冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试一课一练

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九年级数学下册第三十章二次函数章节测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（ ）
A．y≤3 B．y≤6 C．y≥-3 D．y≥6
2、若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　）
A．y＝2(x﹣2)2﹣1 B．y＝2(x+2)2﹣1 C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+1
3、如图，给出了二次函数的图象，对于这个函数有下列五个结论：①＜0；②ab＞0；③；④；⑤当y＝2时，x只能等于0．其中结论正确的是（ ）

A．①④ B．③⑤ C．②⑤ D．③④
4、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论正确的是（ ）

A．ac＞0 B．a+b＝1 C．4ac﹣b2≠4a D．a+b+c＞0
5、若二次函数y=-x2+mx在-2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（　 　）
A．或6 B．或6 C．或6 D．或
6、下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（ ）
A． B．
C． D．
7、已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（ ）

A． B． C． D．或
8、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时，y随x的增大而增大；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（　　）

A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
9、如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，若抛物线的顶点在直线上移动，且与线段、都有公共点，则h的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
10、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知二次函数，当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是______．
2、在东京奥运会跳水比赛中，中国小花全红婵的表现，令人印象深刻．在正常情况下，跳水运动员进行10米跳台训练时，必须在距水面5米之前完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易出现失误．假设某运动员起跳后第t秒离水面的高度为h米，且．那么为了避免出现失误，这名运动员最多有_____秒时间，完成规定的翻腾动作．
3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a、k为常数）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，CD∥x轴，与抛物线交于点D．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段OB与线段CD的长度和为_____．

4、已知抛物线，将其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则得到的抛物线解析式为________．
5、如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1_____y2．（填“＞”或“＜”）
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，抛物线y＝﹣与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

(1)求点A、点B、点C的坐标；
(2)求直线BD的解析式；
(3)当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；
(4)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，一名垒球运动员进行投球训练，站在点O开始投球，球出手的高度是2米，球运动的轨迹是抛物线，当球达到最高点E时，水平距离EG=20米，与地面的高度EF=6米，掷出的球恰好落在训练墙AB上B点的位置，AB=3米．

(1)求抛物线的函数关系式；
(2)求点O到训练墙AB的距离OA的长度．
3、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，求此二次函数表达式．

4、如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m．

(1)建立适当平面直角坐标系，确定抛物线解析式；
(2)求水流的落地点D到水枪底部B的距离．
5、如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是线段BC上的动点（点P不与点B，C重合），连结AP并延长AP交抛物线于另一点Q，连结CQ，BQ，设点Q的横坐标为x．

(1)①写出A，B，C的坐标：A（ ），B（ ），C（ ）；
②求证：是直角三角形；
(2)记的面积为S，求S关于x的函数表达式；
(3)在点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．

-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
根据图像经过三点求出函数表达式，再根据最值的求法求出结果．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c经过（﹣1，1），（4，6），（3，1），
∴，
解得：，
∴函数表达式为y＝x2-2x-2，开口向上，
∴函数的最小值为=，即y≥-3，
故选C．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的最值，属于基础题，解题的关键是掌握二次函数最值的求法．
2、D
【解析】
【分析】
由题意知平移后的函数关系式为，进行整理即可．
【详解】
解：由题意知平移后的函数关系式为：，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于牢记二次函数图象平移时上加下减，左加右减．
3、D
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
①由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2-4ac＞0，故①错误；
②由抛物线的开口方向向下可推出a＜0；
因为对称轴为x==2＞0，又因为a＜0，∴b＞0，故ab＜0；②错误；
③由图可知函数经过（-1,0），∴当，，故③正确；
④对称轴为x=，∴，故④正确；
⑤当y＝2时，，故⑤错误；
∴正确的是③④
故选：D
【点睛】
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=−判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．
4、D
【解析】
【分析】
由抛物线开口方向及抛物线与轴交点位置，即可得出、，进而判断结论A；由抛物线顶点的横坐标可得出，进而判断结论B；由抛物线顶点的纵坐标可得出，进而判断结论C；由、，进而判断结论D．由此即可得出结论．
【详解】
解：A、抛物线开口向下，且与轴正半轴相交，
，，
，结论A错误，不符合题意；
B、抛物线顶点坐标为，，
，
，即，结论B错误，不符合题意；
C、抛物线顶点坐标为，，
，
，结论C错误，不符合题意；
D、，，
，结论D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是观察函数图象，逐一分析四个选项的正误．
5、C
【解析】
【分析】
表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：∵y=-x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x=-，
①当≤-2，即m≤-4时，当x=-2时，函数最大值为5，
∴-(-2)2-2m=5，
解得：m=-；
②当≥1，即m≥2时，当x=1时，函数最大值为5，
∴-12+m=5，
解得：m=6．
③当-2＜＜1，即-4＜m＜2时，当x=时，函数最大值为5，
∴-()2+m•=5
解得m=2（舍去）或m=-2（舍去），
综上所述，m=-或6，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值、解一元二次方程，解题的关键是：分三种情况，找出关于m的方程．
6、C
【解析】
【分析】
根据二次函数的顶点式求得顶点坐标，即可判断．
【详解】
解：A．二次函数的顶点为（1，3），在第一象限，不合题意；
B．二次函数的顶点为（1，﹣3），在第四象限，不合题意；
C．二次函数的顶点为（﹣1，3），在第二象限，符合题意；
D．二次函数的顶点为（﹣1，﹣3），在第三象限，不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7、D
【解析】
【分析】
根据函数图象写出y=1对应的自变量x的值,再根据判断范围即可．
【详解】
由图可知，使得时
使成立的x的取值范围是或
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，准确识图是解题的关键．
8、D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象及性质即可判断．
【详解】
解：由函数图象可知，抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0），
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故①错误；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴﹣a＞c，
∴直线y＝﹣a与抛物线y＝ax2+x+c有2个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣a有两个不相等的实数根，
即关于a的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
正确的有②③④，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系，本题属于中等题型．
9、B
【解析】
【分析】
将与联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线可求得k＝−h，于是可得到抛物线的解析式为y＝（x−h）2−h，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与线段AB、BO均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．
【详解】
解：∵将与联立得：，
解得：．
∴点B的坐标为（−2，1），
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k），
∵将x＝h，y＝k，代入得y＝−x得：−h＝k，解得k＝−h，
∴抛物线的解析式为y＝（x−h）2−h，
如图1所示：当抛物线经过点C时，

