数学七年级下册第十四章 三角形综合与测试课时训练

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形综合测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形一定是（    ）．

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

2、已知长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得折痕EM，将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN，则图中与∠B′ME互余的角有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

3、BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=（     ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

4、在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC等于（    ）

A．65° B．80° C．115° D．50°

5、如图，在中，AD是角平分线，且，若，则的度数是（    ）

A．45° B．50° C．52° D．58°

6、等腰三角形的一个顶角是80°，则它的底角是（    ）．

A．40° B．50° C．60° D．70°

7、如图，在中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，，CD的长为5，则的面积为（    ）

A．8 B．10 C．20 D．40

8、如图，E为线段BC上一点，∠ABE=∠AED=∠ECD=90°，AE=ED，BC=20，AB=8，则BE的长度为（    ）

A．12 B．10 C．8 D．6

9、三角形的外角和是（　　）

A．60° B．90° C．180° D．360°

10、尺规作图：作角等于已知角．示意图如图所示，则说明的依据是（    ）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，已知△ABC是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA =______．

2、如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝50°，连接AC、BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠AMB＝50°；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD．其中正确的结论是 _____．（填序号）

3、在等腰△ABC中，∠A＝40°，则∠B＝_____°．

4、如图，中，，点在边上，，若，则的度数为_______．

5、已知直角三角形△ABC的三条边长分别为3，4，5，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画___条．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，∠A=50°，求∠BCD的度数．

2、已知：如图，，，求证：

3、如图，是的角平分线，于点．

（1）用尺规完成以下基本作图：过点作于点，连接交于点．（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）中所作的图形中，求证：．

4、如图，在△ABC中， AB＝AC，AD是△ABC的中线，BE平分∠ABC交AD于点E，连接EC．求证：CE平分∠ACB．

5、如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点F，，，．求和的度数．

6、 “三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝∠AOB．

我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．

已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．

求证：∠APB ＝∠AOB．

7、如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝（30°＜＜60°），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE．

（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数；

（2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明．

分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质……

②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．

请根据上述分析过程，完成解答过程．

8、如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰，且使得点为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰．

9、如图，在中，、分别是上的高和中线，，，求的长．

10、如图，E为AB上一点，BD∥AC，AB＝BD，AC＝BE．求证：BC＝DE．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得到答案．

【详解】

如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线

∵AD=CD=BD

∴∠A=∠DCA，∠B=∠DCB

∵∠A+∠ACB+∠B=180°

∴ ∠A+∠DCA+∠DCB+∠B=180

即2∠A+2∠B=180°

∴∠A+∠B=90°

∴∠ACB=90°

∴△ABC是直角三角形

故选：B

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练运用这两个知识是关键．

2、C

【分析】

先由翻折的性质得到∠AEN=∠A′EN，∠BEM=∠B′EM，从而可知∠NEM=×180°=90°，然后根据余角的定义找出∠B′ME的余角即可．

【详解】

解：由翻折的性质可知：∠AEN=∠A′EN，∠BEM=∠B′EM．

∠NEM=∠A′EN+∠B′EM=∠AEA′+∠B′EB=×180°=90°．

由翻折的性质可知：∠MB′E=∠B=90°．

由直角三角形两锐角互余可知：∠B′ME的一个余角是∠B′EM．

∵∠BEM=∠B′EM，

∴∠BEM也是∠B′ME的一个余角．

∵∠NBF+∠B′EM=90°，

∴∠NEF=∠B′ME．

∴∠ANE、∠A′NE是∠B′ME的余角．

综上所述，∠B′ME的余角有∠ANE、∠A′NE、∠B′EM、∠BEM．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查的是翻折的性质、余角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．

3、A

【分析】

根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．

【详解】

∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，

∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，

∵∠PCM是△BCP的外角，

∴∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，

故选：A．

【点睛】

本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

4、C

【分析】

根据题意画出图形，求出∠ABC+∠ACB =130°，根据角平分线的定义得到∠CBD=∠ABC，∠ECB=∠ACB，再根据三角形内角和定理和角的代换即可求解．

【详解】

解：如图，∵∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，

∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，

∴∠CBD=∠ABC，∠ECB=∠ACB，

∴∠BOC=180°-∠CBD-∠ECB=180°-（∠CBD+∠ECB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- ×130°=115°．

