沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试同步训练题

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形综合训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列四个命题是真命题的有（　　）

①同位角相等；

②相等的角是对顶角；

③直角三角形两个锐角互余；

④三个内角相等的三角形是等边三角形．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（　　）

A．8 B．10 C．11 D．12

3、下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ）

A．3，4，7 B．3，4，8 C．3，4，5 D．3，3，7

4、已知三角形的两边长分别为2cm和3cm，则第三边长可能是（    ）

A．6cm B．5cm C．3cm D．1cm

5、如图，将的BC边对折，使点B与点C重合，DE为折痕，若，，则（    ）．

A．45° B．60° C．35° D．40°

6、下列说法错误的是（    ）

A．任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形

B．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形

C．任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形

D．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形

7、已知的三边长分别为a，b，c，则a，b，c的值可能分别是（    ）

A．1，2，3 B．3，4，7

C．2，3，4 D．4，5，10

8、下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ）

A．2，3，6 B．2，4，7 C．3，3，5 D．3，3，7

9、在平面直角坐标系xOy中，点A(0，2)，B(a，0)，C(m，n)（）．若ABC是等腰直角三角形，且，当时，点C的横坐标m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10、等腰三角形的一个顶角是80°，则它的底角是（    ）．

A．40° B．50° C．60° D．70°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知直角三角形△ABC的三条边长分别为3，4，5，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画___条．

2、如图，点C是线段AB的中点，．请你只添加一个条件，使得≌．

（1）你添加的条件是______；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）

（2）依据所添条件，判定与全等的理由是______．

3、如图，在△ABC 和△DBC，BA=BD中，请你添加一个条件使得△ABC ≌△DBC，这个条件可以是________（写出一个即可）．

4、如图，与的顶点A、B、D在同一直线上，，，，延长分别交、于点F、G．若，，则______．

5、若一个立体图形从正面看和从左面看都是等腰三角形，从上面看是带有圆心的圆，则这个立体图形是_____．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、已知：如图，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2．求证AB＝DC．

2、直线l经过点A，在直线l上方，．

（1）如图1，，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：

（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若（为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明．

（3）如图3，过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结AD，作，使得，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．

3、已知：如图，，，求证：

4、如图，在中，，，，BD是的角平分线，点E在AB边上，．求的周长．

5、如图，在中，AD是BC边上的高，CE平分，若，，求的度数．

6、如图，在中，，，点D是内一点，连接CD，过点C作且，连接AD，BE．求证：．

7、如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点F，，，．求和的度数．

8、命题：如图，已知，共线，（1），那么．

（1）从①和②两个条件中，选择一个填入横线，使得上述命题为真命题，你选择的条件为_______（填序号）；

（2）根据你选择的条件，判定的方法是________；

（3）根据你选择的条件，完成的证明．

9、如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数．

10、如图，AD为△ABC的角平分线．

（1）如图1，若BE⊥AD于点E，交AC于点F，AB＝4，AC＝7．则CF＝　   　；

（2）如图2，CG⊥AD于点G，连接BG，若△ABG的面积是6，求△ABC的面积；

（3）如图3，若∠B＝2∠C，AB＝m，AC＝n，则CD的长为 　   　．（用含m，n的式子表示）

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

利用平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的性质及等边三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

①两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；

②相等的角是对顶角，错误，是假命题；

③直角三角形两个锐角互余，正确，是真命题；

④三个内角相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，

综上所述真命题有2个，

故选：B．

【点睛】

本题考查了命题真假的判断，要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明、推理、证明，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．

2、B

【分析】

证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF=CH．由题意可知BE=FH，则得出五边形DECHF的周长=AB+BC，则可得出答案．

【详解】

解：∵△GFH为等边三角形，

∴FH=GH，∠FHG=60°，

∴∠AHF+∠GHC=120°，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC=AC=5，∠ACB=∠A=60°，

∵∠AHF=180°-∠FHG-∠GHC =120°-∠GHC，

∠HGC=180°-∠C-∠GHC =120°-∠GHC，

∴∠AHF=∠HGC，

在△AFH和△CHG中

，

∴△AFH≌△CHG（AAS），

∴AF=CH．

∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，

∴BE=FH，

∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，

=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，

=AB+BC=10．

故选：B．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

3、C

【分析】

根据组成三角形的三边关系依次判断即可．

【详解】

A、 3，4，7中3+4=7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．

B、 3，4，8中3+4＜8，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．

C、 3，4，5中任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边，故能组成三角形，符合题意，选项正确．