将C（0，0）代入y＝（x−h）2−h得：h2−h＝0，解得：h1＝0（舍去），h2＝；
如图2所示：当抛物线经过点B时，

将B（−2，1）代入y＝（x−h）2−h得：（−2−h）2−h＝1，整理得：2h2＋7h＋6＝0，解得：h1＝−2，h2＝−（舍去）．
综上所述，h的范围是−2≤h≤，即−2≤h≤
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与线段AB、BO均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点O是解题解题的关键．
10、C
【解析】
【分析】
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】
A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限．
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
函数图象的对称轴为直线，图象在对称轴的右侧y随x的增大而增大，进而可得自变量x的取值范围．
【详解】
解：由知函数图象的对称轴为直线，图象在对称轴的右侧y随x的增大而增大
∴自变量x的取值范围是
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练把握二次函数的图象与性质．
2、##1.5
【解析】
【分析】
根据题意，令，解一元二次方程求解即可．
【详解】
依题意
整理得
即
解得（不符合题意，舍）
故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意将代入关系式是解题的关键．
3、5
【解析】
【分析】
先求出抛物线y= a(x-1)2+k（a、k为常数）的对称轴，然后根据A和B、C和D均关于对称轴直线x=1对称，分别求出B和D点的坐标，即可求出OB和CD的长．
【详解】
解：∵抛物线y=a(x-1)2+k（a、k为常数），
∴对称轴为直线x=1，
∵点A和点B关于直线x=1对称，且点A(-1，0)，
∴点B(3，0)，
∴OB=3，
∵C点和D点关于x=1对称，且点C(0，a+k)，
∴点D(2，a+k)，
∴CD=2，
∴线段OB与线段CD的长度和为5，
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与与坐标轴交点的知识，解答本题的关键求出抛物线y=a(x-1)2+k（a、k为常数）的对称轴为x=1，此题难度不大．
4、
【解析】
【分析】
根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为（0,2），
其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到的抛物线解析式为
即
故答案为：
【点睛】
本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
5、＜
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x+1）2的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，则在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
【详解】
解：∵y＝（x+1）2，
∴a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y＝（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1＜2＜3，
∴y1＜y2．
故答案为＜．
【点睛】
本题考查了的性质，求得对称轴是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）
(2)y＝x﹣2
(3)当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形
(4)存在，（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）
【解析】
【分析】
（1）根据函数解析式列方程即可得到结论；
（2）由点C与点D关于x轴对称，得到D（0，﹣2），解方程即可得到结论；
（3）如图1所示：根据平行四边形的性质得到QM＝CD，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），则M（m，m﹣2），列方程即可得到结论；
（4）设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），分两种情况：①当∠QBD＝90°时，根据勾股定理列方程求得m＝3，m＝4（不合题意，舍去），②当∠QDB＝90°时，根据勾股定理列方程求得m＝8，m＝﹣1，于是得到结论．
(1)
解：∵令x＝0得；y＝2，
∴C（0，2）．
∵令y＝0得：﹣x2+x+2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4．
∴A（﹣1，0），B（4，0）．
(2)
解：∵点C与点D关于x轴对称，
∴D（0，﹣2）．
设直线BD的解析式为y＝kx﹣2．
∵将（4，0）代入得：4k﹣2＝0，
∴k＝．
∴直线BD的解析式为y＝x﹣2．
(3)
解：如图1所示：

