数学七年级下册第十四章 三角形综合与测试当堂达标检测题

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形定向测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一个三角形三个内角的度数分别是x，y，z．若，则这个三角形是（    ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．不存在

2、在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠C＝（　　）

A．70° B．80° C．100° D．120°

3、如图，点F，C在BE上，AC＝DF，BF＝EC，AB＝DE，AC与DF相交于点G，则与2∠DFE相等的是（　　）

A．∠A+∠D B．3∠B C．180°﹣∠FGC D．∠ACE+∠B

4、如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（    ）．

A．25° B．60° C．90° D．100°

5、下列四个命题是真命题的有（　　）

①同位角相等；

②相等的角是对顶角；

③直角三角形两个锐角互余；

④三个内角相等的三角形是等边三角形．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6、满足下列条件的两个三角形不一定全等的是（    ）

A．周长相等的两个三角形 B．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形

C．三边都对应相等的两个三角形 D．两条直角边对应相等的两个直角三角形

7、已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（    ）

A．10 B．15 C．17 D．19

8、如图，点A、B、C、D在一条直线上，点E、F在AD两侧，，，添加下列条件不能判定的是（    ）

A． B． C． D．

9、在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC等于（    ）

A．65° B．80° C．115° D．50°

10、下列三个说法：

①有一个内角是30°，腰长是6的两个等腰三角形全等；

②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等；

③有两条边长分别为5，12的两个直角三角形全等．

其中正确的个数有（    ）．

A．3 B．2 C．1 D．0

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，点，在直线上，且，且，过，，分别作，，，若，，，则的面积是______．

2、如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，E为AB上一点，∠DCE＝∠DAE＝60°，AD＝2.4，BE＝7，则DE＝_____．

3、如图，上午9时，一艘船从小岛A处出发，以12海里/时的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是______海里．

4、如图，在△ABC中，点D为BC边延长线上一点，若∠ACD＝75°，∠A＝45°，则∠B的度数为__________．

5、如图，线段AC与BD相交于点O，∠A＝∠D＝90°，要证明△ABC≌△DCB，还需添加的一个条件是____________．(只需填一个条件即可)

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AE=AC．求证：AD∥CE．

2、如图，在中，是的平分线，点在边上，且．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，，求的大小．

3、如图，在中，，，，BD是的角平分线，点E在AB边上，．求的周长．

4、如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．求证：OB＝OC．

5、如图，是等边三角形，D点是BC上一点，，于点E，CE交AD于点P．求的度数．

6、如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝（30°＜＜60°），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE．

（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数；

（2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明．

分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质……

②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．

请根据上述分析过程，完成解答过程．

7、中，，以点为中心，分别将线段，逆时针旋转得到线段，，连接，延长交于点．

（1）如图1，若，的度数为________；

（2）如图2，当吋，

①依题意补全图2；

②猜想与的数量关系，并加以证明．

8、如图，为等边三角形，D是BC中点，，CE是的外角的平分线．

求证：．

9、如图，已知点E、C在线段BF上，，，．求证：．

10、如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．求证：．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

根据绝对值及平方的非负性可得，，再由三角形内角和定理将两个式子代入求解可得，，即可确定三角形的形状．

【详解】

解：，

∴且，

∴，，

∴，

∵，

∴，

解得：，，

∴三角形为等腰直角三角形，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查绝对值及平方的非负性，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等，理解题意，列出式子求解是解题关键．

2、D

【分析】

根据三角形的内角和，①，进而根据已知条件，将代入①即可求得

【详解】

解：∵在△ABC中，，∠A＝∠B＝∠C，

∴

解得

故选D

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．

3、C

【详解】

由题意根据等式的性质得出BC＝EF，进而利用SSS证明△ABC与△DEF全等，利用全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DFE，最后利用三角形内角和进行分析解答．

【分析】

解：∵BF＝EC，

∴BF+FC＝EC+FC，

∴BC＝EF，

在△ABC与△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SSS），

∴∠ACB＝∠DFE，

∴2∠DFE＝180°﹣∠FGC，

故选：C．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，其中全等三角形的判定方法有：SSS；SAS；ASA；AAS；以及HL（直角三角形的判定方法）．

4、D

【分析】

由等边三角形的性质及三角形外角定理即可求得结果．

【详解】

∵是等边三角形

∴∠C=60°

∴∠ADB=∠DBC+∠C=40°+60°=100°

故选：D

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，掌握这两个性质是关键．

5、B

【分析】

利用平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的性质及等边三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

①两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；

②相等的角是对顶角，错误，是假命题；

③直角三角形两个锐角互余，正确，是真命题；

④三个内角相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，

综上所述真命题有2个，

故选：B．

【点睛】

本题考查了命题真假的判断，要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明、推理、证明，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．

6、A

【分析】

根据全等三角形的判定方法求解即可．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS对各选项进行一一判断即可．

【详解】

解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，符合题意；

B、有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形根据三边对应相等判定定理可判定全等，不符合题意；

C、三边都对应相等的两个三角形根据三边对应相等判定定理可判定全等，不符合题意；

D、两条直角边对应相等的两个直角三角形根据SAS判定定理可判定全等，不符合题意．

故选：A．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．

7、C

【分析】

等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．

【详解】

解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．

②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．

故选：C．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．

8、A

【分析】

根据题意，可得，结合选项根据三角形全等的性质与判定逐项分析即可．

【详解】

解：

A. ，，不能根据SSA证明三角形全等，故该选项符合题意；

B.

