初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试优秀随堂练习题

九年级数学下册第三十章二次函数章节测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），点A（x1，y1），B（3，y2）在该抛物线上，且y1＜y2．给出下列结论①抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；②当m＞0时，抛物线与x轴没有交点；③当m＞0时，﹣7＜x1＜3； ④当m＜0时，x1＜﹣7或x1＞3；其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（       ）

A．  B．

C．  D．

3、2020年2月3日，随着南立交匝道最后一条交通线划线完毕，蒙山大道祊河桥迎来了南北东西方向全线通车，蒙山高架路“踏实落地”，市民从此可一路畅通．蒙山大道祊河桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象－抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（       ）

A． B． C． D．

4、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（       ）

A．米 B．10米 C．米 D．12米

5、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（       ）

A．-2 B．-1 C．4 D．7

6、抛物线的顶点坐标为（　　）

A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）

7、如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（       ）

A． B．

C． D．

8、已知二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（       ）

A．a＜4 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a≤4且a≠0

9、若点，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

10、若二次函数与轴的一个交点为，则代数式的值为（       ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，抛物线与轴交于点，，若对称轴为直线，点的坐标为（-3，0），则不等式的解集为______．

2、已知二次函数，当时，函数的值是_________．

3、二次函数的图像与x轴公共点的个数是______．

4、某商品进价为26元，当每件售价为50元时，每天能售出40件，经市场调查发现每件售价每降低1元，则每天可多售出2件，当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低______元．

5、如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点P(0，1)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为_________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，直线和抛物线都经过点，．

(1)求m，n的值．

(2)求不等式的解集（直接写出答案）

2、二次函数（、、是常数，）的自变量和函数值部分对应值如下表：

根据以上列表，回答下列问题：

(1)直接写出、的值；

(2)求此二次函数的解析式．

3、如图，抛物线经过点，，．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值并求出此时点的坐标；

(3)设抛物线的顶点为，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

4、如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于、两点，为抛物线的顶点，为坐标原点．若、（）的长分别是方程的两根，且．

(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；

(2)过点作交抛物线于点，求点的坐标；

(3)在（2）的条件下，过点任作直线交线段于点，设点、点到直线的距离分别为、，试求的最大值．

5、高邮双黄鸭蛋已入选全世界最值得品尝百种味道，某专卖店根据以往销售数据发现：高邮双黄鸭蛋每天销售数量y（盒）与销售单价x（元/盒）的关系满足一次函数，每盒高邮双黄鸭蛋各项成本合计为40元/盒．

(1)若该专卖店某天获利800元，求销售单价x（元/盒）的值；

(2)当销售单价x定为多少元/盒时，该专卖店每天获利最大？最大利润为多少？

(3)若该专卖店决定每销售一盒就捐出元给当地学校作为贫困学生的助学金，当每天的销售量不低于25盒时，为了确保该店每天扣除捐出后的利润随着销售量的减小而增大，则m的取值范围为______．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

利用抛物线的对称轴公式可判断①，计算 结合 可判断②，再分别画出符合③，④的图象，结合图象可判断③与④，从而可得答案.

【详解】

解： 抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），

抛物线的对称轴为： 故①符合题意；

当时，

所以抛物线与轴有两个交点，故②不符合题意；

当时，抛物线的开口向上，如图，

则关于的对称点为： 而

故③符合题意；

当时，抛物线的开口向下，如图，

同理可得：由

则或 故④符合题意，

综上：符合题意的有：①③④

故选：C

【点睛】

本题考查的是抛物线的对称轴方程，抛物线与轴的交点的情况，二次函数的图象与性质，掌握“利用数形结合的方法求解符合条件的自变量的取值范围”是解本题的关键.

2、D

【解析】

【分析】

根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的的符号，再判断即可.

【详解】

解：选项A：由的图象可得：

由的图象可得：则 故A不符合题意；

选项B：由的图象可得：

由的图象可得：则

而抛物线的对称轴为： 则 故B不符合题意；

选项C：由的图象可得：

由的图象可得：则 故C不符合题意；

选项D：由的图象可得：

由的图象可得：则

而抛物线的对称轴为： 则 故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键.

