冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步训练题

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九年级数学下册第三十章二次函数专题攻克 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、抛物线，，的图象开口最大的是（       ）A． B． C． D．无法确定2、如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（       ）A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤3、若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　）A．y＝2(x﹣2)2﹣1 B．y＝2(x+2)2﹣1 C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+14、将函数的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（       ）A． B．C． D．5、已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（       ）A．该函数图象与轴的交点坐标是B．当时，的值随值的增大而减小C．当取1和3时，所得到的的值相同D．将的图象先向左平移两个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象6、如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为；⑤若为方程的两个根，则且．其中正确的结论个数是（       ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7、如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（       ）A． B．C． D．8、如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，不正确的结论是（       ）A． B． C． D．9、抛物线y=ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示: x…-3-2-101…y…-60466…给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为(0，6)；②抛物线的对称轴在y轴的右侧；③抛物线的开口向下；④抛物线与x轴有且只有1个公共点．以上说法正确是（       ）A．① B．①② C．①②③ D．①②③④10、已知二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（       ）A．a＜4 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a≤4且a≠0第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为__________．2、将抛物线y=x2向左平移3个单位所得图象的函数表达式为___．3、请写出一个开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线表达式为 _________________．4、抛物线与y轴的交点坐标为_________．5、已知多项式除以的余数分别为，则除以所得余式的最大值为_________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知抛物线与x轴有交点，求m的取值范围．2、问题呈现：探究二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像公共点．(1)问题可转化为：二次函数的图像与一次函数______的图像的公共点．(2)问题解决：在如图平面直角坐标系中画出的图像．(3)请结合（2）中图像，就m的取值范围讨论两个图像公共点的个数．(4)问题拓展：若二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像有两个公共点，则m的取值范围为______．3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B，C两点（C在B的左侧），与y轴交于点A，已知，．(1)求抛物线的表达式；(2)若点Q是线段AC下方抛物线上一点，过点Q作QD垂直AC交AC于点D，求DQ的最大值及此时点Q的坐标；(3)点E是线段AB上一点，且；将抛物线沿射线AB的方向平移，当抛物线恰好经过点E时，停止运动，已知点M是平移后抛物线对称轴上的动点，N是平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．4、在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，（点在点的左侧），点是抛物线上一点．(1)若，时，用含的式子表示；(2)若，，，的外接圆为，求点的坐标和弧的长；(3)在（1）的条件下，若有最小值，求此时的抛物线解折式5、如图，因疫情防控需要，某校在足够大的空地利用旧墙MN和隔离带围成一个矩形隔离区ABCD，墙长为a米，AD≤MN，矩形隔离区的一边靠墙，其它三边一共用隔离带200米．(1)a＝30，所围成的矩形隔离区的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD的长；(2)若a＝150．求矩形隔离区ABCD面积的最大值． -参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】先令x=1，求出函数值，然后再比较二次项系数的绝对值的大小即可解答．【详解】解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1，）（1，-3），（1，1），∵||＜|1|＜|-3|，∴抛物线开口最大．故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大．