2021学年第30章 二次函数综合与测试课堂检测

这是一份2021学年第30章 二次函数综合与测试课堂检测，共30页。试卷主要包含了抛物线y＝﹣2等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数专题测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（       ）A． B．C． D．2、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(﹣1，0)．则下面的四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④3a+c＝0．其中正确的有（       ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3、在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致如图（　　）A． B．C． D．4、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5、已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论错误的是（       ）A． B． C． D．6、抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴是（　　）A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣47、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（       ）A．米 B．10米 C．米 D．12米8、已知二次函数的图象经过，，则b的值为（       ）A．2 B． C．4 D．9、将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+310、若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（     ）A． B．5 C．或5 D．5或第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、把二次函数的图象关于轴对称后得到的图象的函数关系式为_________．2、抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线______．3、抛物线与y轴的交点坐标为_________．4、如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为_________．5、已知抛物线，将其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则得到的抛物线解析式为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图， 在平面直角坐标系 中， 直线 与 牰交于点 ， 与 轴交于点 ． 点C为拋物线 的顶点．(1)用含 的代数式表示顶点 的坐标：(2)当顶点 在 内部， 且 时，求抛物线的表达式：(3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 仍在 内， 求 的取值范围．2、如图1，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是直线上一动点．(1)求直线的解析式；(2)若点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，求点P的坐标；(3)如图2，连接，过点P作PEBC交x轴于点E，连接，将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，求点E的坐标．3、已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（2，4），B（4，0）．(1)求这个二次函数的表达式．(2)将x轴上的点P先向上平移3n（n＞0）个单位得点P1，再向左平移2n个单位得点P2，若点P1，P2均在该二次函数图象上，求n的值．4、在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝a+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．(1)判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；(2)求a，b的值；(3)平移抛物线y＝a+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．(1)求此抛物线的表达式；(2)若 ，求点P的坐标；(3)连接AC，求 PAC面积的最大值及此时点P的坐标． -参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时，过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．【详解】解：∵，，，∴BC=，过CA点作CH⊥AB于H，∴∠ADE=∠ACB=90°，∵，∴CH=4.8，∴AH=，当0≤x≤6.4时，如图1，∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，∴△ADE∽△ACB，∴，即，解得：x=，∴y=•x•=x2；当6.4＜x≤10时，如图2，∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，∴△BDE∽△BCA，∴，即，解得：x=，∴y=•x•=；故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．2、B【解析】【分析】①根据函数图象及函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，即可求解；②抛物线和x轴有两个交点，即可求解；③点B坐标为（﹣1，0），点A（3，0），即可求解；④对称轴为x＝1，则b＝﹣2a，点B（﹣1，0），故a﹣b+c＝0，即可求解．