故选：C

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理，并能根据角平分线的定义进行角的代换是解题关键．

5、A

【分析】

根据角平分线性质求出∠DCA，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠C和∠B即可．

【详解】

解：∵AD是角平分线，，

∴∠DCA==30°，

∵AD=AC，

∴∠C=（180°－∠DCA）÷2=75°，

∴∠B=180°－∠BAC－∠C=180°－60°－75°=45°，

故选：A．

【点睛】

本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．

6、B

【分析】

依据三角形的内角和是180°以及等腰三角形的性质即可解答．

【详解】

解：（180°-80°）÷2

=100°÷2

=50°；

答：底角为50°．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查三角形的内角和定理及等腰三角形的两个底角相等的特点．

7、C

【分析】

根据三角形中线的性质得出CB的长为10，再用三角形面积公式计算即可．

【详解】

解：∵AD是边BC上的中线，CD的长为5，

∴CB=2CD=10，

的面积为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形中线的性质和面积公式，解题关键是明确中线的性质求出底边长．

8、A

【分析】

利用角相等和边相等证明，利用全等三角形的性质以及边的关系，即可求出BE的长度．

【详解】

解：由题意可知：∠ABE=∠AED=∠ECD=90°，

，，

，

在和中，

，

，

，

故选：A．

【点睛】

本题主要是考查了全等三角形的判定和性质，熟练通过已知条件证明三角形全等，利用全等性质及边的关系，来求解未知边的长度，这是解决本题的主要思路．

9、D

【分析】

根据三角形的内角和定理、邻补角的性质即可得．

【详解】

解：如图，，

，

又，

，

即三角形的外角和是，

故选：D．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．

10、A

【分析】

利用基本作图得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，则根据全等三角形的判定方法可根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，然后根据全等三角形的性质得到∠A′OB′＝∠AOB．

【详解】

解：由作法可得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，

所以根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，

所以∠A′OB′＝∠AOB．

故选：A．

【点睛】

本题考查了作图﹣基本作图和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握基本作图和全等三角形的判定定理．

二、填空题

1、

【分析】

延长AG交BC于D，根据重心的概念得到AD⊥BC，BD=DC=BC=，根据勾股定理求出AD，根据重心的概念计算即可．

【详解】

解：延长AG交BC于D，

∵G是三角形的重心，

∴AD⊥BC，BD=DC=BC=，

由勾股定理得，AD=，

∴GA=AD=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是等边三角形的性质、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．

2、①②④

【分析】

由证明得出，，①正确；

由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；

作于，于，如图所示：则，利用全等三角形对应边上的高相等，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；

假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．

【详解】

解：，

，

即，

在和中，

，

，

，，故①正确；

，

由三角形的外角性质得：

，

，故②正确；

作于，于，如图所示，

则，

，

，

平分，故④正确；

假设平分，则，

在与中，

，

，

，

，

，

而，故③错误；

所以其中正确的结论是①②④．

故答案为：①②④．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．

3、40°或70°或100°

【分析】

本题要分两种情况讨论：当∠A=40°为顶角；当∠A=40°为底角时，则∠B为底角时或顶角．然后求出∠B．

【详解】

分两种情况讨论：

当∠A=40°为顶角时，；

当∠A=40°为底角时，∠B为底角时∠B=∠A=40°；∠B为顶角时∠B=180°−∠A−∠C=180°−40°−40°=100°．

故答案为：40°或70°或100°．

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，分情况讨论问题.

4、

【分析】

先求出∠EDC=35°，然后根据平行线的性质得到∠C=∠EDC=35°，再由直角三角形两锐角互余即可求解．

【详解】

解：∵∠1=145°，

∴∠EDC=35°，

∵DE∥BC，

∴∠C=∠EDC=35°，

又∵∠A=90°，

∴∠B=90°-∠C=55°，

故答案为：55°．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，求出∠C的度数是解题的关键．

5、6

【分析】

根据等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．

【详解】

解：如图所示：

当BC2=CC2，AC1=AC，BC=BC3，BC=CC4，BC=CC5，C6A=C6B都能得到符合题意的等腰三角形．

故答案为：6．

【点睛】

此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．

三、解答题

1、25°

【分析】

直接利用等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，进而利用三角形内角和定理得出答案．

【详解】

∵AB=AC，∠A=50°，

∴∠ABC=∠ACB=65°，

∵CD⊥BC于点D，

∴∠BCD的度数为：180°−90°−65°=25°．

【点睛】

此题主要考查了等腰三角形的性质，正确得出∠B的度数是解题关键．

2、证明见解析

【分析】

由，，结合公共边 从而可得结论.

