3）．

(1)求抛物线的解析式；

(2)动点P（x，5）能否在抛物线上？请说明理由；

(3)若点A（a，y1），B（b，y2）都在抛物线上，且a＜b＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

根据表中数据和抛物线的对称性，可得抛物线的对称轴是直线x=，可得到抛物线的开口向下，再根据抛物线的性质即可进行判断．

【详解】

解：根据图表，抛物线与y轴交于（0，6），故①正确；

∵抛物线经过点（0，6）和（1，6），

∴对称轴为x==>0，即抛物线的对称轴在y轴的右侧，故②正确；

当x<时，y随x的增大而增大，

∴抛物线开口向下，故③正确，

∵抛物线经过点（-2，0），

设抛物线经过点（x，0），

∴x==，

解得：x=3，

∴抛物线经过（3，0），即抛物线与x轴有2个交点（-2，0）和（3，0），

故④错误；

综上，正确的有①②③，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数及其图象性质，解决问题的关键是注意表格数据的特点，结合二次函数性质作判断．

2、C

【解析】

【分析】

根据两根之和公式可以求出对称轴公式．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，

∴x1＋x2＝− ＝2．

∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．

故选：C．

【点睛】

本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．

3、A

【解析】

【分析】

根据抛物线的顶点坐标为 ，即可求解．

【详解】

解：抛物线的顶点坐标为．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键．

4、A

【解析】

【分析】

由二次函数y＝x2﹣2x+m可知对称轴为x＝1，当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离小，再结合抛物线开口方向，即可判断．

【详解】

解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m，

∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，

∵x1＜x2，

∴当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，

∴y1＞y2，

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，灵活应用x1+x2与2的关系确定点A、点B与对称轴的关系是解决本题的关键．

5、C

【解析】

【分析】

根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解

【详解】

解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，

∴，二次函数开口向下

解得，对称轴为

当时，，

经过原点，

根据函数图象可知，当，，

根据对称性可得时，

二次函数图象经过点，

或

不可能是4

故选C

【点睛】

本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．

6、B

【解析】

【分析】

把点M的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断．

【详解】

解：∵点M（a，b）在抛物线y=x（2-x）上，

当b=-3时，-3=a（2-a），整理得a2-2a-3=0，

∵△=4-4×（-3）＞0，

∴有两个不相等的值，

∴点M的个数为2，故①错误；

当b=1时，1=a（2-a），整理得a2-2a+1=0，

∵△=4-4×1=0，

∴a有两个相同的值，

∴点M的个数为1，故②正确；

当b=3时，3=a（2-a），整理得a2-2a+3=0，

∵△=4-4×3＜0，

∴点M的个数为0，故③错误；

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．

7、A

【解析】

【分析】

分别求出、、的大小，再进行判断即可．

【详解】

解：

A、故选项正确，符合题意；

B、故选项错误，不符合题意；

C、故选项错误，不符合题意；

D、故选项错误，不符合题意．

故选：A．

【点睛】

此题考查了二次函数的大小比较问题，解题的关键是掌握二次函数的性质、利用代入法求出、、的大小．

8、D

【解析】

【分析】

根据二次函数图象性质解题．

【详解】

解：A.由图可知，二次函数图象的对称轴为：x=1，即，故A不符合题意；

B.二次函数图象与y轴交于负半轴，即c<0，故B不符合题意；

C.由图象可知，当x=1时，y=，故C不符合题意，

D.由图象的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），当x=-2时，，，故D符合题意，

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

9、A

【解析】

【分析】

根据二次函数的平移性质得出a不发生变化，即可判断a=1．

【详解】

解：∵二次函数y=a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y=（x+3）2的图形完全叠合，

∴a=1．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的平移性质，根据已知得出a的值不变是解题关键．

