高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册4.2 导数的乘法与除法法则学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册4.2 导数的乘法与除法法则学案，共11页。学案主要包含了求较复杂函数的导数，与切线有关的问题等内容，欢迎下载使用。

导语
我们前面学习了导数的加法与减法法则，如果给出两个函数并已知它们的导数，如何求它们的积、商的导数呢？与加法、减法法则类似吗？
一、导数的乘法与除法法则及其简单应用
问题 已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x2.
(1)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)成立吗？
提示 不成立．因为[f(x)·g(x)]′＝(x5)′＝5x4，而f′(x)·g′(x)＝3x2·2x＝6x3.
(2)能否用f(x)和g(x)的导数表示f(x)·g(x)的导数？如何表示？
提示 能．因为f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x，[f(x)g(x)]′＝5x4，所以[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)对于其他函数还满足上述关系吗？
提示 满足．
知识梳理
导数的乘法与除法法则
(1)若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,g2x)，g(x)≠0.
(2)[kf(x)]′＝kf′(x)，k∈R.
注意点：
(1)注意f(x)g(x)的导数是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之和；
eq \f(fx,gx)的导数的分子是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之差，分母是g(x)的平方．
(2)[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′≠eq \f(f′x,g′x).
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x·sin x；
(2)y＝(x－1)(x－2)；
(3)y＝eq \f(2x,x2＋1)；
(4)y＝eq \f(x,1－cs x).
解 (1)y′＝sin x＋xcs x.
(2)y′＝1×(x－2)＋(x－1)×1＝2x－3.
(3)y′＝eq \f(2x2＋1－2x·2x,x2＋12)＝eq \f(2－2x2,x2＋12).
(4)y′＝eq \f(1－cs x－xsin x,1－cs x2).
反思感悟 简单导数运算的关注点
前提：基本初等函数的导数公式．
关键：理解并掌握求导法则．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝4x(x－2)；
(2)y＝xex；
(3)y＝eq \f(x2,sin x).
解 (1)y′＝4(x－2)＋4x＝8x－8.
(2)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)．
(3)y′＝eq \f(x2′sin x－x2sin x′,sin2x)＝eq \f(2xsin x－x2cs x,sin2x).
二、求较复杂函数的导数
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(ln x＋2x,x2)；
(2)y＝eq \f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq \f(1－\r(x),1＋\r(x)).
解 (1)y′＝eq \f(ln x＋2x′·x2－ln x＋2x·x2′,x4)
＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋2xln 2))·x2－2xln x＋2x,x4)
＝eq \f(1－2ln x＋2xxln 2－2,x3).
(2)y＝eq \f(1＋\r(x)2,1－x)＋eq \f(1－\r(x)2,1－x)＝eq \f(21＋x,1－x)＝eq \f(4,1－x)－2，
∴y′＝eq \f(4′1－x－41－x′,1－x2)＝eq \f(4,1－x2).
反思感悟 利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．
(2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
跟踪训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝(x2＋1)(x－1)；
(2)y＝eq \f(2x3－3x＋\r(x)＋1,x\r(x)).
解 (1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，
∴y′＝3x2－2x＋1.
(2)∵y＝
∴y′＝
三、与切线有关的问题
例3 函数f(x)＝eq \f(cs x,1＋x)的图象在(0,1)处的切线方程是( )
A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
答案 A
解析 ∵f′(x)＝eq \f(－sin x·1＋x－cs x,1＋x2)，
∴f′(0)＝－1，
∴切线方程为y－1＝－(x－0)，
即x＋y－1＝0.
延伸探究 曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是( )
A.eq \r(2) B.eq \f(\r(2),2) C．1 D．2
答案 B
解析 设曲线y＝xln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行．
∵y′＝ln x＋1，
∴切线斜率k＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，
∴y0＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝eq \f(|1－0－2|,\r(1＋1))＝eq \f(\r(2),2)，
即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是eq \f(\r(2),2).
