人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制教学课件ppt

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| 自 学 导 引 |
1．角的概念角可以看成平面内________绕着端点从一个位置________到另一个位置所成的图形．2．角的表示符号：∠AOB，图形：顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为________．终边：用OB表示，用语言可表示为________．
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)经过1小时，时针转过30°.(　　)(2)终边与始边重合的角是零角．(　　)(3)小于90°的角是锐角．(　　)【答案】(1)×　(2)×　(3)×【解析】(1)因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°.(2)终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)．(3)锐角是指大于0°且小于90°的角．
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是__________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个________．
锐角是属于第几象限角？钝角又是属于第几象限角？【提示】锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________，k∈Z}，即任意一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
【预习自测】与－457°角的终边相同的角的集合是(　　)A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}【答案】C【解析】由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．
| 课 堂 互 动 |
(1)下列说法中，正确的是________(填序号)．①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称．(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.
题型1　与任意角有关的概念辨析
素养点睛：考查逻辑推理和和数学抽象的核心素养．【答案】(1)②⑤　(2)－40°【解析】(1)终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．(2)60°＋(－820°)＝－760°，β＝－(760°－720°)＝－40°.
判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可．
1．(1)与2 021°终边相同的角是(　　)A．－111°B．－70°C．141°D．221°(2)2 020°位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】(1)D　(2)C【解析】(1)2 021°＝5×360°＋221°.故选D．(2)2 020°＝5×360°＋220°，终边与220°相同，位于第三象限．
写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．素养点睛：考查逻辑推理和数学运算的核心素养．解：直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．
题型2　终边相同的角的表示及应用
所以S中适合－360°≤β<720°的元素是：45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
写出终边相同的角的集合的关键是找到0°～360°范围内，终边落在已知直线的角，再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．
2．写出终边落在x轴上的角的集合S.解：终边落在x轴上的角α的集合S＝{α|α＝k360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}．
(1)－2 017°是第________象限角．(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．素养点睛：考查逻辑推理和数学运算的核心素养．
题型3　象限角和区域角的表示
【答案】(1)二【解析】－2 017°＝－6×360°＋143°，143°是第二象限角，所以－2017°为第二象限角．(2)解：①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α3．(变换条件)若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？解：在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：150°≤α≤225°，则满足条件的角α为{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．
| 素 养 达 成 |
1．象限角的概念是以“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合”为前提的，否则不能从终边位置来判断某角是第几象限角(体现了逻辑推理的核心素养)．2．“锐角”“0°～90°的角”“小于90°的角”“第一象限角”这几个概念注意区分：锐角是0°<α<90°；0°～90°的角是0°≤α≤90°；小于90°的角为α<90°；第一象限的角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}．
3．关于终边相同角的认识(体现了数学运算的核心素养)．一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少．
1．(题型1)下列说法正确的是(　　)A．三角形的内角一定是第一、二象限角B．钝角不一定是第二象限角C．两个相差180°的整数倍的角是终边相同的角D．钟表的时针旋转而成的角是负角【答案】D
【解析】A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．
2．(题型2)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是 (　　)A．α＋β＝90°B．α＋β＝180°C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)D．α＋β＝k·360°(k∈Z)【答案】B
3．(题型2)把－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为________．【答案】144°＋(－3)×360°【解析】－936°＝－3×360°＋144°，故－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为144°＋(－3)×360°.
4．(题型2)终边在直线y＝－x上的角的集合S＝________.【答案】{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}【解析】由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}．
5．(题型3)已知，如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解：(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．