10、B

【解析】

【分析】

由题意得不动点的横纵坐标相等，即在直线y=x上，故二次函数与直线y=x有两个交点，且横坐标满足x1＜3＜x2，可以理解为x=3时，一次函数的值大于二次函数的值．

【详解】

解：由题意得：不动点在一次函数y=x图象上，

∴一次函数y=x与二次函数的图象有两个不同的交点，

∵两个不动点x1，x2满足x1＜3＜x2，

∴x=3时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，

∴3＞32+4×3+c，

∴c＜-18．

故选：B．

【点睛】

本题以新定义为背景，考查了二次函数图象和一次函数图象的交点与系数间的关系，本题亦可以转化为方程的解来解题．

二、填空题

1、②⑤

【解析】

【分析】

由图象可知，抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于负半轴，则，再由抛物线对称轴为直线，得到，即，即可判断①；根据抛物线的对称性可知抛物线过点，则当时，，由，可得，即可判断②；由抛物线对称轴为直线，且开口向上，则抛物线上的点，离对称轴水平距离越大，函数值越大，即可判断③；由cx2+bx+a=0，方程两边同时除以a得，再由方程的两个根分别为，，得到，，则即为，由此即可判断④；当对应的函数值为，

当对应的函数值为，又时函数取得最小值，则，由此即可判断⑤．

【详解】

解：由图象可知，抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于负半轴，则，

∵抛物线对称轴为直线，

∴，即，

，故①错误；

抛物线过点，且对称轴为直线，

抛物线过点，

当时，，

，

∴，故②正确；

抛物线对称轴为直线，且开口向上，

∴抛物线上的点，离对称轴水平距离越大，函数值越大，

∵点（4，）与直线的距离为3，点（-3，）与直线的距离为4，

，故③错误；

∵cx2+bx+a=0

∴方程两边同时除以a得，

∵方程的两个根分别为，，

∴，，

∴即为，

∴

解得或，故④错误；

当对应的函数值为，

当对应的函数值为，

又时函数取得最小值，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，故⑤正确．

故答案为：②⑤．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图像与其系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图像的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．

2、##1.5

【解析】

【分析】

根据题意，令，解一元二次方程求解即可．

【详解】

依题意

整理得

即

解得（不符合题意，舍）

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意将代入关系式是解题的关键．

3、二

【解析】

【分析】

根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以得到该函数图象不经过哪个象限．

【详解】

解：∵y=-x2+4x-1=-（x-2）2+3，

∴该函数图象的顶点坐标为（2，3）且经过点（0，-1），函数图象开口向下，

∴该函数图象不经过第二象限，

故答案为：二．

【点睛】

本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

4、6

【解析】

【分析】

求出抛物线解析式，再求出、两点横坐标，利用坐标求出线段的长即可．

【详解】

解：二次函数的图象顶点坐标是，

设抛物线解析式为，把代入得，

，解得，

抛物线解析式为，

当y=0时，，解得，，，

线段的长为2+4=6；

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了求二次函数解析式和抛物线与x轴交点，解题关键是求出抛物线解析式，熟练求出抛物线与x轴交点横坐标．

5、直线

【解析】

【分析】

抛物线的对称轴为直线 根据抛物线的顶点式可直接得到答案.

【详解】

解：二次函数的对称轴是直线（或轴）

故答案为：直线

【点睛】

本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“抛物线的顶点式”是解本题的关键.

三、解答题

1、 (1)

(2)这辆货车能安全通过，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意得： ， ，抛物线的顶点坐标为点 ，从而得到点 ，设抛物线的函数表达式为 ，把点代入，即可求解；

（2）根据题意得：当 时， ，即可求解．

(1)

解：∴ ，

设抛物线的函数表达式为 ，

∴ ，解得： ，

∴抛物线的函数表达式为；

(2)

解：这辆货车能安全通过，理由如下：

根据题意得：当 时，

，

∴这辆货车能安全通过．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．

2、 (1)，

(2)或

(3)

【解析】

【分析】

（1）对于，当时，，求得，解方程组即可得到结论；

（2）根据，，得到，连接，设的中点为，求得，，得到直线的解析式为，设，解方程即可得到结论；

（3）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，根据轴对称的性质得到，，当，，三点共线时，最小，即最小，求得直线的解析式为，把代入即可得到结论．

