数学七年级下册第十三章 相交线 平行线综合与测试课后测评

七年级数学第二学期第十三章相交线 平行线定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，下列给定的条件中，不能判定的是（　　）

A． B． C． D．

2、如图，不能推出a∥b的条件是（　　）

A．∠4＝∠2 B．∠3+∠4＝180° C．∠1＝∠3 D．∠2+∠3＝180°

3、如图所示，给出了过直线外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是（    ）．

A．同位角相等，两直线平行． B．内错角相等，两直线平行．

C．同旁内角互补，两直线平行． D．以上都不对．

4、如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角（    ）

A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补

5、如所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（    ）

A． B． C． D．

6、如图，点D是AB上的一点，点E是AC边上的一点，且∠B＝70°，∠ADE＝70°，∠DEC＝100°，则∠C是(       )

A．70° B．80° C．100° D．110°

7、如图，直线AB∥CD，直线AB、CD被直线EF所截，交点分别为点M、点N，若∠AME＝130°，则∠DNM的度数为（       ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

8、在下列各题中，属于尺规作图的是（    ）

A．用直尺画一工件边缘的垂线

B．用直尺和三角板画平行线

C．利用三角板画的角

D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段

9、如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（　　）

A．∠1＝∠3 B．∠2+∠3＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1+∠4＝180°

10、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、规律探究：同一平面内有直线a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规律，a1和a100的位置是________．

2、如图，口渴的马儿在点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路奔跑，依据是___________．

3、如图，已知是上一点，平分交于点，，则的度数为_______________．

4、已知，线段AB垂直于线段CD，垂足为O，OE平分∠AOC，∠BOF＝28°，则∠EOF＝____°．

5、指出图中各对角的位置关系：

（1）∠C和∠D是_____角；

（2）∠B和∠GEF是____角；

（3）∠A和∠D是____角；

（4）∠AGE和∠BGE是____角；

（5）∠CFD和∠AFB是____角．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、（1）用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画出几条？

（2）经过直线上一点A画的垂线，这样的垂线能画出几条？

（3）经过直线外一点B画的垂线，这样的垂线能画出几条？

2、如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤30，单位：秒）

（1）当t＝3时，求∠AOB的度数；

（2）在运动过程中，当∠AOB达到60°时，求t的值；

（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．

3、将一个含有60°角的三角尺ABC的直角边BC放在直线MN上，其中∠ABC＝90°，∠BAC＝60°．点D是直线MN上任意一点，连接AD，在∠BAD外作∠EAD，使∠EAD＝∠BAD．

（1）如图，当点D落在线段BC上时，若∠BAD＝18°，求∠CAE的度数；

（2）当点E落在直线AC上时，直接写出∠BAD的度数；

（3）当∠CAE：∠BAD＝7：4时，直接写出写∠BAD的度数．

4、在三角形ABC中，于D，F是BC上一点，于H，E在AC上，．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，若，请直接写出图中与互余的角，不需要证明．

5、如图，为解决A、B、C、D四个村庄的用水问题．政府准备投资修建一个蓄水池．

（1）若使蓄水池与四个村庄的距离的和最小，请画出蓄水池P的位置；

（2）为把河道l中的水引入蓄水池P中，需要再修建一条引水渠．若使引水渠的长度最小，请画出引水渠PQ的修建线路．

6、作图并计算：如图，点O在直线上．

（1）画出的平分线（不必写作法）；

（2）在（1）的前提下，若，求的度数．

7、完成下面的证明：

已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC．

证明：∵AB⊥AC（已知）

∴∠　   　＝90°（ 　   　）

∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知）

∴∠1+∠BAC+∠B＝　   　（ 　   　）

即∠　   　+∠B＝180°

∴AD∥BC（ 　   　）

8、请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上）：

9、如图，现有以下3个论断：①ABCD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．

（1）你构造的是哪几个命题？

（2）请选择其中一个真命题加以证明．

10、任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角？各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

根据平行线的判定条件：同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等，两直线平行，进行逐一判断即可．