3、B

【解析】

【分析】

直接利用图象设出抛物线解析式，进而得出答案．

【详解】

∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，

∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，

∴-78=452a，

解得：a=，

∴此抛物线钢拱的函数表达式为，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，正确设出抛物线解析式是解题关键．

4、B

【解析】

【分析】

以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由此可得A（-10，-4），B（10，-4），即可求函数解析式，再将y=-1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．

【详解】

以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，

设抛物线的解析式为y=ax2，

∵O点到水面AB的距离为4米，

∴A、B点的纵坐标为-4，

∵水面AB宽为20米，

∴A（-10，-4），B（10，-4），

将A代入y=ax2，

-4=100a，

∴，

∴，

∵水位上升3米就达到警戒水位CD，

∴C点的纵坐标为-1，

∴

∴x=±5，

∴CD=10，

故选：B．

【点睛】

本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．

5、C

【解析】

【分析】

根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解

【详解】

解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，

∴，二次函数开口向下

解得，对称轴为

当时，，

经过原点，

根据函数图象可知，当，，

根据对称性可得时，

二次函数图象经过点，

或

不可能是4

故选C

【点睛】

本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．

6、A

【解析】

【分析】

根据抛物线的顶点坐标为 ，即可求解．

【详解】

解：抛物线的顶点坐标为．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键．

7、D

【解析】

【分析】

分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时，过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．

【详解】

解：∵，，，

∴BC=，

过CA点作CH⊥AB于H，

∴∠ADE=∠ACB=90°，

∵，

∴CH=4.8，

∴AH=，

当0≤x≤6.4时，如图1，

∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，

∴△ADE∽△ACB，

∴，即，解得：x=，

∴y=•x•=x2；

当6.4＜x≤10时，如图2，

∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，

∴△BDE∽△BCA，

∴，

即，解得：x=，

∴y=•x•=；

故选：D．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．

8、D

【解析】

【分析】

由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．

【详解】

解：∵二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，

∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，

解得：a≤4，且a≠0．

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与x轴的交点，关键是Δ＝b2−4ac决定抛物线与x轴交点的个数．

9、D

【解析】

【分析】

先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质，当点和在直线的右侧时；当点和在直线的两侧时，然后分别解两个不等式即可得到的范围．

【详解】

抛物线的对称轴为直线，

∵，，

当点和在直线的右侧，则，

解得，

当点和在直线的两侧，则，

解得，

综上所述，的范围为．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．

10、D

【解析】

【分析】

把代入即可求出，则，进而可求出代数式的值．

【详解】

解：二次函数与轴的一个交点为，

时，，

，

，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是把代入求出的值．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

函数的对称轴为直线，与轴交点，则另一个交点，进而求解．

【详解】

解：函数的对称轴为直线，与轴交点，则另一个交点，

观察函数图象知，不等式的解集为：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．

2、-1

【解析】

【分析】

将x的值代入计算即可；

【详解】

解：当时

==-1

故答案为：-1

【点睛】

本题考查了二次函数的值，正确计算是解题的关键．

3、0

【解析】

【分析】

令，得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求解即可．

【详解】

令，则

二次函数的图像与x轴无公共点．

故答案为：0

【点睛】

本题考查了二次函数与轴的交点问题，转化为一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．

4、2

【解析】

【分析】

设每件商品售价降低元，则每天的利润为：，然后求解计算最大值即可．

【详解】

解：设每件商品售价降低元

则每天的利润为：，

∵

∴当时，最大为968元

故答案为2．

【点睛】

本题考查了一元二次函数的应用．解题的关键在于确定函数解析式．

5、

【解析】

【分析】

利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．

【详解】

解：作QM⊥y轴于点M，Q′N⊥y轴于N，

∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，

∴∠QPM＋∠NPQ′＝∠PQ′N＋∠NPQ′，

∴∠QPM＝∠PQ′N，

在△PQM和△Q′PN中，

，

∴△PQM≌△Q′PN（AAS），

∴PN＝QM，Q′N＝PM，

设Q（m，m＋3），

∴PM＝|m＋2|，QM＝|m|，

∴ON＝|1-m|，

∴Q′（m＋2，1−m），

∴OQ′2＝（m＋2）2＋（1−m）2＝m2＋5，

当m＝0时，OQ′2有最小值为5，

∴OQ′的最小值为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换−旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)m=-1，n=2

(2)x＜1或x＞3

【解析】

【分析】

（1）将点A坐标代入y=x+m可得m的值，然后把B点坐标代入直线y=x+m中求出n的值即可；

（2）根据函数图象可知不等式的解集即为二次函数的函数图像在一次函数的函数图像上方自变量的取值范围，进行求解即可．

(1)

解：将点A(1，0)代入y=x+m可得1+m=0，

解得：m=-1，

∴直线AB的解析式为y=x-1，

∵点B（3，n）在直线y=x-1上，

∴n=3-1=2；

(2)

由函数图象可知不等式的解集即为二次函数的函数图像在一次函数的函数图像上方自变量的取值范围，

∴不等式的解集为x＜1或x＞3．

【点睛】

本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数函数值，利用图像法解一元二次不等式，熟知相关知识是解题的关键．