D、 3，3，7中3+3＜7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

4、C

【分析】

根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．

【详解】

解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：

3-2＜x＜3+2，

解得：1＜x＜5，

只有C选项在范围内．

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

5、A

【分析】

由折叠得到∠B=∠BCD，根据三角形的内角和得∠A+∠B+∠ACB=180°，代入度数计算即可．

【详解】

解：由折叠得∠B=∠BCD，

∵∠A+∠B+∠ACB=180°，，，

∴65°+2∠B+25°=180°，

∴∠B=45°，

故选：A．

【点睛】

此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质是解题的关键．

6、B

【分析】

根据等腰三角形和直角三角形的性质判断各选项即可得出答案．

【详解】

解：、任意一个直角三角形一定能分成两个等腰三角形，本选项正确，不符合题意；

、任意一个等腰三角形不一定能分成两个等腰三角形，本选项错误，符合题意；

、任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形，本选项正确，不符合题意；

、任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形，本选项正确，不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了等腰三角形和直角三角形的知识，解题的关键是能判断等腰三角形及直角三角形，可动手操作进行判断．

7、C

【分析】

三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此求解．

【详解】

解：A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；

B、3+4＝7，不能组成三角形，不符合题意；

C、2+3＞4，能组成三角形，符合题意；

D、4+5＜10，不能组成三角形，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，满足两条较小边的和大于最大边即可．

8、C

【分析】

根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解．

【详解】

解：A、因为 ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；

B、因为 ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；

C、因为 ，所以能组成三角形，故本选项符合题意；

D、因为 ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．

9、B

【分析】

过点作轴于，由“”可证，可得，，即可求解．

【详解】

解：如图，过点作轴于，

点，

，

是等腰直角三角形，且，

，

，

，

在和中，

，

，

，，

，

，

，

故选：B．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是画图及添加恰当辅助线构造全等三角形．

10、B

【分析】

依据三角形的内角和是180°以及等腰三角形的性质即可解答．

【详解】

解：（180°-80°）÷2

=100°÷2

=50°；

答：底角为50°．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查三角形的内角和定理及等腰三角形的两个底角相等的特点．

二、填空题

1、6

【分析】

根据等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．

【详解】

解：如图所示：

当BC2=CC2，AC1=AC，BC=BC3，BC=CC4，BC=CC5，C6A=C6B都能得到符合题意的等腰三角形．

故答案为：6．

【点睛】

此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．

2、AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B）（答案不唯一）    SAS   

【分析】

（1）由已知条件可得两个三角形有一组对应边相等，一组对应角相等，根据三角形全等的判定方法添加条件即可；

（2）根据添加的条件，写出判断的理由即可．

【详解】

解：（1）添加的条件是：AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B）

故答案为：AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B）

（2）若添加：AD=CE

∵点C是线段AB的中点，

∴AC=BC

∵

∴

∴≌(SAS)

故答案为：SAS

【点睛】

本题主要考查了添加条件判断三角形全等，熟练掌握全等三角形的判断方法是解答本题的关键．

3、（答案不唯一）

【分析】

由已知有BA=BD，BC边公共，由三角形全等的判定定理，可以添加这两边的夹角相等或第三边相等，均可使得△ABC ≌△DBC．

【详解】

添加CA=CD，则由边边边的判定定理即可得△ABC ≌△DBC

故答案为：CA=CD（答案不唯一）

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，熟悉全等三角形的几个判定定理是解题的关键．

4、

【分析】

先证明△ABC≌△EDB，可得∠E=，然后利用三角形外角的性质求解．

【详解】

解：∵，

∴∠ABC=∠D，

在△ABC和△EDB中

，

∴△ABC≌△EDB，

∴∠E=，

∴，，

∴∠EGF=30°+50°=80°，

∴80°+30°=110°，

故答案为：110°．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角和是解答本题的关键．

5、圆锥

【分析】

根据立体图形视图、等腰三角形的性质分析，即可得到答案．

【详解】

根据题意，这个立体图形是圆锥

故答案为：圆锥．

【点睛】

本题考查了等腰三角形、圆锥、立体图形视图的知识；解题的关键是熟练掌握立体图形视图的性质，从而完成求解．

三、解答题

1、见解析

【分析】

由“ASA”可证△ABO≌△DCO，可得结论．

【详解】

证明：如图，记的交点为

∵∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，

又∵∠OBC＝∠ABC−∠1，∠OCB＝∠DCB−∠2，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴OB＝OC，

