初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步练习题

这是一份初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步练习题，共29页。试卷主要包含了下列函数中，随的增大而减小的是，抛物线y＝﹣2，抛物线的对称轴是等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数专题测试 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，且经过点（0，2）．有下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0：③9a＋3b＋c＜2；④3a＋c＜0；⑤若（﹣，y1），（﹣，y2），（4，y3）是抛物线上的点，则y3＜y1＜y2，其中正确结论的个数是（       ）A．2 B．3 C．4 D．52、二次函数y＝ax2+bx+c的图像全部在x轴的上方，下列判断中正确的是（       ）A．a＜0，c＜0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＞0，c＞03、小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ）A．14 B．11 C．6 D．34、下列函数中，随的增大而减小的是（       ）A． B．C． D．5、在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）A．（4，2） B．（﹣2，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）6、将关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线经过三点、、，则、、的大小关系是（       ）A． B． C． D．7、抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴是（　　）A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣48、二次函数 的图像如图所示， 现有以下结论： （1） ： （2） ； （3）， （4） ； （5） ； 其中正确的结论有（       ）A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个．9、抛物线的对称轴是（     ）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线10、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（       ）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、将抛物线y＝﹣2x2+3x+1向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是_____．2、二次函数的图像与x轴公共点的个数是______．3、如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：；；抛物线经过点与点，则；方程的一个解是；，其中所有正确的结论是__________．4、已知二次函数的图象顶点坐标是，还经过点，它的图象与轴交于、两点，则线段的长为______．5、已知二次函数y1＝x2－2x＋b的图象过点(－2，5)，另有直线y2＝5，则符合条件y1＞y2的x的范围是________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，一名垒球运动员进行投球训练，站在点O开始投球，球出手的高度是2米，球运动的轨迹是抛物线，当球达到最高点E时，水平距离EG=20米，与地面的高度EF=6米，掷出的球恰好落在训练墙AB上B点的位置，AB=3米．(1)求抛物线的函数关系式；(2)求点O到训练墙AB的距离OA的长度．2、某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y＝﹣+c．(1)求c的值；(2)计算铅球距离地面的最大高度．3、如图，二次函数（m是实数，且）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C，已知点D位于第一象限，且在对称轴上，，点E在x轴的正半轴上，．连接ED并延长交y轴于点F，连接AF．(1)求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；(2)已知点Q在抛物线的对称轴上，当的周长的最小值等于，求m的值．4、如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于、两点，为抛物线的顶点，为坐标原点．若、（）的长分别是方程的两根，且．(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)过点作交抛物线于点，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，过点任作直线交线段于点，设点、点到直线的距离分别为、，试求的最大值．5、如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点B在第一象限），点C在AB的延长线上．且（n为正整数）．过点B，C的抛物线L，其顶点M在x轴上．(1)求AB的长；(2)①当时，抛物线L的函数表达式为        ；②当时．求抛物线L的函数表达式        ；(3)如图2，抛物线E：经过B、C两点，顶点为P．且O、B、P三点在同一直线上，①求与n的关系式；②当时，设四边形PAMC的面积，当时，设四边形PAMC的面积（k，t为正整数，，），若，请直接写出值． -参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】由抛物线开口方向、对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据抛物线与x轴的交点即可判断②；根据函数的对称性和增减性即可判断③；根据抛物线的对称轴为直线x=1，得出b=-2a，由x=-1时，y=a-b+c＜0，即可得出3a+c＜0，即可判断④；根据二次函数的性质即可判断⑤．【详解】解：∵对称轴是直线x=1，且经过点（0，2），∴左同右异ab＜0，c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2-4ac＞0，所以②正确；∵抛物线对称轴是直线x=1，∴x=-1与x=3的函数值一样，x=0与x=2的函数值都是2，∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而增大，∴9a+3b+c＜2，所以③正确；∵对称轴为x=1，∴=1，即b=-2a，∵x=-1时，y=a-b+c＞0，∴3a+c＞0，所以④错误；∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而增大，∵点（4，y3）关于直线x=1的对称点为（-2，y3），且，∴y1＜y3＜y2，所以⑤不正确；故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及抛物线与x轴的交点与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．