2、C【解析】【分析】根据开口方向，对称轴，以及与轴负半轴的交点位置判断的符号即可判断①，根据二次函数图象的对称性可知时的函数值与的函数值相等，进而可得，即可判断②，根据对称轴为以及顶点坐标公式即可判断③，根据二次函数图象与轴有两个交点，则，即可判断④，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，进而根据抛物线的开口方向以及，即可判断，根据顶点位置的函数值最小，进而即可判断⑤【详解】解：∵抛物线的开口朝上，则，对称轴，可得，根据抛物线与轴交于负半轴，则∴故①正确；∵二次函数的图象经过点，则当时，对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，时，即故②不正确对称轴为直线，∴，即故③正确；∵二次函数图象与轴有两个交点，则即故④错误； 对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，，是抛物线上两点，且，抛物线开口向上，故⑤正确故正确的是①③⑤故选C【点睛】本题考查了二次函数图象的性质以及与各系数之间的关系，二次函数与一元一次不等式，根据图象判断方程的根的情况，二次函数的对称性，掌握二次根式图象的性质是解题的关键．3、D【解析】【分析】由题意知平移后的函数关系式为，进行整理即可．【详解】解：由题意知平移后的函数关系式为：，故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于牢记二次函数图象平移时上加下减，左加右减．4、B【解析】【分析】由二次函数图象平移的规律即可求得平移后的解析式，再选择即可．【详解】解：将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为 再将向左平移2个单位，则函数解析式变为，故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．5、C【解析】【分析】把，代入，即可判断A，由二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，即可判断B，当取和，代入，即可判断C，根据函数图象的平移规律，即可判断D．【详解】∵二次函数的图象与轴的交点坐标是，∴A选项错误；∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，∴当时，的值随值的增大而增大，∴B选项错误；∵当取和时，所得到的的值都是11，∴C选项正确；∵将的图象先向左平移两个单位，再向上平移个单位得到的图象，∴D选项错误．故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．6、C【解析】【分析】根据图像，确定a，b，c的符号，根据对称轴，确定b，a的关系，当x=-1时，得到a-b+c=0，确定a，c的关系，从而化简一元二次方程，求其根即可，利用平移的思想，把y=的图像向上平移1个单位即可，确定方程的根．【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右边，∴b＜0，∴，故①正确；∵二次函数的图像与x轴交于点，∴a-b+c=0，根据对称轴的左侧，y随x的增大而减小，当x=-2时，y＞0即，故②正确；∵，∴b= -2a，∴3a+c=0，∴2a+c=2a-3a= -a＜0，故③正确；根据题意，得，∴，解得，故④错误；∵=0，∴，∴y=向上平移1个单位，得y=+1，∴为方程的两个根，且且．故⑤正确；故选C．【点睛】本题考查了抛物线的图像与系数的符号，抛物线的对称性，抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的增减性，平移，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．7、D【解析】【分析】分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时，过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．【详解】解：∵，，，∴BC=，过CA点作CH⊥AB于H，∴∠ADE=∠ACB=90°，∵，∴CH=4.8，∴AH=，当0≤x≤6.4时，如图1，∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，∴△ADE∽△ACB，∴，即，解得：x=，∴y=•x•=x2；当6.4＜x≤10时，如图2，∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，∴△BDE∽△BCA，∴，即，解得：x=，∴y=•x•=；故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．8、D【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴求出与的关系．【详解】解：A、由抛物线的开口向上知，对称轴位于轴的右侧，．抛物线与轴交于负半轴，，；故选项正确，不符合题意；B、对称轴为直线，得，即，故选项正确，不符合题意；C、如图，当时，，，故选项正确，不符合题意；D、当时，，，即，故选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．9、C【解析】【分析】根据表中数据和抛物线的对称性，可得抛物线的对称轴是直线x=，可得到抛物线的开口向下，再根据抛物线的性质即可进行判断．【详解】解：根据图表，抛物线与y轴交于（0，6），故①正确；∵抛物线经过点（0，6）和（1，6），∴对称轴为x==>0，即抛物线的对称轴在y轴的右侧，故②正确；当x<时，y随x的增大而增大，∴抛物线开口向下，故③正确，∵抛物线经过点（-2，0），设抛物线经过点（x，0），∴x==，解得：x=3，∴抛物线经过（3，0），即抛物线与x轴有2个交点（-2，0）和（3，0），故④错误；综上，正确的有①②③，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，解决问题的关键是注意表格数据的特点，结合二次函数性质作判断．10、D【解析】【分析】由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．【详解】解：∵二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，解得：a≤4，且a≠0．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与x轴的交点，关键是Δ＝b2−4ac决定抛物线与x轴交点的个数．二、填空题1、【解析】【分析】顶点在x轴上，即纵坐标为0．利用顶点坐标公式即可求出m的值．【详解】解：∵抛物线y=2x2-4x+3m的顶点在x轴上，∴，∴m=．故答案为．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-），应熟练掌握．2、y=(x＋3)2【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移3个单位所得直线的解析式为：y=（x+3）2．故答案是：y=（x+3）2．