(1)

解：对于，当时，，

，

抛物线为常数，交轴于点和点，

，

解得，

抛物线的解析式为；

(2)

解：，，

，

连接，设的中点为，

，，

直线的解析式为，

，

点在直线上，

设，

点是抛物线上一点，

，

解得，

点的坐标为，或，；

(3)

解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，

点与点关于对称，点在直线上，

，，

当，，三点共线时，最小，即最小，

设直线的解析式为，

，

解得，

直线的解析式为，

把代入得，，

，

当最小时，求点的坐标．

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称最短路线问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式．

3、 (1)4

(2)，

(3)（2，-3），

【解析】

【分析】

（1）根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m），代入抛物线的解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．

（2）利用（1）中方法可求碗宽，根据等腰直角三角形可知碗高是碗宽的一半．

（3）①由碗高为3求出a，再求顶点坐标即可；②作QS⊥BP于S，找到PQ和QS的关系后即可解决问题．

(1)

解：根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m）．

把B（m，m）代入y＝x2，得，解得，m＝2或0（舍去），

∴A（﹣2，2），B（2，2），

∴AB＝4，即碗宽为4；

故答案为：4．

(2)

解：类似（1）设B（n，n）,代入y＝a x2，得，解得，n＝或0（舍去），AB＝，即碗宽为；

抛物线y＝a（x﹣2）2+3是由抛物线y＝ax2平移得到的，所以，它们的碗宽一样为，根据等腰直角三角形的性质，可知可知碗高是碗宽的一半，即；

故答案为：，．

(3)

解：①抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．由（2）可知，

解得，，抛物线解析式为，化成顶点式为；

则M的坐标为（2，-3）；

②如图，作QS⊥BP于S，由旋转可知∠PBO=30°，因为过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q，

∴PQ⊥OB，

∴∠QPB=60°，∠PQS=30°，

∴PQ=2PS，，

当QS等于碗高时，QS最大，此时PQ长度的最大，

由（2）可知QS最大为3，则，；

PQ长度的最大值为．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质和直角三角形的性质，解题关键是准确理解题意，熟练运用二次函数的性质和直角三角形的性质求解．

4、 (1)①，②，③

(2)每天获得的最大利润为元.

【解析】

【分析】

（1）设甲种礼品每件降低了x元，则调价后的销售量为原销量加上增加的销量，可得乙的销量为件，再求解乙调价后的利润即可；

（2）设每天的销售利润为元，再利用总利润等于甲礼品的利润加上乙礼品的利润，可得函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案.

(1)

解：设甲种礼品每件降低了x元，则调价后的销售量为：件，

乙种礼品调价后的销售量为：件，

乙种礼品调价后的利润为：元，

填表如下：

(2)

解：设每天的销售利润为元，则

当时，

（元）

所以每天获得的最大利润为元.

【点睛】

本题考查的是列代数式，二次函数的实际应用，理解题意，列出二次函数的关系式是解本题的关键.

5、 (1)

(2)不在，见解析

(3)y1＜y2，见解析

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件设抛物线的解析式为顶点式，把点（1，3）的坐标代入所设的解析式中即可求得a，从而可求得函数解析式；

（2）把点P的纵坐标代入抛物线的解析式中，得到关于x的二元一次方程，若方程有解，则点P在抛物线，否则不在抛物线上；

（3）抛物线的对称轴为直线x=2，根据抛物线的增减性质即可比较大小．

(1)

设抛物线的解析式为

把点（1，3）的坐标代入中，得a+4=3

∴

即抛物线的解析式为；

(2)

动点P（x，5）不在抛物线上

理由如下：

在中，当y=5时，得

即

此方程无解

故点P不在抛物线上；

(3)

y1＜y2

理由如下：

抛物线的对称轴为直线x=2

∵二次项系数−1<0，且

∴函数值随自变量的增大而增大

即y1＜y2

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质等知识，熟练掌握这些知识是关键，属于二次函数的基础题目．