【详解】

解：A选项：当∠1=∠A时，可知是DE和AC被AB所截得到的同位角，可得到DE∥AC，而不是AB∥DF，故符合题意；

B选项：当∠A=∠3时，可知是AB、DF被AC所截得到的同位角，可得AB∥DF，故不符合题意；

C选项：当∠1=∠4时，可知是AB、DF被DE所截得到的内错角，可得AB∥DF，故不符合题意；

D选项：当∠2+∠A=180°时，是一对同旁内角，可得AB∥DF；故不符合题意；

故选A．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．

2、B

【分析】

根据平行线的判定方法，逐项判断即可．

【详解】

解：、和是一对内错角，当时，可判断，故不符合题意；

、和是邻补角，当时，不能判定，故符合题意；

、和是一对同位角，当时，可判断，故不合题意；

、和是一对同旁内角，当时，可判断，故不合题意；

故选B．

【点睛】

本题考查了平行线的判定．解题的关键是：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．

3、A

【分析】

由作图可得同位角相等，根据平行线的判定可作答．

【详解】

解：由图形得，有两个相等的同位角，所以依据为：同位角相等，两直线平行．

故选：A．

【点睛】

本题考查的是作平行线，熟知过直线外一点，作已知直线的平行线的方法和平行线的判定定理是解答此题的关键．

4、D

【分析】

根据平行线的性质，结合图形解答即可．

【详解】

如图，当AE∥BD时，∠EAB与∠DBC符合题意，

∴∠EAB=∠DBC；

如图，当AE∥BD时，∠EAF与∠DBC符合题意，

∵∠EAB+∠EAF=180°，∠EAB=∠DBC，

∴∠DBC +∠EAF=180°，

故选D．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，灵活运用属性结合是解题的关键．

5、B

【分析】

根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．

【详解】

解：A．∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角；

B．∠1与∠2有公共顶点，并且两边互为反向延长线，是对顶角；

C．∠1与∠2虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角；

D．∠1与∠2虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的定义是解题的关键．

6、B

【分析】

先证明DEBC，根据平行线的性质求解．

【详解】

解：因为∠B＝∠ADE＝70°

所以DEBC，

所以∠DEC+∠C＝180°，所以∠C＝80°.

故选：B．

【点睛】

此题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟知同位角相等，两直线平行．

7、C

【分析】

由对顶角得到∠BMN=130°，然后利用平行线的性质，即可得到答案．

【详解】

解：由题意，

∵∠BMN与∠AME是对顶角，

∴∠BMN=∠AME=130°，

∵AB∥CD，

∴∠BMN+∠DNM=180°，

∴∠DNM=50°；

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到∠BMN=130°．

8、D

【分析】

根据尺规作图的定义：用没有刻度的直尺和圆规作图，只使用圆规和直尺来解决平面几何作图，进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、用直尺画一工件边缘的垂线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；

B、用直尺和三角板画平行线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；

C、利用三角板画45°的角，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；

D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段，是尺规作图，故此选项符合题意；

故选D．

【点睛】

本题主要考查了尺规作图的定义，解题的关键在于熟知定义．

9、D

【分析】

同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，根据平行线的判定方法逐一分析即可.

【详解】

解：（同位角相等，两直线平行），故A不符合题意；

∠2+∠3＝180°，（同旁内角互补，两直线平行）故B不符合题意；

（同位角相等，两直线平行）故C不符合题意；

∠1+∠4＝180°，不是同旁内角，也不能利用等量代换转换成同旁内角，

所以不能判定 故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是平行线的判定，对顶角相等，掌握“平行线的判定方法”是解本题的关键.

10、B

【分析】

根据对顶角的定义作出判断即可．

【详解】

解：根据对顶角的定义可知：只有B选项的是对顶角，其它都不是．

故选：B．

【点睛】

本题考查对顶角的定义，解题关键是明确两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．

二、填空题

1、a1∥a100；

【分析】

从已知两直线的位置关系，运用平行线的性质，观察分析得几条特殊直线与a1的位置关系为a1∥a4，a1∥a5；a1⊥a2，a1 ⊥a3；且a1与an的位置关系是4为周期进行循环，下角标的余数为0或1时与a1平行，下角标的余数为2或3时与a1垂直，计算100=4×25，余数为0判定两直线的位置关系为a1∥a100．

