高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.1 角的概念推广精品课件ppt

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(1)角的概念角可以看成平面内________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
(2)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：
思考1：如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？提示：不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．
(1)象限角的概念在平面直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的________重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
(2)象限角的集合表示
(3)轴线角的集合表示
(4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝___________________________，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．思考2：假设60°角的终边是OB，那么－660°，420°角的终边与60°角的终边有什么关系？它们与60°分别相差多少？提示：它们的终边相同，－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．
{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}　
1．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是(　　)A．1　　B．2C．3D．4[解析]　正角有126°，99°共2个．
2．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为(　　)A．120°　B．－120°C．60°D．240°3．下列各角中，与－1 110°的角终边相同的角是(　　)A．60°　　　　　　　　　B．－60°C．30°D．－30°[解析]　－1 110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同．
4．若－30°角的始边与x轴的非负半轴重合，现将－30°角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是________.[解析]　因为逆时针方向旋转为正角，所以α＝－30°＋2×360°＝690°.
5．图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、_________、_______.
[解析]　题图中(1)中的角是正角，α＝390°，题图中(2)中的角，一个是负角、一个是正角，β＝－150°，γ＝60°.
　下列命题正确的是(　　)A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[分析]　角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量．
[解析]　终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．[归纳提升]　关于角的概念问题的处理正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
【对点练习】❶　(1)(多选)下列说法，不正确的是(　　)A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．钝角比第三象限角小D．小于180°的角是钝角、直角或锐角(2)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　)A．60°，720°　　B．－60°，－720°C．－30°，－360°D．－60°，720°
　已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．[解析]　因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
[归纳提升]　(1)一般地，可以将所给的角β化成k·360°＋α的形式(其中0°≤α<360°，k∈Z)，其中的α就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．特别提醒：表示终边相同的角时，k∈Z这一条件不能省略．
【对点练习】❷　已知角α的终边与－120°角的终边关于x轴对称，且－360°<α<360°，求角α.
已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解析]　(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
[归纳提升]　1．表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α【对点练习】❸　如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
[解析]　在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：150°≤α≤225°，则满足条件的角α为{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．
1．已知集合M＝{第一象限角}，N＝{锐角}，P＝{小于90°的角}，则下面正确的是(　　)A．M＝N＝PB．M⊂PC．M∩P＝ND．以上都不对[解析]　M＝{θ|k·360°<θ<90°＋k·360°，k∈Z}，N＝{θ|0°<θ<90°}，P＝{θ|θ<90°}，故选D．
2．与－457°角终边相同的角的集合是(　　)A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}[解析]　－457°与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，∴应选C．
3．－215°是(　　)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[解析]　由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．
4．若角α与β的终边互为反向延长线，则有(　　)A．α＝β＋180°B．α＝β－180°C．α＝－βD．α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z[解析]　角α与β的终边互为反向延长线，则α＝β＋180°＋k·360°＝β＋(2k＋1)180°，故选D．
5．写出图中阴影区域所表示角α的集合(包括边界)．
[解析]　(1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋270°，k∈Z}或写成{α|k·180°＋30°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}．(2){α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}.