【详解】

证明：在与中，

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明三角形全等”是解本题的关键.

3、（1）见解析；（2）见解析．

【分析】

（1）以点D为圆心，适当长为半径，作弧，交AC于两点，再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，连接两条弧的交点所在的直线，该直线与AC的交点即为点F，连接交于点；

（2）利用角平分线性质可得，由此证明，得到，继而证明，证得即可解题．

【详解】

解：（1）如图，点F、G即为所求作的点；

（2）是的角平分线，，，

【点睛】

本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

4、见解析

【分析】

根据等腰三角形的性质，可得∠ADB=∠ADC=90°，∠ABC=∠ACB，BD=CD，从而得到△BDE≌△CDE，进而得到∠DCE=∠DBE，再由BE平分∠ABC，可得 ，进而得到，即可求证．

【详解】

解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，

∴∠ADB=∠ADC=90°，∠ABC=∠ACB，BD=CD，

∵DE=DE，

∴△BDE≌△CDE，

∴∠DCE=∠DBE，

∵BE平分∠ABC，

∴ ，

∴，

∴，

∴CE平分∠ACB．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等，等腰三角形“三线合一”是解题的关键．

5、87°，40°

【分析】

根据三角形外角的性质可得，，代入计算即可求出，再根据三角形内角和定理求解即可．

【详解】

解：∵，，

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了三角形内角和和外角的性质，解题关键是准确识图，理清角之间的关系，准确进行计算．

6、见解析

【分析】

由，得出为等腰三角形，由外角的性质及等量代换得，再次利用外角的性质及等量代换得，即可证明．

【详解】

解：，

为等腰三角形，

，

由外角的性质得：，

，

再由外角的性质得：，

，

．

【点睛】

本题考查了等腰三角形、外角的性质、解题的关键是掌握外角的性质及等量代换的思想进行求解．

7、（1）图见解析，∠AEB＝60°；（2）AE＝BE＋CE，证明见解析

【分析】

（1）依题意补全图形，如图所示：然后连接AD，先求出，然后根据轴对称的性质得到，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，求出，即可求出，再由进行求解即可；

（2）如图，在AE上截取EG＝BE，连接BG．先证明△BGE是等边三角形，得到BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°． 再证明∠ABG＝∠CBE，即可证明△ABG≌△CBE得到AG＝CE，则AE＝EG＋AG＝BE＋CE．

【详解】

解：（1）依题意补全图形，如图所示：连接AD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∵，

∴，

∵B、D关于AP对称，

∴，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，

∴，

∴，

∴，

∴

∴∠AEB＝60°．

（2）AE＝BE＋CE．

证明：如图，在AE上截取EG＝BE，连接BG．

∵∠AEB＝60°，

∴△BGE是等边三角形，

∴BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝60°，

∴∠ABG＋∠GBC＝∠GBC＋∠CBE＝60°，

∴∠ABG＝∠CBE．

在△ABG和△CBE中，

∴△ABG≌△CBE（SAS），

∴AG＝CE，

∴AE＝EG＋AG＝BE＋CE．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键

8、答案见解析

【分析】

AB为4个等边三角形组成的平行四边形的对角线，因此只要找到另一腰也4个等边三角形组成的平行四边形的对角线即可

【详解】

解：如图，

……

[答案不唯一]

【点睛】

本题考查等腰三角形的绘图，掌握等边三角形和等腰三角形性质即可．

9、6cm

【分析】

先根据中线的定义结合已知条件求得AB，然后再运用三角形的面积公式求解即可.

【详解】

解：∵是边上的中线，

∴是的中点，

∴，

∵，

∴，

∴=.

【点睛】

本题主要考查了三角形的中线的定义以及三角形的面积公式，掌握三角形中线的定义成为解答本题的关键.

10、见解析

【分析】

根据平行线的性质可得，利用全等三角形的判定定理即可证明．

【详解】

证明：∵，

∴．

在和中，

，

∴，

∴．

【点睛】

题目主要考查全等三角形的判定定理和平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．