【详解】

解：在同一平面内有直线两直线的位置，

关系是相交或平行，如图所示：

∵a1⊥a2，a2∥a3，

∴a1 ⊥a3，

又∵a3⊥a4，

∴a1∥a4，

又∵a4∥as，

∴a1∥a5，

又∵a5⊥a6，

∴a1⊥a6，

又∵a6∥a7，

∴a1⊥a7，

…

从以上的规律可知：a1与an的位置关系是4为周期进行循环，

若下角标的余数为0或1时与a1平行；若下角标的余数为2或3时与a1垂直．

∵100=4×25，

∴a1∥a100，

故答案为：a1∥a100．

【点睛】

本题综合考查了平行线的性质，同一平面内图形的变化规律，倍数和余数的运用等相关知识点，重点是掌握平行线的性质，难点是掌握由特殊到一般图形变化规律在几何中的运用．

2、垂线段最短

【分析】

根据点到直线，垂线段最短，即可求解．

【详解】

解：因为 垂直于小河边所在直线，

所以它应该沿着线路奔跑，依据是垂线段最短．

故答案为：垂线段最短．

【点睛】

本题主要考查了点与直线的关系，熟练掌握点到直线，垂线段最短是解题的关键．

3、

【分析】

根据平行线的性质可得，根据平分线的性质可得，进而即可求得的度数．

【详解】

，

，

平分，，

，

故答案为：

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．

4、107

【分析】

分两种情况：①射线OF在∠BOC内部；②射线OF在∠BOD内部．

【详解】

解：∵AB⊥CD，垂足为O，

∴∠AOC=∠COB=90°，

∵OE平分∠AOC，

∴∠AOE=∠COE=∠AOC=45°．

分两种情况：

①如图1，射线OF在∠BOC内部时，

∵∠AOE=45°，∠BOF=28°，

∴∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF=107°；

②如图2，射线OF在∠BOD内部时，

∵∠COE=45°，∠COB=90°，∠BOF=28°，

∴∠EOF=∠COE+∠COB+∠BOF=163°．

故答案为107或163．

【点睛】

本题考查了垂直的定义，角平分线定义以及角的计算，进行分类讨论是解题的关键．

5、同旁内    同位    内错    邻补    对顶   

【分析】

根据同位角，同旁内角，内错角，邻补角，对顶角的定义进行逐一判断即可．

【详解】

解：（1）∠C和∠D是同旁内角；

（2）∠B和∠GEF是同位角；

（3）∠A和∠D是内错角；

（4）∠AGE和∠BGE是邻补角；

（5）∠CFD和∠AFB是对顶角；

故答案为：（1）同旁内 （2）同位 （3）内错 （4）邻补（5）对顶．

【点睛】

本题主要考查了同位角，同旁内角，内错角，邻补角，对顶角的定义，解题的关键在于能够熟知定义．

三、解答题

1、（1）能画无数条；（2）能画一条；（3）能画一条

【分析】

用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点A（或点B）重合，过点A（或点B）沿直角边向已知直线画直线即可，在两线相交处标出垂足（直角符号），据此即可解答．

【详解】

解：（1）根据题意得：画已知直线的垂线，这样的垂线能画出无数条；

（2）根据题意得：经过直线上一点A画的垂线，这样的垂线能画出一条；

（3）根据题意得：经过直线外一点B画的垂线，这样的垂线能画出一条．

【点睛】

本题主要考查了画已知直线的垂线，熟练掌握同一平面内，过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键．

2、（1）150°；（2）12或24；（3）存在，9秒、27秒

【分析】

（1）根据∠AOB＝180°−∠AOM−∠BON计算即可．

（2）先求解重合时，再分两种情况讨论：当0≤t≤18时；当18≤t≤30时；再构建方程求解即可．

（3）分两种情形，当0≤t≤18时；当18≤t≤30时；分别构建方程求解即可．

【详解】

解：（1）当t＝3时，∠AOB＝180°−4°×3−6°×3＝150°．

（2）当重合时，

解得：

当0≤t≤18时：

4t+6t＝120

解得：

当18≤t≤30时：则

4t+6t＝180+60，

解得 t＝24，

答：当∠AOB达到60°时，t的值为6或24秒．

（3） 当0≤t≤18时，由

180−4t−6t＝90，

解得t＝9，

当18≤t≤30时，同理可得：

4t+6t＝180+90

解得t＝27．

所以大于的答案不予讨论，

答：在旋转过程中存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直，t的值为9秒、27秒．

【点睛】

本题考查的是平角的定义，角的和差关系，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练的利用一元一次方程解决几何角度问题，清晰的分类讨论是解本题的关键.

3、（1）；（2）；（3）的值为：或.

【分析】

（1）先求解 再利用角的和差关系可得答案；

（2）分两种情况讨论，当落在的下方时，如图，当落在的上方时，如图，再结合已知条件可得答案；

（3）分两种情况讨论，如图，当落在的内部时，如图，当落在的外部时，再利用角的和差倍分关系可得答案.