∵，
∴当QM＝CD时，四边形CQMD是平行四边形．
设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），
则M（m，m﹣2），
∴﹣m2+m+2﹣（m﹣2）＝4，
解得：m＝2，m＝0（不合题意，舍去），
∴当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形；
(4)
解：存在，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），
∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形，
∴①当∠QBD＝90°时，
由勾股定理得：BQ2+BD2＝DQ2，
即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2+20＝m2+（﹣m2+m+2+2）2，
解得：m＝3，m＝4（不合题意，舍去），
∴Q（3，2）；
②当∠QDB＝90°时，
由勾股定理得：BQ2＝BD2+DQ2，
即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2＝20+m2+（﹣m2+m+2+2）2，
解得：m＝8，m＝﹣1，
∴Q（8，﹣18），（﹣1，0），
综上所述：点Q的坐标为（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．
【点睛】
此题考查了求抛物线与坐标轴的交点，求一次函数的解析式，平行四边形的性质，解一元二次方程，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，综合掌握各知识点并应用解决问题．
2、 (1)抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；
(2)点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的顶点设关系式为y=a（x-20）2+6，再根据点C的坐标可得关系式；
（2）把y=3代入可得答案．
(1)
解：由题意得，顶点E（20，6）和C（0，2），
设抛物线的关系式为y=a（x-20）2+6，
∴2=a（0-20）2+6，
解得a=-0.01，
∴抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；
(2)
（2）当y=3时，3=-0.01（x-20）2+6，
解得x1=20+10，x2=20-10（舍去），
答：点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法得到抛物线的关系式是解题关键．
3、y＝﹣x2﹣2x+3
【解析】
【分析】
根据图象确定经过抛物线的三个点，设二次函数解析式为y＝a(x+3)(x﹣1)，再代入(0,3)利用待定系数法计算即可．
【详解】
解：由图象可知，抛物线经过(﹣3，0)、(1，0)、(0，3)，
设抛物线的解析式为：y＝a(x+3)(x﹣1)，
代入点(0,3)，
则3＝a(0+3)(0﹣1)，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的解析式为：y＝﹣(x+3)(x﹣1)，
整理得到：y＝﹣x2﹣2x+3．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的求法，属于基础题，计算过程中细心即可．
4、 (1)图解析，y＝﹣1.6（x﹣1）2+3.6
(2)水流的落地点D到水枪底部B的距离为2.5m．
【解析】
【分析】
（1）依题意，建立直角坐标系（见详解1），依据二次函数的顶点式进行求解即可；
（2）结合（1）中的解析式，将距离问题转变为二次函数与横坐标轴的交点问题，求解；
(1)
由题知，如图，以BD所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系，

由题意知，抛物线的顶点为、点；
设抛物线的解析式为，
将点代入，得：，
则抛物线的解析式为，
(2)
结合（1），可知水流的落地点D到水枪底部B的距离转换为，与横坐标的交点问题；
∴ 当y＝0时，有，
解得：或（舍），
∴，
答：水流的落地点D到水枪底部B的距离为2.5m．
【点睛】
本题主要考查二次函数解析式的求解及其实际应用，关键在熟练应用解析结合实际问题；
5、 (1)①-1，0；4，0；0，-2；②见解析
(2)
(3)存在，当时，最大，最大为.
【解析】
【分析】
（1）①分别令即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标；②根据点的坐标，分别求得进而勾股定理逆定理即可证明；
（2）连接OQ，设点Q的坐标为，进而根据进行求解即可；
（3）过点Q作于点H，证明，由（2）可得，进而列出关于的关系式，根据二次函数的性质求最值即可
(1)
①由，
令，则，

令，即
解得
，，
故答案为：-1，0；4，0；0，-2；
②证明：∵，，
∴，，
∴
∴是．
(2)
连接OQ，如图所示

设点Q的坐标为

(3)
过点Q作于点H，如图所示



∴
∵
∴
∴当时，最大，最大为．
【点睛】
本题考查了二次函数坐标轴的交点问题，相似三角形的性质与判定，二次函数求面积问题，二次函数的最值问题，熟练运用以上知识是解题的关键．