反思感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清“在某点”和“过某点”导数的不同．
跟踪训练3 (1)曲线f(x)＝eq \f(sin x,sin x＋cs x)－eq \f(1,2)在点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))处的切线的斜率为( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 f′(x)＝eq \f(cs xsin x＋cs x－sin xcs x－sin x,sin x＋cs x2)
＝eq \f(1,sin x＋cs x2)，
故切线的斜率k＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \f(1,2)，
∴曲线在点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))处的切线的斜率为eq \f(1,2).
(2)曲线y＝eq \f(2,e) (x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为________．
答案 1
解析 由题意可知，y′＝eq \f(2,e)x·ex，切线斜率k＝2，
∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.
∴曲线y＝eq \f(2,e)(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S＝eq \f(1,2)×2×1＝1.
1.知识清单：
(1)导数的乘法与除法法则．
(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．
1．设函数y＝－2exsin x，则y′等于( )
A．－2excs x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cs x)
答案 D
解析 y′＝－2(exsin x＋excs x)
＝－2ex(sin x＋cs x)．
2．若y＝eq \f(1－x2,sin x)，则y′等于( )
A.eq \f(－2xsin x－1－x2cs x,sin2x)
B.eq \f(－2xsin x＋1－x2cs x,sin2x)
C.eq \f(－2xsin x＋1－x2,sin x)
D.eq \f(－2xsin x－1－x2,sin x)
答案 A
解析 ∵y＝eq \f(1－x2,sin x)，
∴y′＝eq \f(1－x2′sin x－1－x2sin x′,sin2x)
＝eq \f(－2xsin x－1－x2cs x,sin2x).
3．已知f(x)＝eq \f(1,x)cs x，则f(π)＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝________.
答案 －eq \f(3,π)
解析 因为f(x)＝eq \f(1,x)cs x，
所以f′(x)＝－eq \f(1,x2)cs x－eq \f(1,x)sin x，
所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－eq \f(2,π)，
又f(π)＝－eq \f(1,π)，
所以f(π)＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－eq \f(3,π).
4．已知函数f(x)＝ex·sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是____________．
答案 y＝x
解析 ∵f(x)＝ex·sin x，f′(x)＝ex(sin x＋cs x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.
课时对点练
1．(多选)下列运算中正确的是( )
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,x2)))′＝eq \f(sin x′－x2′,x2)
D．(cs x·sin x)′＝(cs x)′sin x＋cs x(sin x)′
答案 AD
解析 A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C项中，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,x2)))′＝eq \f(sin x′x2－sin xx2′,x22)，故错误；
D项中，(cs x·sin x)′＝(cs x)′sin x＋cs x(sin x)′，故正确．
2．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
A．e2 B．e C.eq \f(ln 2,2) D．ln 2
答案 B
解析 ∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1(x>0)，由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e.
3．设曲线y＝eq \f(x＋1,x－1)在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．2 B.eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2) D．－2
答案 D
解析 ∵y＝eq \f(x＋1,x－1)＝1＋eq \f(2,x－1)，
∴y′＝－eq \f(2,x－12)，
∴y在x＝3处的导数为－eq \f(1,2).
∴－a×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1，
即a＝－2.
4．函数f(x)＝xsin x的图象在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)))))处的切线的倾斜角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(5π,6)
答案 C
解析 f′(x)＝sin x＋xcs x，
f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)))＝sin eq \f(3π,2)＋eq \f(3π,2)cs eq \f(3π,2)＝－1，
由导数的几何意义可知，切线的斜率k＝－1，
设切线的倾斜角为α，即tan α＝－1，所以α＝eq \f(3π,4).
5．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \f(4 000,100－x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(80A．－40元/t B．－10元/t
C．10元/t D．40元/t
答案 D
解析 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，
因为c(x)＝eq \f(4 000,100－x)(80所以c′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4 000,100－x)))′＝eq \f(4 000,100－x2)，
又因为c′(90)＝eq \f(4 000,100－902)＝40，
所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/t.
6．当函数y＝eq \f(x2＋a2,x)(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于( )
A．a B．±a
C．－a D．a2
答案 B
解析 y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2＋a2,x)))′＝eq \f(2x·x－x2＋a2,x2)＝eq \f(x2－a2,x2)，
由xeq \\al(2,0)－a2＝0，得x0＝±a.
