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    北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 导数的几何意义精品课件ppt

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    这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 导数的几何意义精品课件ppt,文件包含§222导数的几何意义课件pptx、§222导数的几何意义教案docx等2份课件配套教学资源,其中PPT共60页, 欢迎下载使用。

    1.通过图象直观地理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
    下雨天,当我们将雨伞转动时,伞面边沿的水滴沿着伞边某点的切线方向飞出.实际上物体(看作质点)做曲线运动时,运动方向在不停地变化,其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向,如何研究曲线的切线问题呢?
    问题 (1)函数y=f(x)在[x0,x0+Δx]的平均变化率为 ,你能说出它的几何意义吗?
    提示 表示过A(x0,f(x0))和B(x0+Δx,f(x0+Δx))两点的直线的斜率,这条直线称为曲线y=f(x)在点A处的一条割线.
    (2)当Δx变化时,直线如何变化?
    提示 直线AB绕点A转动.
    (3)当Δx→0时,直线变化到哪里?
    提示 直线过点A与曲线y=f(x)相切位置.
    函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0),是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的____ ,函数y=f(x)在x0处 反映了导数的几何意义.
    注意点:(1)对切线的三点说明①与该点的位置有关.②曲线的切线是由割线绕一点转动,当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线.③曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.
    (2)曲线上某点处的导数与切线的关系①函数f(x)在x0处有导数,则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线,且导数值是该切线的斜率.②函数f(x)表示的曲线在点(x0,f(x0))处有切线,但函数f(x)在该点处不一定可导,如f(x)= 在x=0处有切线,但不可导.
    例1 (1)如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f′(4)等于 B.3 C.4 D.5
    解析 根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y=f(x)在x=4处的切线的斜率,
    (2)已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设k= ,则下列不等式正确的是A.k解析 函数的增长越来越快,所以函数在该点的斜率越来越大,∴f′(x1)反思感悟 导数的几何意义就是切线的斜率,所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决.
    跟踪训练1 已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是A.f′(xA)>f′(xB)B.f′(xA)解析 由导数的几何意义,知f′(xA),f′(xB)分别是曲线在点A,B处切线的斜率,由图象可知f′(xA)例2 已知曲线y= ,求曲线在点P(2,4)处的切线方程.
    ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
    延伸探究 本例曲线方程不变,求曲线过点P(2,4)的切线方程.
    ∵点P(2,4)在切线上,
    ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2.故所求的切线方程为x-y+2=0,或4x-y-4=0.
    反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
    跟踪训练2 求曲线f(x)= 在点(-2,-1)处的切线方程.
    整理得x+2y+4=0.
    例3 已知曲线y=x2-1在x=x0处的切线与曲线y=1-x3在x=x0处的切线互相平行,求x0的值.
    对于曲线y=1-x3,
    延伸探究 1.若本例3条件中的“平行”改为“垂直”,求x0的值.
    2.若本例3条件不变,试求出两条平行的切线方程.
    当x0=0时,两平行切线方程为y=-1或y=1.
    曲线y=1-x3的切线方程为36x+27y-11=0.∴所求两平行切线方程为y=-1与y=1或12x+9y+13=0与36x+27y-11=0.
    反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0,y0).(2)求切线的斜率f′(x0).(3)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0.(4)点(x0,y0)在曲线f(x)上,将(x0,y0)代入求y0,得切点坐标.
    跟踪训练3 已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则P点坐标为________.
    令4x0+4=16得x0=3,∴P(3,30).
    1.知识清单:(1)导数的几何意义.(2)求曲线上一定点处的切线方程.(3)求切点坐标.2.方法归纳:数形结合,待定系数法.3.常见误区:混淆在一点处的切线和过一点的切线.
    1.曲线y=-2x2+1在点(0,1)处的切线的斜率是A.-4 B.4 C.0 D.不存在
    2.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y+2=0,则f′(1)等于A.4 B.-4 C.-2 D.2
    解析 由导数的几何意义知f′(1)=2.