2、 (1)c=5，m=8

(2)y=x²+2x+5

【解析】

【分析】

(1)根据抛物线的对称性及表格中函数值x相等可求出对称轴进而求出m的值；根据自变量x=0可求出抛物线与y轴的交点，即可求得c的值；

(2)根据对称轴为x=-1，得到抛物线顶点为(-1,4)，设顶点式为y=a(x+1)2+4，代入其中一个点求出a的值即可求出二次函数解析式．

(1)

解：根据图表可知：

二次函数的图象过点(0，5)，(-2，5)，

∴二次函数的对称轴为：直线，

∵直线x=-3到对称轴x=-1的距离为2，直线x=1到对称轴x=-1的距离也为3，

∴(-3，8)的对称点为(1，8)，

∴m=8，

当x=0时，由表格中数据可知：c=5．

(2)

解：∵对称轴是直线x=-1，

∴由表格中数据可知：顶点为(-1，4)，

设y=a(x+1)2+4，

将(0，5)代入y=a(x+1)2+4得，a+4=5，

解得a=1，

∴这个二次函数的解析式为y=(x+1)2+4=x²+2x+5．

【点睛】

本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求出函数对称轴是解本题的关键．

3、 (1)

(2)当时，有最大值，此时点的坐标为

(3)在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．

【解析】

【分析】

（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；

（2）过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论；

（3）分三种情况进行讨论：①以为直角顶点；②以为直角顶点；③以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可．

(1)

解：抛物线经过点，，，

，解得．

抛物线的解析式为：；

(2)

如图，过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点．

设直线的解析式为，由题意，得

，解得，

直线的解析式为：．

设点坐标为，则点的坐标为，

．

，

，

当时，有最大值，此时点的坐标为；

(3)

解：在轴上是存在点，能够使得是直角三角形．理由如下：

，

顶点的坐标为，

，

．

设点的坐标为，分三种情况进行讨论：

①当为直角顶点时，如图3①，

由勾股定理，得，

即，

解得，

所以点的坐标为；

②当为直角顶点时，如图3②，

由勾股定理，得，

即，

解得，

所以点的坐标为；

③当为直角顶点时，如图3③，

由勾股定理，得，

即，

解得或，

所以点的坐标为或；

综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，解题的关键是运用数形结合、分类讨论及方程思想进行求解．

4、 (1)

(2)点的坐标为

(3)

【解析】

【分析】

（1）先求出的两根，可得点的坐标为，点的坐标为．从而得到的坐标为．再由．可得的坐标为．然后设抛物线对应的二次函数的解析式为．把点代入，即可求解；

（2）根据题意可设点的坐标为，则有．再由点在抛物线上，可得．从而得到，即可求解；

（3）由（2）知：，而，可得到，然后过点A作．根据三角形的面积，可得．再由，可得，即可求解．

(1)

解：如图，过点作轴于，则为的中点．

解方程得：或．

而，则点的坐标为，点的坐标为．

∴的坐标为．

又因为，

∴．

∴的坐标为．

设抛物线对应的二次函数的解析式为．

∵抛物线过点，则，解得：．

故抛物线对应的二次函数的解析式为．

(2)

∵，

∴．

又∵，

设点的坐标为，则有．

∵点在抛物线上，

∴．

化简得：．

解得：，（舍去）．

故点的坐标为．

(3)

由（2）知：，而，

∴．

过点A作．

∵，

∴．

∵，

∴．

即此时的最大值为．

【点睛】

本题主要考查了二次函数与三角形的综合题，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质等腰三角形的性质是解题的关键．

5、 (1)60或80

(2)当销售单价x定70元/盒时，该专卖店每天获利最大，最大利润，900元

(3)

【解析】

【分析】

（1）利用利润等于每天的销售额减去总成本，列出方程，即可求解；

（2）设该专卖店每天获利 元，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解；

（3）设该店每天扣除捐出后的利润为 元，每天销售量为 盒，则每盒的销售单价为元/盒 ，每盒的利润为 元，根据题意列出关于的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．

(1)

解：根据题意得：

，

解得： ，

答：若该专卖店某天获利800元，销售单价为60或80元/盒；

(2)

解：设该专卖店每天获利 元，根据题意得：

，

∴当销售单价x定70元/盒时，该专卖店每天获利最大，最大利润，900元；

(3)

解：设该店每天扣除捐出后的利润为 元，每天销售量为 盒，则每盒的销售单价为元/盒 ，每盒的利润为 元，根据题意得：

，

∵ ，

∴该图象开口向下，对称轴为： ，

根据题意得：当 时， 随 的减小而增大，

∴ ，解得： ，

∵ ，

∴m的取值范围为 ．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．