在△ABO和△DCO中，，

∴△ABO≌△DCO（ASA），

∴AB＝DC．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．

2、（1）见解析；（2）猜想：，见解析；（3）见解析

【分析】

（1）先证明和，再根据证明即可；

（2）根据AAS证明得，，进一步可得出结论；

（3）分别过点C、E作，，同（1）可证，，得出CM=EN，证明得，从而可得结论．

【详解】

解：（1）证明：∵，，

∴，

∴

∵，

∴

∴，

在与中

，

∴

（2）猜想：，

∵

∴，

∴，

在与中

∴，

∴，，

∴

（3）分别过点C、E作，，

同（1）可证，，

∴，

∴，

∵，， 

∴

在与中

∴，

∴，

∴G为CE的中点．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的定义、角的互余关系，证得△ABD≌△CAE是解决问题的关键．

3、证明见解析

【分析】

由，，结合公共边 从而可得结论.

【详解】

证明：在与中，

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明三角形全等”是解本题的关键.

4、

【分析】

由题意结合角平分线性质和全等三角形判定得出，进而依据的周长进行求解即可.

【详解】

解：∵，，，

∴,

∵BD是的角平分线，

∴,

在和中，

,

∴，

∴，

∵，

∴的周长.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握利用全等三角形的判定与性质以及角平分线性质进行边的等量替换是解题的关键.

5、85°

【分析】

由高的定义可得出∠ADB＝∠ADC＝90，在△ACD中利用三角形内角和定理可求出∠ACB的度数，结合CE平分∠ACB可求出∠ECB的度数．由三角形外角的性质可求出∠AEC的度数，

【详解】

解：∵AD是BC边上的高，

∴∠ADB＝∠ADC＝90．

在△ACD中，∠ACB＝180°﹣∠ADC﹣∠CAD＝180°﹣90°﹣20°＝70°．

∵CE平分∠ACB，

∴∠ECB＝∠ACB＝35°．

∵∠AEC是△BEC的外角，，

∴∠AEC＝∠B+∠ECB＝50°+35°＝85°．

答：∠AEC的度数是85°．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，利用三角形内角和定理及角平分线的性质，求出∠ECB的度数是解题的关键．

6、证明见解析．

【分析】

先根据角的和差可得，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质即可得证．

【详解】

证明：，

，

，

，

，

在和中，，

，

．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．

7、87°，40°

【分析】

根据三角形外角的性质可得，，代入计算即可求出，再根据三角形内角和定理求解即可．

【详解】

解：∵，，

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了三角形内角和和外角的性质，解题关键是准确识图，理清角之间的关系，准确进行计算．

8、

（1）①

（2）SAS

（3）见解析

【分析】

（1）根据全等三角形的判定方法分析得出答案；

（2）根据（1）直接填写即可；

（3）利用SAS进行证明．

（1）

解：∵，

∴∠A=∠F，

∵AC=EF，

∴当时，可根据SAS证明；

当时，不能证明，

故答案为：①；

（2）

解：当时，可根据SAS证明，

故答案为：SAS；

（3）

证明：在△ABC和△FDE中，

，

∴．

【点睛】

此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

9、

【分析】

AD是的高，有；由知；CE是的角平分线可得；，；在中，．

【详解】

解：∵AD是的高

∴

∵

∴

∵CE是的角平分线

∴

∵

∴

∴在中，．

【点睛】

本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系．

10、

（1）3

（2）12

（3）

【分析】

（1）利用ASA证明△AEF≌△ABE，得AE=AB=4，得出答案；

（2）延长CG、AB交于点H，设S△BGC=S△HGB=a，用两种方法表示△ACH的面积即可；

（3）在AC上取AN=AB，可得CD=DN=n-m，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可求出CD的长．

（1）

∵AD是△ABC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

∵BE⊥AD，

∴∠BEA=∠FEA，

在△AEF和△AEB中，

，

∴△AEF≌△AEB（ASA），

∴AF=AB=4，

∵AC=7   

∴CF=AC-AF=7-4=3，

故答案为：3；

（2）

延长CG、AB交于点H，如图，

由（1）知AC=AH，点G为CH的中点，

设S△BGC=S△HGB=a，

根据△ACH的面积可得：

S△ABC+2a=2（6+a），

∴S△ABC=12；

（3）

在AC上取AN=AB，如图，

∵AD是△ABC的平分线，

∴∠NAD=∠BAD，

在△ADN与△ADB中，

，

∴△ADN≌△ADB（SAS），

∴∠AND=∠B，DN=BD，

∵∠B=2∠C，

∴∠AND=2∠C，

∴∠C=∠CDN，

∴CN=DN=AC-AB=n-m，

∴BD=DN=n-m，

根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得：

，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识，利用角的轴对称性构造全等三角形是解题的关键．