沪教版 (五四制)七年级下册第十三章 相交线 平行线综合与测试同步训练题

七年级数学第二学期第十三章相交线 平行线必考点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）

A． B．

C． D．

2、下列说法中正确的个数是（　　）

（1）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，b∥c，则a∥c

（2）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a⊥c

（3）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，a⊥c，则b⊥c

（4）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a∥c．

A．1 B．2 C．3 D．4

3、用反证法证明命题“在同一平面内，若 ，则 a∥c”时，首先应假设（  ）

A．a∥b B．b∥c C．a 与 c 相交 D．a 与 b

4、如图，∠1与∠2是同位角的是（    ）

 ① ② ③ ④

A．① B．② C．③ D．④

5、下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

6、如图，，交于点，，，则的度数是（    ）

A．34° B．66° C．56° D．46°

7、如图所示，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点、分别落在点、处，交于点，，则（ ）

A．20° B．40° C．70° D．110°

8、在下列各题中，属于尺规作图的是（    ）

A．用直尺画一工件边缘的垂线

B．用直尺和三角板画平行线

C．利用三角板画的角

D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段

9、如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（    ）个．

A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个

10、下列说法：

①和为180°且有一条公共边的两个角是邻补角；

②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③同位角相等；

④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，

其中正确的有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，A、B、C为直线l上的点，D为直线l外一点，若，则的度数为______．

2、如图，AB∥CD且被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是 ___．

3、如图，从人行横道线上的点P处过马路，下列线路中最短的是________．

4、如图，直线，三角尺（30°，60，90°）如图摆放，若∠1＝52°，则∠2的度数为 _____．

5、如图所示，用数字表示的8个角中，若同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则ab﹣c＝___．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、如图，直线AB，CD，EF相交于点O，

（1）指出∠AOC，∠EOB的对顶角及∠AOC的邻补角．

（2）图中一共有几对对顶角？指出它们．

2、如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤30，单位：秒）

（1）当t＝3时，求∠AOB的度数；

（2）在运动过程中，当∠AOB达到60°时，求t的值；

（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．

3、如图直线，直线与分别和交于点交直线b于点C．

（1）若，直接写出     ；

（2）若，则点B到直线的距离是      ；

（3）在图中直接画出并求出点A到直线的距离．

4、补全下列推理过程：

如图，，，，试说明．

解：，（已知），

（垂直的定义）．

（           ）．

           （           ）．

（已知），

           （等量代换）．

（           ）．

5、如图，在由相同小正方形组成的网格中，点A、B、C、O都在网格的格点上，∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB的内部．

（1）用无刻度的直尺作图：

①过点A作ADOC；

②在∠AOB的外部，作∠AOE，使∠AOE＝∠BOC；

（2）在（1）的条件下，探究∠AOC与∠BOE之间的数量关系，并说明理由．

6、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠FOE＝90°，若∠AOD＝70°，求∠AOF度数

7、如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC的补角，邻补角及对顶角．

8、阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由．

已知：如图，点，分别在线段、上，，平分，平分交于点、．

求证：．

证明：平分（已知），

　　．

平分（已知），

　　（角平分线的定义），

（已知），

　　．

　　．

　　．

9、按下面的要求画图，并回答问题：

（1）如图①，点M从点O出发向正东方向移动4个格，再向正北方向移动3个格．画出线段OM，此时M点在点O的北偏东 　   　°方向上（精确到1°），O、M两点的距离是 　   　cm．

（2）根据以下语句，在“图②”上边的空白处画出图形．

画4cm长的线段AB，点P是直纸AB外一点，过点P画直线AB的垂线PD，垂足为点D．你测得点P到AB的距离是 　   　cm．

10、如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么

（1）∠1与∠2是一对什么角？

（2）∠3与∠4呢？∠2与∠4呢？

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据对顶角的定义作出判断即可．

【详解】

解：根据对顶角的定义可知：只有B选项的是对顶角，其它都不是．

故选：B．

【点睛】

本题考查对顶角的定义，解题关键是明确两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．

2、C

【分析】

根据平行线的性质分析判断即可；

【详解】

在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，b∥c，则a∥c，故（1）正确；

在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a∥c，故（2）错误；

在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，a⊥c，则b⊥c，故（3）正确；

在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a∥c．故（4）正确；

综上所述，正确的是（1）（3）（4）；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，准确分析判断是解题的关键．