,

故能判定，不符合题意；

C. ,，

，故能判定，不符合题意；

D.

，故能判定，不符合题意；

故选A

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．

9、C

【分析】

根据题意画出图形，求出∠ABC+∠ACB =130°，根据角平分线的定义得到∠CBD=∠ABC，∠ECB=∠ACB，再根据三角形内角和定理和角的代换即可求解．

【详解】

解：如图，∵∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，

∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，

∴∠CBD=∠ABC，∠ECB=∠ACB，

∴∠BOC=180°-∠CBD-∠ECB=180°-（∠CBD+∠ECB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- ×130°=115°．

故选：C

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理，并能根据角平分线的定义进行角的代换是解题关键．

10、C

【分析】

根据三角形全等的判定方法，等腰三角形的性质和直角三角形的性质判断即可．

【详解】

解：①当一个是底角是30°，一个是顶角是30°时，两三角形就不全等，故本选项错误；

②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等，本选项正确；

③当一条直角边为12，一条斜边为12时，两个直角三角形不全等，故本选项错误；正确的只有1个，

故选：C．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

二、填空题

1、15

【分析】

根据AAS证明△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，再根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式求解即可．

【详解】

解：（1）∵EF⊥FG，BG⊥FG，

∴∠EFA=∠AGB=90°，

∴∠AEF+∠EAF=90°，

又∵AE⊥AB，即∠EAB=90°，

∴∠BAG+∠EAF=90°，

∴∠AEF=∠BAG，

在△AEC和△CDB中，

，

∴△EFA≌△AGB（AAS）；

同理可证△BGC≌△CHD（AAS），

∴AG=EF=6，CG=DH=4，

∴S△ABC=ACBG=(AG+GC)BG=(6+4)3=15．

故答案为：15．

【点睛】

本题考查了三角形全等的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

2、4.6

【分析】

在AB上截取BF=AD，连接CF，通过证明△ADC≌△BFC，可得∠ACD=∠BCF，CD=CF，由“SAS”可得△DCE≌△FCE，可得DE=EF，即可求得结果．

【详解】

解：如图，在AB上截取BF＝AD，连接CF，

∵CA＝CB，∠ACB＝120°，

∴∠CAB＝∠CBA＝30°，

∵∠DAE＝60°

∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAB＝30°

∴∠DAC＝∠CBA，且AD＝BF，AC＝BC

∴△ADC≌△BFC（SAS）

∴∠ACD＝∠BCF，CD＝CF，

∵∠ACB＝∠ACE+∠ECF+∠BCF＝∠ACE+∠ECF+∠ACD＝∠DCE+∠ECF＝120°

∴∠ECF＝60°＝∠DCE，且CE＝CE，DC＝CF

∴△DCE≌△FCE（SAS）

∴DE＝EF

∴DE＝BE﹣BF＝BE﹣AD＝7﹣2.4＝4.6，

故答案为4.6

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．

3、20

【分析】

根据所给的角的度数，容易证得是等腰三角形，而的长易求，所以根据等腰三角形的性质，的值也可以求出．

【详解】

解：据题意得，，，

，

，

，

，

（海里）．

故答案是：20．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质及方向角的问题，解题的关键是由已知得到三角形是等腰三角形，要学会把实际问题转化为数学问题，用数学知识进行解决实际问题的方法．

4、30°

【分析】

根据三角形的外角的性质，即可求解．

【详解】

解：∵ ，

∴ ，

∵∠ACD＝75°，∠A＝45°，

∴ ．

故答案为：30°

【点睛】

本题主要考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

5、答案不唯一，如：AC＝DB，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB

【分析】

根据全等三角形的判定条件求解即可．

【详解】

解：∵∠A＝∠D＝90°，BC=CB，

∴只需要添加：AC＝DB或AB＝DC，即可利用HL证明△ABC≌△DCB；添加∠ABC＝∠DCB可以利用AAS证明△ABC≌△DCB，

故答案为：答案不唯一，如：AC＝DB，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．

三、解答题

1、见解析．

【分析】

先根据角平分线的定义得到∠BAD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质和三角形外角定理得到∠E=∠BAC，从而得到∠BAD=∠E，即可证明AD∥CE．

【详解】

解：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠BAC，

∵AE=AC，

∴∠E=∠ACE，

∵∠E+∠ACE=∠BAC，

∴∠E=∠BAC，

∴∠BAD=∠E，

∴AD∥CE．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形外角定理，熟知相关定理并灵活应用是解题关键．

2、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【分析】

（Ⅰ）由CD是的平分线得出，由得出

从而得出，由平行线的判断即可得证；

（Ⅱ）由三角形内角和求出，由角平分线得出，由三角形内角和求出即可得出答案．

【详解】

（Ⅰ）∵CD是的平分线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（Ⅱ）∵，，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查平行线的判定以及三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键

3、

【分析】

由题意结合角平分线性质和全等三角形判定得出，进而依据的周长进行求解即可.