【详解】解：①∵函数图象开口向下∴ 又函数的对称轴在y轴右侧，∴ ∴ ∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，∴abc＜0，故原答案错误，不符合题意；②∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0正确，符合题意；③∵点B坐标为（﹣1，0），且对称轴为x＝1，∴点A（3，0），∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故正确，符合题意；④∵函数的对称轴为：x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵点B坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴ 即3a+c＝0，正确，符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点等．3、B【解析】【分析】分别利用函数解析式分析图象得出答案．【详解】解：A、二次函数开口向下，k＜0；一次函数图象经过第一、三象限，k＞0，故此选项错误；B、两函数图象符合题意；C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故此选项错误；D、一次函数解析式为：y=kx-2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．4、D【解析】【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．【详解】解：由势力的线与y轴正半轴相交可知c>0，对称轴x=-＜0，得b<0．∴ 所以一次函数y＝﹣bx+c的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．5、B【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：A、函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故A正确，不符合题意；B、函数的对称轴为：x＝−＝1，故2a+b＝0，即，图象与x轴交于点A（−1，0），故当时，，即，故B错误，符合题意；C、图象与x轴交于点A（−1，0），其对称轴为直线x＝1，则图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），故当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，故C正确，不符合题意；D、图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），即x＝3时，y＝9a＋3b＋c＝0，正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．6、A【解析】【分析】直接利用抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，求得对称轴方程为：x=3．【详解】解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴方程为：直线x=3，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是掌握：二次函数的顶点式与对称轴的关系．7、B【解析】【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由此可得A（-10，-4），B（10，-4），即可求函数解析式，再将y=-1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．【详解】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，∵O点到水面AB的距离为4米，∴A、B点的纵坐标为-4，∵水面AB宽为20米，∴A（-10，-4），B（10，-4），将A代入y=ax2，-4=100a，∴，∴，∵水位上升3米就达到警戒水位CD，∴C点的纵坐标为-1，∴∴x=±5，∴CD=10，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．8、C【解析】【分析】由二次函数的图象经过，，可得二次函数图象的对称轴为 再结合对称轴方程的公式列方程求解即可.【详解】解： 二次函数的图象经过，， 二次函数图象的对称轴为： 解得： 故选C【点睛】本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“利用纵坐标相等的两个点求解对称轴方程”是解本题的关键.9、B【解析】【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【详解】解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，得：y＝（x﹣3）2；再向上平移5个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，故选：B．【点睛】本题考察了二次函数抛物线的平移问题，解题的关键是根据左加右减，上加下减的平移规律进行求解．10、D【解析】【分析】根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．【详解】解：当x＜3时，令2x2-3=15，解得x=-3；当x≥3时，令3x=15，解得x=5；由上可得，x的值是-3或5，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．二、填空题1、【解析】【分析】函数的图象关于y轴对称后的顶点坐标为(-1，0)，然后根据顶点式写出解析式．【详解】解：的顶点坐标是(1，2)，由于(1，2)关于y轴的对称点为(-1，2)，所以得到的图象的函数解析式是；故答案为．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．2、x＝﹣1【解析】【分析】抛物线的对称轴方程为： 利用公式直接计算即可.【详解】解：抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线： 故答案为：【点睛】本题考查的是抛物线的对称轴方程，掌握“抛物线的对称轴方程的公式”是解本题的关键.3、【解析】【分析】根据二次函数图像的性质，时，通过计算即可得到答案．【详解】当时，∴抛物线与y轴的交点坐标为 故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．4、2【解析】【分析】首先求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标，然后根据“特征三角形”是等腰直角三角形列方程求解即可．【详解】解：∵∴，代入得：∴抛物线的顶点坐标为∵当时，即，解得：，∴抛物线与x轴两个交点坐标为和∵的“特征三角形”是等腰直角三角形，∴，即解得：．故答案为：2．【点睛】此题考查了二次函数与x轴的交点问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标．