沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试巩固练习

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形重点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论中正确的是（    ）

①BCD为等腰三角形；②BF＝AC；③CE＝BF；④BH＝CE．

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④

2、一副三角板如图放置，点A在DF的延长线上，∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，若BC//DA，则∠ABF的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°

3、已知三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（    ）

A． B． C． D．

4、将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（   ）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

5、如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（　　）

A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC

C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°

6、如图，点D、E分别在∠ABC的边BA、BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG=42°，则∠DEB的度数为（     ）

A．42° B．48° C．52° D．58°

7、下列三角形与下图全等的三角形是（    ）

A． B． C． D．

8、如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．无法确定

9、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（    ）

A．50° B．60° C．40° D．30°

10、等腰三角形的一个顶角是80°，则它的底角是（    ）．

A．40° B．50° C．60° D．70°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图所示，将一个顶角∠B＝30°的等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到等腰三角形AB'C'，使得点B'，A，C在同一条直线上，则旋转角α＝_____度．

2、如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．

3、如图，在中，，一条线段，P，Q两点分别在线段和的垂线上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则的长为_________．

4、如图，线段AC与BD相交于点O，∠A＝∠D＝90°，要证明△ABC≌△DCB，还需添加的一个条件是____________．(只需填一个条件即可)

5、如图，线段，垂足为点，线段分别交、于点，，连结，．则的度数为______．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．求证：OB＝OC．

2、如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，AB∥DE，BF＝CE，AB＝ED，求证：∠A＝∠D．

3、如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边．求证．

4、如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别同时从A、B、C以同样的速度沿AB、BC、CA方向运动，当点D运动到点B时，三个点都停止运动．

（1）在运动过程中△DEF是什么形状的三角形，并说明理由；

（2）若运动到某一时刻时，BE=4，∠DEC=150°，求等边△ABC的周长；

5、已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC．

6、在中，，，点D是直线AC上一动点，连接BD并延长至点E，使．过点E作于点F．

（1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是______．

（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：．

（3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，EF之间的数量关系是______．

7、已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．

（1）求证：AB//CD；

（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；

（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．

8、已知：如图，点D为BC的中点，，求证：是等腰三角形．

9、如图，，，求证：．

10、如图，在中，，，，BD是的角平分线，点E在AB边上，．求的周长．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

根据∠ABC＝45°，CD⊥AB可得出BD＝CD；利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出BF＝AC；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，即可得到CE＝BF；由CE＝BF，BH＝BC，在三角形BCF中，比较BF、BC的长度即可得到CE＜BH．

【详解】

解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，

∴△BCD是等腰直角三角形．

∴BD＝CD，故①正确；

在Rt△DFB和Rt△DAC中，

∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，

∴∠DBF＝∠DCA．

又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，

∴△DFB≌△DAC．

∴BF＝AC，故②正确；

在Rt△BEA和Rt△BEC中

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE．

又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，

∴Rt△BEA≌Rt△BEC．

∴CE＝AC＝BF，故③正确；

∵CE＝AC＝BF，BH＝BC，

在△BCF中，∠CBE＝∠ABC＝22.5°，∠DCB＝∠ABC＝45°，

∴∠BFC＝112.5°，

∴BF＜BC，

∴CE＜BH，故④错误；

故选：C．

【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．

2、A

【分析】

先求出∠EFD=60°，∠ABC=45°，由BC∥AD，得到∠EFD=∠FBC=60°，则∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°．

【详解】

解：∵∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，

∴∠EFD=60°，∠ABC=45°，

∵BC∥AD，

∴∠EFD=∠FBC=60°，

∴∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°，

故选A．

【点睛】

本题主要考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键．

3、C

【分析】

根据三角形的三边关系可得，再解不等式可得答案．

【详解】

解：设三角形的第三边为，由题意可得：

，

即，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．

4、A

【分析】

根据三根木条即为三角形的三边长，利用全等三角形判定定理确定唯一三角形即可得．

【详解】

解：三根木条即为三角形的三边长，

即为利用确定三角形，

故选：A．

【点睛】

题目主要考查利用全等三角形判定确定唯一三角形，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．

5、C

【分析】

由题意在射线AD上截取AE=AB，连接CE，根据SAS不难证得△ABC≌△AEC，从而得BC=EC，∠B=∠AEC，可求得CD=CE，得∠CDE=∠CED，证得∠B=∠CDE，即可得出结果．