3、C

【分析】

用反证法解题时，要假设结论不成立，即假设a与c不平行（或a与c相交）．

【详解】

解：原命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”，

用反证法时应假设结论不成立，

即假设a与c不平行（或a与c相交）．

故答案为：C．

【点睛】

此题考查了反证法证明的步骤：（1）假设原命题结论不成立；（2）根据假设进行推理，得出矛盾，说明假设不成立；（3）原命题正确．

4、B

【分析】

同位角就是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截线的两条直线的同侧位置的角．

【详解】

根据同位角的定义可知②中的∠1与∠2是同位角；

故选B．

【点睛】

本题主要考查了同位角的判断，准确分析判断是解题的关键．

5、C

【分析】

根据对顶角的定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，逐一判断即可．

【详解】

解：①中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故①符合题意；

②中∠1和∠2是对顶角，故②不符合题意；

③中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故③符合题意；

④中∠1和∠2没有公共点，故④符合题意．

∴∠1 和∠2 不是对顶角的有3个，

故选C．

【点睛】

此题考查的是对顶角的识别，掌握对顶角的定义是解决此题的关键．

6、C

【分析】

由余角的定义得出的度数，由两直线平行内错角相等即可得出结论．

【详解】

解：∵，，

∴，

∵，

∴，

故选：C

【点睛】

本题考查了平行线的性质和余角，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

7、B

【分析】

根据题意可得，，再由折叠的性质得到，即可得解；

【详解】

∵，

∴，，

∵，

∴，，

由折叠可知：，则；

故选B．

【点睛】

本题主要考查了折叠问题，平行线的性质，准确计算是解题的关键．

8、D

【分析】

根据尺规作图的定义：用没有刻度的直尺和圆规作图，只使用圆规和直尺来解决平面几何作图，进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、用直尺画一工件边缘的垂线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；

B、用直尺和三角板画平行线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；

C、利用三角板画45°的角，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；

D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段，是尺规作图，故此选项符合题意；

故选D．

【点睛】

本题主要考查了尺规作图的定义，解题的关键在于熟知定义．

9、D

【分析】

根据三条直线是否有平行线分类讨论即可．

【详解】

解：当三条直线平行时，交点个数为0；

当三条直线相交于1点时，交点个数为1；

当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2；

当三条直线互相不平行时，且交点不重合时，交点个数为3；

所以，它们的交点个数有4种情形．

故选：D．

【点睛】

本题考查多条直线交点问题，解题关键是根据三条直线中是否有平行线和是否交于一点进行分类讨论．

10、B

【分析】

根据举反例可判断①，根据垂线的定义可判断②，根据举反例可判断③，根据平行线的基本事实可判断④．

【详解】

解：①如图∠AOC=∠2=150°，∠BOC=∠1=30°，满足∠1+∠2=180°，射线OC是两角的共用边，但∠1与∠2不是邻补角，故①不正确；

②在同一个面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②不正确；

③如图直线a、b被直线c所截，∠1与∠2是同位角，但∠1＞∠2，故③不正确；

④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是基本事实，故④正确；

其中正确的有④一共1个．

故选择B．

【点睛】

本题考查基本概念的理解，掌握基本概念是解题关键．

二、填空题

1、60°度

【分析】

由邻补角的定义，结合，可得答案.

【详解】

解：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是邻补角的定义，掌握“互为邻补角的两个角的和为”是解本题的关键.

2、

【分析】

根据对顶角以及平行线的性质，求解即可．

【详解】

解：∵

∴

又∵

∴

故答案为

【点睛】

此题考查了对顶角以及平行线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．

3、PC

【分析】

根据点到直线的距离，垂线段最短进行求解即可．

【详解】

解：∵点到直线的距离，垂线段最短，

∴从人行横道线上的点P处过马路，线路最短的是PC，

故答案为：PC．

【点睛】

本题主要考查了点到直线的距离，解题的关键在于能够熟练掌握点到直线的距离垂线段最短．

4、##

【分析】

如图，标注字母，过作 再证明证明从而可得答案.

【详解】

解：如图，标注字母，过作

∠1＝52°，

故答案为：

【点睛】

本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解本题的关键.