2、D【解析】【分析】由抛物线全部在轴的上方，即可得出抛物线与轴无交点且，进而即可得出、，此题得解．【详解】解：二次函数的图象全部在轴的上方，，，，，．，．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的性质．3、B【解析】【分析】首先由y=2x2-4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2-4x+8，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．【详解】解：，抛物线顶点的坐标为，，点的横坐标为，把代入，得到，，．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．4、C【解析】【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．【详解】解：A．在中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；B．在中，y随x的增大与增大，不合题意；C．在中，当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意；D．在，x>2时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．5、D【解析】【分析】求出抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，即可求解．【详解】解：∵ ，∴抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，∴将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键．6、C【解析】【分析】根据题意求得平移后的二次函数的对称轴以及开口方向，根据三个点与对称轴的距离大小判断函数值的大小即可【详解】解：∵关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线解析式为， ∴新抛物线的对称轴为，开口方向向上，则当抛物线上的点距离对称轴越远，其纵坐标越大，即函数值越大，平移后的抛物线经过三点、、，故选C【点睛】本题考查了二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点，掌握二次函数的性质是解题的关键．7、A【解析】【分析】直接利用抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，求得对称轴方程为：x=3．【详解】解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴方程为：直线x=3，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是掌握：二次函数的顶点式与对称轴的关系．8、C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：（1）∵函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右边，∴，∴b＞0，故命题正确；（2）∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故命题正确；（3）∵当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，故命题错误；（4）∵当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故命题正确；（5）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b2-4ac＞0，故命题正确；故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．9、B【解析】【分析】由抛物线解析式的顶点式即可求得抛物线的对称轴．【详解】抛物线的对称轴是直线，故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，当抛物线的解析式为时，对称轴为直线；当抛物线的解析式为时，对称轴为直线x=h．10、B【解析】【分析】根据增长率问题的计算公式解答．【详解】解：第2年的销售量为，第3年的销售量为，故选：B．【点睛】此题考查了增长率问题的计算公式，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键．二、填空题1、【解析】【分析】根据向下平移，纵坐标要减去3，即可得到答案．【详解】解：抛物线向下平移3个单位，抛物线的解析式为．故答案为：．【点睛】主要考查了函数图象的平移，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．2、0【解析】【分析】令，得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】令，则二次函数的图像与x轴无公共点．故答案为：0【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点问题，转化为一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．3、②⑤【解析】【分析】由图象可知，抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于负半轴，则，再由抛物线对称轴为直线，得到，即，即可判断①；根据抛物线的对称性可知抛物线过点，则当时，，由，可得，即可判断②；由抛物线对称轴为直线，且开口向上，则抛物线上的点，离对称轴水平距离越大，函数值越大，即可判断③；由cx2+bx+a=0，方程两边同时除以a得，再由方程的两个根分别为，，得到，，则即为，由此即可判断④；当对应的函数值为，当对应的函数值为，又时函数取得最小值，则，由此即可判断⑤．【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于负半轴，则，∵抛物线对称轴为直线，∴，即，，故①错误；抛物线过点，且对称轴为直线，抛物线过点，当时，，，∴，故②正确；抛物线对称轴为直线，且开口向上，∴抛物线上的点，离对称轴水平距离越大，函数值越大，∵点（4，）与直线的距离为3，点（-3，）与直线的距离为4，，故③错误；∵cx2+bx+a=0∴方程两边同时除以a得，∵方程的两个根分别为，，∴，，∴即为，∴解得或，故④错误；当对应的函数值为，当对应的函数值为，又时函数取得最小值，∴，∴，又∵，∴，∴，故⑤正确．