【详解】

解：∵，，，

∴,

∵BD是的角平分线，

∴,

在和中，

,

∴，

∴，

∵，

∴的周长.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握利用全等三角形的判定与性质以及角平分线性质进行边的等量替换是解题的关键.

4、见解析

【分析】

根据SAS证明△AEC与△ADB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．

【详解】

证明：在△AEC与△ADB中，

，

∴△AEC≌△ADB（SAS），

∴∠ACE＝∠ABD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴OB＝OC．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△AEC≌△ADB是本题的关键．

5、

【分析】

由题意易得，，则有，然后可得，进而可证，则有，最后问题可求解．

【详解】

解：∵是等边三角形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴（SAS），

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．

6、（1）图见解析，∠AEB＝60°；（2）AE＝BE＋CE，证明见解析

【分析】

（1）依题意补全图形，如图所示：然后连接AD，先求出，然后根据轴对称的性质得到，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，求出，即可求出，再由进行求解即可；

（2）如图，在AE上截取EG＝BE，连接BG．先证明△BGE是等边三角形，得到BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°． 再证明∠ABG＝∠CBE，即可证明△ABG≌△CBE得到AG＝CE，则AE＝EG＋AG＝BE＋CE．

【详解】

解：（1）依题意补全图形，如图所示：连接AD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∵，

∴，

∵B、D关于AP对称，

∴，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，

∴，

∴，

∴，

∴

∴∠AEB＝60°．

（2）AE＝BE＋CE．

证明：如图，在AE上截取EG＝BE，连接BG．

∵∠AEB＝60°，

∴△BGE是等边三角形，

∴BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝60°，

∴∠ABG＋∠GBC＝∠GBC＋∠CBE＝60°，

∴∠ABG＝∠CBE．

在△ABG和△CBE中，

∴△ABG≌△CBE（SAS），

∴AG＝CE，

∴AE＝EG＋AG＝BE＋CE．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键

7、

（1）120°

（2）①图形见解析；②

【分析】

（1）根据进而判断出点E在边AB上，得出△ADE≌△ABC（SAS），进而得出∠AED=∠ACB=90°最后用三角形的外角的性质即可得出结论；

（2）①依题意补全图形即可；②先判断出△ADE≌△ABC（SAS），进而得出∠AEF=90°，即可判断出Rt△AEF≌Rt△ACF，进而求出∠CAF=∠CAE=30°，即可得出结论．

（1）

（1）如图1，

在Rt△ABC中，∠B=30°，

∴∠BAC=60°，

由旋转知，∠CAE=60°=∠CAB，

∴点E在边AB上，

∵AD=AB，AE=AC，

∴△ADE≌△ABC（SAS），

∴∠AED=∠ACB=90°，

∴∠CFE=∠B+∠BEF=30°+90°=120°，

故答案为120°；

（2）

（2）①依题意补全图形如图2所示，

②如图2，连接AF，

∵∠BAD=∠CAE，

∴∠EAD=∠CAB，

∵AD=AB，AE=AC，

∴△ADE≌△ABC（SAS），

∴∠AED=∠C=90°，

∴∠AEF=90°，

∴Rt△AEF≌Rt△ACF(HL)，

∴∠EAF=∠CAF，

∴∠CAF=∠CAE=30°，

在Rt△ACF中，CF=AF，且AC2+CF2=AF2，

∴

【点睛】

此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，判断出△ADE≌△ABC是解本题的关键．

8、证明见解析.

【分析】

过D作DG∥AC交AB于G，由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDG＝∠BGD＝60°，于是得到△BDG是等边三角形，再证明△AGD≌△DCE即可得到结论.

【详解】

证明：过D作DG∥AC交AB于G，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，

又∵DG∥AC，

∴∠BDG＝∠BGD＝60°，

∴△BDG是等边三角形，∠AGD＝180°−∠BGD＝120°，

∴DG＝BD，

∵点D为BC的中点，

∴BD＝CD，

∴DG＝CD，

∵EC是△ABC外角的平分线，

∴∠ACE＝（180°−∠ACB）＝60°，

∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝120°＝∠AGD，

∵AB＝AC，点D为BC的中点，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

又∵∠BDG＝60°，∠ADE＝60°，

∴∠ADG＝∠EDC＝30°，

在△AGD和△ECD中，

，

∴△AGD≌△ECD（ASA）．

∴AD＝DE．

【点睛】

本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

9、见解析

【分析】

由平行线的性质可证明．再由，可推出．最后即可利用“ASA”直接证明．

【详解】

证明：

，即．

∴在和中，

．

【点睛】

本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，线段的和与差．掌握三角形全等的判定条件是解答本题的关键．

10、见解析

【分析】

根据平行线的性质得出，运用“角角边”证明△AEB≌△CFD即可．

【详解】

证明：∵，

∴，

在△AEB和△CFD中，

∴△AEB≌△CFD，

∴．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理进行证明．