【详解】

解：（1） ∠BAD＝18°，∠EAD＝∠BAD，

（2）当落在的下方时，如图，

当落在的上方时，如图，

而

（3）当落在的内部时，如图，

∠CAE：∠BAD＝7：4,

当落在的外部时，如图，

∠CAE：∠BAD＝7：4,

设则

解得：

综上：的值为：或.

【点睛】

本题考查的是角的和差倍分关系，周角的含义，邻补角的含义，三角形中的角度问题，一元一次方程的应用，根据题干信息画出符合题意的图形，再进行分类讨论是解本题的关键.

4、

（1）证明见解析；

（2）．

【分析】

（1）由垂直于同一条直线的两直线平行可推出．再根据平行线的性质可得出，即得出．最后根据平行线的判定条件，即可判断；

（2）由可推出，，即得出，．由，可推出，即得出．由，可直接推出．由此即可判断哪些角与互余．

（1）

证明：∵，，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴．

（2）

与互余的角有：．

证明：∵，

∴，，

∴，． 

∵，

∴，

∴．

∵，

∴，即．

综上，可知与互余的角有：．

【点睛】

本题考查平行线的判定和性质，余角的概念．熟练掌握平行线的判定条件和性质是解答本题的关键．

5、（1）见解析；（2）见解析．

【分析】

（1）利用两点之间距离线段最短，进而得出答案；

（2）利用点到直线的距离垂线段最短，即可得出答案．

【详解】

解答：解：（1）如图所示：由两点之间，线段最短，连接AC、BD交点即为P点，

（2）如图所示：由垂线段最短，过P作PQ⊥河道l，垂足即为Q点．

【点睛】

本题主要考查了应用设计与作图，正确掌握点与点以及点到直线的距离定义是解题关键．

6、（1）见解析；（2）150°

【分析】

（1）根据画角平分线的方法，画出角平分线即可；

（2）先求出的度数，然后由角平分线的定义，即可求出答案．

【详解】

解：（1）如图，OD即为平分线

（2）解：∵，

∴，

，

∴；

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，画角平分线，解题的关键是掌握角平分线的定义进行解题．

7、见解析

【分析】

先根据垂直的定义可得，再根据角的和差可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．

【详解】

证明：∵（已知），

∴（垂直的定义），

∵，（已知），

∴（等量关系），

即，

∴（同旁内角互补，两直线平行）．

【点睛】

本题考查了垂直、平行线的判定等知识点，熟练掌握平行线的判定是解题关键．

8、∠CAD；两直线平行，内错角相等；∠CAD；等量代换；等式的性质；∠CAD；等量代换；同位角相等，两直线平行

【分析】

根据AD∥BC，可得∠3＝∠CAD，从而得到∠4＝∠CAD，再由∠1＝∠2，可得∠BAF＝∠CAD．从而得到∠4＝∠BAF．即可求证．

【详解】

证明：∵AD∥BC（已知），

∴∠3＝∠CAD（两直线平行，内错角相等）．

∵∠3＝∠4（已知），

∴∠4＝∠CAD（等量代换）．

∵∠1＝∠2（已知），

∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质）．

即∠BAF＝∠CAD．

∴∠4＝∠BAF．（等量代换）．

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键．

9、（1）由①②得③，由①③得②，由②③得①；（2）由①②得③，见解析

【分析】

（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；

（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．

【详解】

（1）由①②得③；由①③得②；由②③得①．

（2）证明：由①②得③；

∵ABCD；

∴∠EAB＝∠C

又∵∠B＝∠C；

∴∠EAB＝∠B

∴CEBF；

∴∠E＝∠F．

【点睛】

本题考查了命题与定理，平行线的判定与性质，掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．

10、共组成6对角，位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；②有公共顶点，角的两边互为反向延长线，具体分类见解析

【分析】

根据题意画出图形，然后结合题意可进行求解．

【详解】

解：如图，

由图可知两条相交的直线，两两相配共组成6对角，

位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；②有公共顶点，角的两边互为反向延长线，

这6对角中有：4对邻补角（即为∠AOD与∠AOC，∠AOD与∠BOD，∠BOD与∠BOC，∠BOC与∠AOC），

2对对顶角（即为∠AOD与∠BOC，∠BOD与∠AOC）．

【点睛】

本题主要考查对顶角及邻补角的概念，熟练掌握对顶角及邻补角的概念是解题的关键．