5、【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（0,2），其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为即故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．三、解答题1、 (1)(2)；(3)1＜a＜3【解析】【分析】（1）利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可解答；（2）求出点A、B的坐标，利用三角形面积公式求解a值即可解答；（3）根据点的坐标平移规律“右加左减，上加下减”得出P点坐标，再根据条件得出a的一元一次不等式组，解不等式组即可求解(1)解：拋物线 ，∴顶点C的坐标为；(2)解：对于，当x=0时，y=5，当y=0时，x=5，∴A（5，0），B（0，5），∵顶点 在 内部， 且 ，∴，∴a=2，∴拋物线的表达式为 ；(3)解：由题意，平移后的抛物线的顶点P的坐标为，∵平移后的抛物线的顶 点 仍在 内，∴，解得：1＜a＜3，即 的取值范围为1＜a＜3．【点睛】本题考查求二次函数的顶点坐标和表达式、二次函数的图象平移、一次函数的图象与坐标轴的交点问题、坐标与图象、解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识的联系与运用，第（3）小问正确得出不等式组是解答的关键．2、 (1)(2)或(3)或【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式令即可求得的坐标，令即可求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式；（2）由（1）设点，则在上，代入解方程即可求得的值，进而求得点的值；（3）先求得直线的解析式，进而表示出解析式，得点的坐标为，进而根据平行得，根据相似三角形的性质可得，根据勾股定理及逆定理证明是直角三角形，进而可得对称后的点与重合，进而可得，求得点的纵坐标，进而根据求得的值，即可求得点的坐标．(1)解：已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，令，得即令，即解得设直线的解析式为，将点代入得，解得直线的解析式为(2)点P是直线上一动点，直线的解析式为设点，点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，则在上即解得或或(3)依题意，设点，设直线的解析式为，将点代入得，解得直线的解析式为PEBC设直线的解析式为令，，则点的坐标为，，PEBC是直角三角形将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，,与点重合，则，解得或即或解得或或 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，轴对称问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，一次函数的平移问题，设参数求解是解题的关键．3、 (1)(2)1【解析】【分析】（1）利用待定系数法，即可求解；（2）设点 ，可得点 ，从而得到点P1，P2关于对称轴 对称，可得 ，再由点P1在该二次函数图象上，可得，即可求解．(1)解：∵二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（2，4），B（4，0），∴ ，解得： ，∴这个二次函数的表达式为 ；(2)解：设点 ，∵点P先向上平移3n（n＞0）个单位得点P1，再向左平移2n个单位得点P2，∴点 ，∵点P1，P2均在该二次函数图象上，∴点 关于对称轴 对称，∴ ，∴ ，即 ，∵点P1在该二次函数图象上，∴ ，∴，解得： 或，∵n＞0，∴．【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．4、 (1)在，见解析(2)a＝﹣1，b＝2(3)当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为【解析】【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；（3）设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，其顶点坐标为（，），根据题意得出=，由抛物线y＝﹣+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q=-=，从而得出q的最大值．(1)点B是在直线y＝x+m上，理由如下：∵直线y＝x+m经过点A（1，2），∴2＝1+m，解得m＝1，∴直线为y＝x+1，把x＝2代入y＝x+1得y＝3，∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；(2)∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A、C两点，把A（1，2），C（2，1）代入y＝a+bx+1得，解得a＝﹣1，b＝2；(3)由（2）知，抛物线为y＝﹣+2x+1，设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，∴顶点坐标为（，），∵其顶点仍在直线y＝x+1上，∴=，∴q=-=， ∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．【点睛】本题考查了图像与点的关系，待定系数法确定函数解析式，配方法求二次函数最值，熟练掌握待定系数法，灵活配方求最值是解题的关键．5、 (1)；(2)P(，﹣2)；(3)面积的最大值为8，此时点P(﹣2，﹣5)．【解析】【分析】（1）由题意及抛物线解析式可得：，而，得出，，即可确定点A、B、C的坐标，利用交点式代入即可确定解析式；（2）根据（1）中解析式可得抛物线的对称轴为，当时，点P、C的纵坐标相同，横坐标之和除以2为对称抽，即可求解；（3）过点P作轴交AC于点H，设直线AC的解析式为：，将点、代入确定直线解析式，结合图象可得，与底为同底，高的和为OA长度，代入三角形面积得出，据此即可得出面积的最大值及此时点P的坐标．(1)解：抛物线，则，∴，∵，∴，，∴点A、B、C的坐标分别为、、，∴，将代入可得，解得：，∴，故抛物线的表达式为：；(2)解：，其中：，，，∴抛物线的对称轴为，∵，∴点P、C的纵坐标相同，∴根据函数的对称性得点；(3)解：过点P作轴交AC于点H，设直线AC的解析式为：，将点、代入可得：，解得：，直线AC的解析式为：，∴，∴，，，，∵，∴当时，，此时面积最大，当时，，∴，答：的面积最大为8，此时点．【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数图象的基本性质等，理解题意，结合图象作出相应辅助线，综合运用二次函数基本性质是解题关键．