【详解】

解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示：

∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠EAC，

在△ABC与△AEC中，

，

∴△ABC≌△AEC（SAS），

∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，

∵CB＝CD，

∴CD＝CE，

∴∠CDE＝∠CED，

∴∠B＝∠CDE，

∵∠ADC+∠CDE＝180°，

∴∠ADC+∠B＝180°．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE，CE．

6、B

【分析】

根据两直线平行，同位角相等可得，再由垂直的性质及三角形内角和定理即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查平行线及垂线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练运用平行线的性质是解题关键．

7、C

【分析】

根据已知的三角形求第三个内角的度数，由全等三角形的判定定理即可得出答案．

【详解】

由题可知，第三个内角的度数为，

A.只有两边，故不能判断三角形全等，故此选项错误；

B.两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误；

C.两边相等且夹角相等，故能判断两三角形全等，故此选项正确；

D. 两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

8、A

【分析】

全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．

【详解】

∵和全等，，对应

∴

∴AB=DF=4

故选：A．

【点睛】

本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．

9、A

【分析】

根据旋转的性质求解再利用三角形的内角和定理求解再利用角的和差关系可得答案.

【详解】

解： 将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，

∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，

故选A

【点睛】

本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.

10、B

【分析】

依据三角形的内角和是180°以及等腰三角形的性质即可解答．

【详解】

解：（180°-80°）÷2

=100°÷2

=50°；

答：底角为50°．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查三角形的内角和定理及等腰三角形的两个底角相等的特点．

二、填空题

1、105

【分析】

利用等腰三角形的性质求出∠BAC，可得结论．

【详解】

解：∵BC＝BA，∠B＝30°，

∴∠C＝∠BAC＝（180°﹣30°）＝75°，

∴旋转角α＝180°﹣∠BAC＝105°，

故答案为：105．

【点睛】

本题考查了等腰三角形性质以及旋转的角度问题，解题的关键是理解旋转角就是对应线段的夹角．

2、6

【分析】

要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．

【详解】

解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，

∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，

∴点E关于AD的对应点为点F，

∴CF就是EP+CP的最小值．

∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，

∴F是AB的中点，

∴CF=AD=6，

即EP+CP的最小值为6，

故答案为6．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．

3、6cm或12cm

【分析】

先根据题意得到∠BCA=∠PAQ=90°，则以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，只有△ACB≌△QAP和△ACB≌△PAQ两种情况，由此利用全等三角形的性质求解即可．

【详解】

解：∵AX是AC的垂线，

∴∠BCA=∠PAQ=90°，

∴以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，只有△ACB≌△QAP和△ACB≌△PAQ两种情况，

当△ACB≌△QAP，

∴；

当△ACB≌△PAQ，

∴，

故答案为：6cm或12cm．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是解题的关键．

4、答案不唯一，如：AC＝DB，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB

【分析】

根据全等三角形的判定条件求解即可．

【详解】

解：∵∠A＝∠D＝90°，BC=CB，

∴只需要添加：AC＝DB或AB＝DC，即可利用HL证明△ABC≌△DCB；添加∠ABC＝∠DCB可以利用AAS证明△ABC≌△DCB，

故答案为：答案不唯一，如：AC＝DB，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．

5、270°

【分析】

由题意易得，然后根据三角形内角和定理可进行求解．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

∵，且，

∴，

同理可得：，

∴，

故答案为270°．

【点睛】

本题主要考查三角形内角和、垂直的定义及对顶角相等，熟练掌握三角形内角和、垂直的定义及对顶角相等是解题的关键．

三、解答题

1、见解析

【分析】

根据SAS证明△AEC与△ADB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．

【详解】

证明：在△AEC与△ADB中，

，

∴△AEC≌△ADB（SAS），

∴∠ACE＝∠ABD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴OB＝OC．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△AEC≌△ADB是本题的关键．