7．已知函数f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))cs x＋sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为________．
答案 1
解析 ∵f′(x)＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))sin x＋cs x，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)，得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)－1.
∴f(x)＝(eq \r(2)－1)cs x＋sin x，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝1.
8．已知函数f(x)＝eq \f(aln x,x＋1)＋eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a，b的值分别为____________．
答案 1,1
解析 f′(x)＝eq \f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x)－ln x)),x＋12)－eq \f(b,x2).
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－eq \f(1,2)，且过点(1,1)，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1＝1，,f′1＝－\f(1,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝1，,\f(a,2)－b＝－\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1.))
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋xln x；
(2)y＝eq \f(ex,x)；
(3)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解 (1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′
＝2x＋ln x＋x·eq \f(1,x)
＝2x＋ln x＋1.
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ex,x)))′＝eq \f(ex′x－exx′,x2)＝eq \f(ex·x－ex,x2).
(3)方法一 y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3
＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
方法二 ∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′
＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′
＝18x2＋4x－3.
10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
解 (1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excs x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cs 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
11．已知曲线f(x)＝eq \f(x2＋a,x＋1)在点(1，f(1))处切线的倾斜角为eq \f(3π,4)，则实数a等于( )
A．1 B．－1 C．7 D．－7
答案 C
解析 ∵f′(x)＝eq \f(2xx＋1－x2＋a,x＋12)＝eq \f(x2＋2x－a,x＋12)，
又f′(1)＝tan eq \f(3π,4)＝－1，∴a＝7.
12．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于( )
A．212 B．29 C．28 D．26
答案 A
解析 因为f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，
所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
13．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，直线y＝kx＋2与函数f(x)的图象相切，如图所示，则函数g(x)＝xf(x)的图象在点(3，g(3))处的切线方程为________．
答案 y＝3
解析 因为直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，由图象可知f(3)＝1，
又点(3,1)在直线l上，所以3k＋2＝1，
从而k＝－eq \f(1,3)，所以f′(x)＝k＝－eq \f(1,3)，
因为g(x)＝xf(x)，所以g(3)＝3f(3)＝3，
g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
则g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0，
即函数g(x)＝xf(x)的图象在点(3，g(3))处的切线斜率为零，
所以函数g(x)＝xf(x)的图象在点(3，g(3))处的切线方程为y＝3.
14．设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝eq \f(fx＋2,gx)，则h′(5)＝________.
答案 eq \f(5,16)
解析 由题意知f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，
∵h′(x)＝eq \f(f′xgx－[fx＋2]g′x,g2x)，
∴h′(5)＝eq \f(f′5g5－[f5＋2]g′5,g25)
＝eq \f(3×4－5＋2×1,42)＝eq \f(5,16).
15．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________．
答案 x－y－1＝0
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点坐标为(x0，y0)．
又∵f′(x)＝1＋ln x，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝x0ln x0，,y0＋1＝1＋ln x0x0，))
解得x0＝1，y0＝0.
∴切点坐标为(1,0)，
∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
∴直线l的方程为y＝x－1，
即x－y－1＝0.
16．已知函数f(x)＝eq \f(ax,x2＋b)，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．
解 (1)由题意得f′(x)＝eq \f(ax′x2＋b－axx2＋b′,x2＋b2)
＝eq \f(ax2＋b－2ax2,x2＋b2)＝eq \f(－ax2＋ab,x2＋b2)，
因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′1＝\f(－a＋ab,1＋b2)＝0，,f1＝\f(a,1＋b)＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝1，))
则f(x)＝eq \f(4x,x2＋1).
(2)由(1)可得，f′(x)＝eq \f(－4x2＋4,x2＋12)，
所以直线l的斜率
k＝f′(x0)＝eq \f(4－4x\\al(2,0),x\\al(2,0)＋12)＝4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,x\\al(2,0)＋12)－\f(1,x\\al(2,0)＋1)))，
令t＝eq \f(1,x\\al(2,0)＋1)，则t∈(0,1]，
所以k＝4(2t2－t)＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))2－eq \f(1,2)，
则在对称轴t＝eq \f(1,4)处取到最小值－eq \f(1,2)，在t＝1处取到最大值4，
所以直线l的斜率k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，4)).