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，正确理解平移法则是关键．3、y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，﹣4）得出即可．【详解】解：∵抛物线开口向下且过点（0，﹣4），∴可以设顶点坐标为（0，﹣4），故解析式为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．4、【解析】【分析】根据二次函数图像的性质，时，通过计算即可得到答案．【详解】当时，∴抛物线与y轴的交点坐标为 故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．5、5【解析】【分析】先根据已知得出，再设，从而可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，然后利用二次函数的性质即可得出答案．【详解】解：多项式除以的余数为1，，当时，，同理可得：，设除以所得商式为，余式为（因为除式是三次的，所以余式至多是二次的），则，因此有，解得，所以余式为，由二次函数的性质得：当时，余式取得最大值，最大值为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了多项式的除法、二次函数的性质等知识点，正确设出余式的一般形式是解题关键．三、解答题1、【解析】【分析】根据抛物线与轴有交点转化为当时，方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于或等于0，解不等式求解即可．【详解】∵抛物线与x轴有交点，∴方程有两个实数根．解得.【点睛】本题考查了抛物线与轴交点问题，转化为一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．2、 (1)(2)见解析(3)或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；(4)【解析】【分析】（1）令，整理得：，可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点；（2）先在坐标轴上描出点，再连线即可；（3）通过数形结合的方式进行分类讨论；（4）通过数形结合的方式，分当时；当时；注意当时，要使有两个公共点，则满足，求解即可．(1)解：令，整理得：，可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点，故答案为：；(2)解：先在坐标轴上描出点，再连线即可，如下图：(3)解：如图：当时，与有一个交点，当时，与有两个交点，当时，与有一个交点，综上：或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；(4)解：如下图：当时，（其中，m为常数）与有一个交点有一个公共点；当时，（其中，m为常数）与没有公共点；要使（其中，m为常数）与有两个公共点，则满足且，解得：且，，故时，（其中，m为常数）与有两个公共点，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，函数图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合、分类讨论、转化的思想进行求解．3、 (1)(2)DQ的最大值为，(3)N点坐标为或或或，见解析【解析】【分析】（1）根据在抛物线上，可得，再由，可得，即可求解；（2）过点Q作轴交直线AC于点P，令 ，可得，从而得到，进而得到，，再求出直线AC解析式，然后设，则，可得，即可求解；（3）先求出平移后的抛物线为．然后分四种情况讨论，即可求解．(1)解：∵在抛物线上，∴，∵∴，将代入中得，，∴抛物线的表达式为：；(2)解：过点Q作轴交直线AC于点P，如图：当 时，，解得： ，∴，即OC=4，∵OA=4，∴，∴，在Rt△PQD中，，由、得直线AC解析式为：，设，则，∵∴∴∴当时，DQ的最大值为，此时．(3)解：存在，N点坐标为或或或．设平移后满足条件的抛物线为；∵抛物线过点，∴∴抛物线沿射线AB的方向平移，设抛物线沿直线平移，∴抛物线与抛物线的的顶点均在直线上；∴由直线过点得，，解得；由直线过得，，则，又∵，∴，∴，或（因为对称轴在不满足沿射线AB平移，舍去）∴，，平移后的抛物线为．∴对称轴为y轴，即点M在y轴上，当四边形ABNM为菱形，点N在x轴的上方时，            ∵，．∴；当四边形ABN1M1为菱形，点N在x轴的下方时，∵，．∴；当四边形AB M2 N2为菱形时，点N2在x轴上，则A M2垂直平分B N2，∴O N2=OB，∴点N2；当四边形A M3B N3为菱形，A M3=B M3，．设O M3=a，则B M3=A M3=4-a，∴ ，解得： ，∴ ，∴点N3；综上所述，N点坐标为或或或．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与四边形的综合题，抛物线的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，菱形的性质是解题的关键．4、 (1)(2)E点坐标为，弧长为(3)【解析】【分析】（1）将，代入，计算求解即可；（2）将与代入，得到，然后将解析式因式分解，得到点坐标分别为；如图，在直角坐标系中作，连接；点为中点，坐标为；点为中点，坐标为，，，有，，，，，得的值，进而可求出点坐标；，知，，AE= ，根据求解即可；（3），知，， 最小时，有，解得值，故可得值，进而可得出抛物线的解析式．(1)解：将与代入得∴用含的式子表示为．(2)解：将与代入得∴∴点坐标分别为如图，作，连接∴，∴点为中点，坐标为即；点为中点，坐标为即∵∴∴∴∵，，∴∴点坐标为∵∴∴∴AE= ∴的坐标为，的长为．(3)解：由题意知∵，∴∵最小时，有解得∴∴．【点睛】本题考查了代数式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值，三角形相似的判定与性质，三角形的外接圆，弧长等知识．解题的关键与难点在于对知识的熟练掌握并能灵活运用．5、 (1)AD=20米；(2)当x=100时，S最大=5000米2．【解析】【分析】（1）设AD=x，AB=(200-x)÷2=100-，根据长方形面积公式列方程，解方程，根据墙长得出AD=20米；（2）矩形隔离区ABCD面积用S表示，根据长方形面积公式列出面积函数S=然后配方为S即可．(1)解：设AD=x，AB=(200-x)÷2=100-，∴根据题意得：，整理得，解得：，∵a＝30，∴AD=20米；(2)解：矩形隔离区ABCD面积用S表示，则S=，∵a＝150＞100，∴当x=100时，S最大=5000米2．【点睛】本题考查长方形面积，列一元二次方程解图形问题应用题，列二次函数解图形问题的最值问题，掌握长方形面积，列一元二次方程解图形问题应用题，列二次函数解图形问题的最值问题是解题关键．