2、见解析

【分析】

根据平行线的性质得出∠B＝∠E，进而利用SAS证明，利用全等三角形的性质解答即可．

【详解】

证明：，

，

即．

，

．

在和中，

，

．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．

3、见解析

【分析】

由和是顶角相等的等腰三角形，得出知、、，证即可得证．

【详解】

解：和是顶角相等的等腰三角形，得出，

，，，

在和中，

，

，

．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与全等三角形的判定和性质．

4、（1）△DEF是等边三角形，理由见解析（2）等边△ABC的周长为

【分析】

（1）利用△DEF是等边三角形的性质以及三点的运动情况，求证和，进而证明，最后即可说明△DEF是等边三角形．

（2）利用题（1）的条件即∠DEC=150°，得出是含角的直角三角形，求出，最后求解出等边△ABC的长，最后即可求出等边△ABC的周长．

【详解】

（1）解：△DEF是等边三角形，

证明：由点D、E、F的运动情况可知：，

△ABC是等边三角形，

,，

,

，

在与中，

，

，

同理可证，进而有，

，

故△DEF是等边三角形．

（2）解：由（1）可知△DEF是等边三角形，且，

，，，

，

，

在中，，

，

，

，

等边△ABC的周长为．

【点睛】

本题主要是考查了全等三角形的性质及判定、等边三角形的判定及性质和含角直角三角形的性质，熟练利用等边三角形的性质，找到相等条件，进而证明全等三角形，综合利用全等三角形以及含角直角三角形的性质，求出对应边长，是解决该题的关键．

5、见解析

【分析】

证明△BAC≌△BDC即可得出结论．

【详解】

解：∵BC平分∠ABD，

∴∠ABC＝∠DBC，

在△BAC和△BDC中，

∴△BAC≌△BDC，

∴AC＝DC．

【点睛】

本题考查角平分线的意义及全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握角平分线的性质及全等三角形的判定与性质．

6、（1）（2）见解析（3）

【分析】

（1）利用边相等和角相等，直接证明，即可得到结论．

（2）利用边相等和角相等，直接证明，得到和，最后通过边与边之间的关系，即可证明结论成立．

（3）要证明，先利用边相等和角相等，直接证明，得到和，最后通过边与边之间的关系，即可证明结论成立．

【详解】

（1）解：

，，

，

在和中，

，

．

（2）解：当点D在线段AC的延长线上时，如下图所示：

，，

，

在和中，

，

，，

．

（3）解：，如下图所示：

，，

，

在和中，

，

，，

．

【点睛】

本题主要是考查了三角形全等的判定和性质，熟练利用条件证明三角形全等，然后利用边相等以及边与边之间关系，即可证明结论成立，这是解决该题的关键．

7、（1）见解析；（2）见解析；（3）108°

【分析】

（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠AEG＝∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；

（2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代换得∠DGC+∠AHF=180°可判断EC//BF，两直线平行同位角相等得出∠B=∠AEG，结合（1）得出结论；

（3）由（2）证得EC//BF，得∠BFC+∠C=180°，求得∠C的度数，由三角形内角和定理求得∠D的度数．

【详解】

证明：（1）∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC

∴∠AEG=∠C  

∴AB//CD

（2）∵∠AGE=∠DGC，∠AGE+∠AHF=180°

∴∠DGC+∠AHF=180°

∴EC//BF 

∴∠B=∠AEG

由（1）得∠AEG=∠C  

∴∠B=∠C

（3）由（2）得EC//BF

∴∠BFC+∠C=180°

∵∠BFC=4∠C  

∴∠C=36°  

∴∠DGC=36°

∵∠C+∠DGC+∠D=180°  

∴∠D=108°

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．

8、证明见解析

【分析】

过点D作，交AB于点M，过点D做，交AC于点N，根据角平分线性质，得；根据全等三角形的性质，通过证明，通过证明，得，结合等腰三角形的性质，即可完成证明．

【详解】

如下图，过点D作，交AB于点M，过点D做，交AC于点N

∵

∴

直角和直角中

∴

∴

∵点D为BC的中点，

∴

直角和直角中

∴

∴

∵，

∴，即是等腰三角形．

【点睛】

本题考查了角平分线、三角形中线、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、三角形中线，全等三角形的性质，从而完成求解．

9、证明过程见解析

【分析】

先证明，得到，，再证明，即可得解；

【详解】

由题可得，在和中，

，

∴，

∴，，

又∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键．

10、

【分析】

由题意结合角平分线性质和全等三角形判定得出，进而依据的周长进行求解即可.

【详解】

解：∵，，，

∴,

∵BD是的角平分线，

∴,

在和中，

,

∴，

∴，

∵，

∴的周长.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握利用全等三角形的判定与性质以及角平分线性质进行边的等量替换是解题的关键.