故答案为：②⑤．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与其系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图像的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．4、6【解析】【分析】求出抛物线解析式，再求出、两点横坐标，利用坐标求出线段的长即可．【详解】解：二次函数的图象顶点坐标是，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，抛物线解析式为，当y=0时，，解得，，，线段的长为2+4=6；故答案为：6．【点睛】本题考查了求二次函数解析式和抛物线与x轴交点，解题关键是求出抛物线解析式，熟练求出抛物线与x轴交点横坐标．5、x<−2或x>4## x＞4或x＜-2【解析】【分析】先根据抛物线经过点（-2，5），求出函数解析式，再求出抛物线的对称轴，根据函数的对称性，找到抛物线经过另一点（4，5），从而得出结论．【详解】解：∵二次函数y1=x2-2x+b的图象过点（-2，5），∴5=（-2）2-2×（-2）+b，解得：b=-3，∴二次函数解析式y1=x2-2x-3，∴抛物线开口向上，对称轴为x=-=1，∴抛物线过点（4，5），∴符合条件y1＞y2的x的范围是x＜-2或x＞4．故答案为：x＜-2或x＞4．【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组），关键是对二次函数的图象与性质的掌握和应用．三、解答题1、 (1)抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；(2)点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点设关系式为y=a（x-20）2+6，再根据点C的坐标可得关系式；（2）把y=3代入可得答案．(1)解：由题意得，顶点E（20，6）和C（0，2），设抛物线的关系式为y=a（x-20）2+6，∴2=a（0-20）2+6，解得a=-0.01，∴抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；(2)（2）当y=3时，3=-0.01（x-20）2+6，解得x1=20+10，x2=20-10（舍去），答：点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法得到抛物线的关系式是解题关键．2、 (1)；(2)铅球距离地面的最大高度为【解析】【分析】（1）把（10，0）代入函数解析式中，即可求得c的值；（2）直接利用对称轴的值，代入函数关系式进而得出答案．(1)把（10，0）代入函数解析式中得：解得：(2)当x＝﹣时，y最大＝所以铅球距离地面的最大高度为3m．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键，属于基础题．3、 (1)，，(2)【解析】【分析】（1）把代入函数解析式，可得，再利用因式分解法解方程可得的坐标，再求解函数的对称轴，可得的坐标；（2）先证明，利用相似三角形的性质求解，利用三角形的中位线定理再求解．再利用勾股定理求解，如图，当点、、三点共线时，的长最小，此时的周长最小．可得．再利用勾股定理列方程，解方程可得答案．(1)令 则， ∴，，∴对称轴为直线，∴．(2)在中， ，∴∠ODC=∠CBD， ， ，． ．∵轴，轴，∴．∵，∴．∴．在中，，∴，即．（负根舍去）∵点与点关于对称轴对称，∴．∴如图，当点、、三点共线时，的长最小，此时的周长最小．∴的周长的最小值为，∴的长最小值为，即．∵，∴．∴．∵，∴．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，根据对称性求最值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．4、 (1)(2)点的坐标为(3)【解析】【分析】（1）先求出的两根，可得点的坐标为，点的坐标为．从而得到的坐标为．再由．可得的坐标为．然后设抛物线对应的二次函数的解析式为．把点代入，即可求解；（2）根据题意可设点的坐标为，则有．再由点在抛物线上，可得．从而得到，即可求解；（3）由（2）知：，而，可得到，然后过点A作．根据三角形的面积，可得．再由，可得，即可求解．(1)解：如图，过点作轴于，则为的中点．解方程得：或． 而，则点的坐标为，点的坐标为．∴的坐标为．又因为，∴．∴的坐标为． 设抛物线对应的二次函数的解析式为．∵抛物线过点，则，解得：．故抛物线对应的二次函数的解析式为．(2)∵，∴．又∵，设点的坐标为，则有．∵点在抛物线上，∴．化简得：．解得：，（舍去）．故点的坐标为．(3)由（2）知：，而，∴．过点A作．∵，∴．∵，∴．即此时的最大值为．【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形的综合题，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质等腰三角形的性质是解题的关键．5、 (1)(2)①；②(3)①；②或【解析】【分析】（1）联立直线与抛物线组成方程组解方程组得出点A、B的坐标分别为、，根据两点距离公式；（2）①当时，，则点C的坐标为，求抛物线顶点M横坐标为，设抛物线L的表达式为，将点B坐标代入得出，解方程即可；②当时，，则点C的坐标为，求出抛物线顶点M横坐标为，设抛物线L的表达式为，将点B的坐标代入得出，解方程即可；（3）①根据，则点C的坐标为，则抛物线顶点M横坐标为，可求点P的横坐标也为，待定系数法求直线OB的表达式为，根据点P在直线OB上，求出点P的坐标为；根据顶点式写出抛物线E的表达式为，将点B的坐标代入上式得，求解即可；②，当时，，当时，，根据，得出，根据k，t为正整数，，，得出，或，满足上述条件，求出或10即可．(1)解：联立直线与抛物线组成方程组，消去y得：，解得，故点A、B的坐标分别为、，∴；(2)解：①当时，，则点C的坐标为，则抛物线顶点M横坐标为，设抛物线L的表达式为，将点B的坐标代入上式得：，解得，故答案为：；②当时，，则点C的坐标为，则抛物线顶点M横坐标为，故设抛物线L的表达式为，将点B的坐标代入上式得：，解得，故抛物线的表达式为：；(3)①当时，，则点C的坐标为，则抛物线顶点M横坐标为，故点P的横坐标也为，设OB的解析式为y=sx，点B代入得1=，解得，直线OB的表达式为，∵点P在直线OB 上，当时，，故点P的坐标为；则抛物线E的表达式为，将点B的坐标代入上式得：，解得：；②，，，，当时，，当时，，∵，即，即，∵k，t为正整数，，，∴，或，满足上述条件，即或10，由①知，，∴或．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线顶点式，解方程组，一次函数解析式，四边形面积，二元一次方程的整数解，代数式的值，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线顶点式，解方程组，一次函数解析式，四边形面积，二元一次方程的整数解，代数式的值，是解题关键