    3.曲线y= 在点Q(2,1)处的切线方程为A.x-y-1=0 B.x+y-3=0C.x-y+1=0 D.x+y-1=0
    ∴在点(2,1)处的切线方程为y-1=1·(x-2),即x-y-1=0.故选A.
    4.已知函数f(x)= 在x=x0处的切线的倾斜角为135°,则x0=_____.
    1.已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则点A处的切线斜率等于A.0 B.2 C.4 D.6
    解析 Δy=2(1+Δx)3-2×13=6Δx+6(Δx)2+2(Δx)3,
    2.下列说法正确的是A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在
    解析 k=f′(x0),所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在,而当斜率不存在时,切线方程也可能存在,其切线方程为x=x0.
    3.已知函数f(x)满足f′(x1)>0,f′(x2)<0,则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是
    解析 由f′(x1)>0,f′(x2)<0可知,f(x)的图象在x1处切线的斜率为正,在x2处切线的斜率为负.
    4.如图,函数y=f(x)的图象在点P(2,y)处的切线是l,则f(2)+f′(2)等于A.-4 B.3 C.-2 D.1
    解析 由图象可得函数y=f(x)的图象在点P处的切线是l,与x轴交于点(4,0),与y轴交于点(0,4),
    则l:x+y=4,∴f(2)=2,f′(2)=-1,f(2)+f′(2)=1.
    5.(多选)如果曲线y=x3+x-10的一条切线与直线y=4x+3平行,则该切点的坐标为A.(1,-8) B.(-1,-12)C.(-1,8) D.(1,12)
    ∴x0=±1.当x0=1时,y0=-8;当x0=-1时,y0=-12,即切点为(1,-8)或(-1,-12).
    6.(多选)下列各点中,在曲线y=f(x)=x3-2x上,且在该点处的切线倾斜角为 的是A.(0,0) B.(1,-1)C.(-1,1) D.(1,1)
    所以x0=±1,当x0=1时,y0=-1.当x0=-1时,y0=1.
    解析 设切点坐标为(x0,y0),
    7.抛物线y=x2在点P处的切线垂直于直线y=2x+3,则点P的坐标为___________.
    8.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则 =_____.
    解析 由导数的概念和几何意义知,
    9.在抛物线y=f(x)=x2上哪一点处的切线平行于直线4x-y+1=0?哪一点处的切线垂直于这条直线?
    解 设抛物线上点P(x0,y0)处的切线平行于直线4x-y+1=0,
    所以2x0=4,解得x0=2,
    设抛物线上点Q(x1,y1)处的切线垂直于直线4x-y+1=0,
    故抛物线y=x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x-y+1=0,
    10.已知直线l1为曲线y=f(x)=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2,求直线l2的方程.
    所以切线l1的斜率k=3,所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3,
    所以直线l2的方程为3x+9y+22=0.
    11.曲线y=x2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
    则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
    12.若曲线y=f(x)=x+ 上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是A.(-∞,-1) B.(-1,1)C.(-∞,1) D.(1,+∞)
    ∴切线方程为y=-5x.∴点P的纵坐标为y=-5×(-2)=10,将点P(-2,10)代入y=x2-x+c,得c=4.
    13.若抛物线f(x)=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点,则c的值为_____.
    解析 设在P点处切线的斜率为k,
    14.若点P是抛物线y=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为_____.
    解析 由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2,
    16.求过点(-1,0)与曲线y=x2+x+1相切的直线方程.
    解得x0=0或x0=-2.当x0=0时,切线斜率k=1,过(-1,0)的切线方程为y-0=x+1,即x-y+1=0.
    当x0=-2时,切线斜率k=-3,过(-1,0)的切线方程为y-0=-3(x+1),即3x+y+3=0.故所求切线方程为x-y+1=0或3x+y+3=0.
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