5、9

【分析】

位于两条被截直线的同侧，截线的同旁的角是同位角，位于两条被截直线的内部，截线的两旁的角是内错角，位于两条被截直线的内部，截线的同旁的角是同旁内角，根据同位角，内错角，同旁内角概念结合图形找出各对角类型的角得出a， b， c的值，然后代入计算即可．

【详解】

解：同位角有∠1与∠6，2与∠5，∠3与∠7，∠4与∠8，同位角有4对，

∴a=4，

内错角有∠1与∠4，2与∠7，3与∠5，∠8与∠6，内错角4对，

∴b=4，

同旁内角有∠1与∠8，∠1与∠7，∠7与∠8，∠2与∠4，∠2与∠3，∠3与∠4，∠3与∠8，同旁内角有7对，

∴c=7,

∴ab﹣c＝4×4-7=16-7=9，

故答案为9．

【点睛】

本题考查同位角，内错角，同旁内角，以及代数式求值，掌握同位角，内错角，同旁内角概念，得出a=4，b=4，c=7是解题关键．

三、解答题

1、（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠EOB的对顶角是∠AOF，.∠AOC的邻补角是∠AOD，∠BOC；（2）共有6对对顶角，它们分别是∠AOC与∠BOD，∠AOE与∠BOF，∠AOF与∠BOE，∠AOD与∠BOC，∠EOD与∠COF，∠EOC与∠FOD

【分析】

根据对顶角的定义：两个角有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角；邻补角的定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做邻补角，进行求解即可．

【详解】

解：（1）由题意得：∠AOC的对顶角是∠BOD，

∠EOB的对顶角是∠AOF.

∠AOC的邻补角是∠AOD，∠BOC.

（2）图中共有6对对顶角，它们分别是∠AOC与∠BOD，∠AOE与∠BOF，∠AOF与∠BOE，∠AOD与∠BOC，∠EOD与∠COF，∠EOC与∠FOD．

【点睛】

本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，熟知定义是解题的关键．

2、（1）150°；（2）12或24；（3）存在，9秒、27秒

【分析】

（1）根据∠AOB＝180°−∠AOM−∠BON计算即可．

（2）先求解重合时，再分两种情况讨论：当0≤t≤18时；当18≤t≤30时；再构建方程求解即可．

（3）分两种情形，当0≤t≤18时；当18≤t≤30时；分别构建方程求解即可．

【详解】

解：（1）当t＝3时，∠AOB＝180°−4°×3−6°×3＝150°．

（2）当重合时，

解得：

当0≤t≤18时：

4t+6t＝120

解得：

当18≤t≤30时：则

4t+6t＝180+60，

解得 t＝24，

答：当∠AOB达到60°时，t的值为6或24秒．

（3） 当0≤t≤18时，由

180−4t−6t＝90，

解得t＝9，

当18≤t≤30时，同理可得：

4t+6t＝180+90

解得t＝27．

所以大于的答案不予讨论，

答：在旋转过程中存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直，t的值为9秒、27秒．

【点睛】

本题考查的是平角的定义，角的和差关系，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练的利用一元一次方程解决几何角度问题，清晰的分类讨论是解本题的关键.

3、（1）；（2）4；（3）作图见详解；点A到直线BC的距离为．

【分析】

（1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补及垂直的性质即可得；

（2）根据点到直线的距离可得点B到直线AC的距离为线段，由此即可得出结果；

（3）过点A作，点A到直线BC的距离为线段AD的长度，利用三角形等面积法即可得出．

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∵，，

∴，

故答案为：；

（2）∵，

∴点B到直线AC的距离为线段，

故答案为：4；

（3）如图所示：过点A作，点A到直线BC的距离为线段AD的长度，

∵，

∴为直角三角形，

∴，

即，

解得：，

∴点A到直线BC的距离为．

【点睛】

题目主要考查平行线的性质及点到直线的距离，熟练掌握等面积法求距离是解题关键．

4、同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行

【分析】

根据题意读懂推理过程中每一步的推理依据即可完成解答．

【详解】

，（已知），

（垂直的定义），

（同位角相等，两直线平行），

（两直线平行，同位角相等），

（已知），

（等量代换），

（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义等知识，关键是读懂推理过程，明确每一步的根据．

5、（1）①见解析；②见解析；（2）∠AOC+∠BOE＝180°，理由见解析

【分析】

（1）①取格点D，然后作直线AD即可；②取格点E，然后作射线OE即可．

（2）根据角的和差定义证明即可．

【详解】

解：（1）①如图，直线AD即为所求作．

②∠AOE即为所求作．

（2）∠AOC+∠BOE＝180°．

理由：∵∠AOC＝90°﹣∠BOC，∠BOE＝90°+∠AOE，∠BOC＝∠AOE，

∴∠AOC+∠BOE＝90°﹣∠AOE+90°+∠AOE＝180°．

【点睛】

本题考查了格点作图以及角的大小关系，明确题意、熟练掌握上述基本知识是解题关键．

6、55°

【分析】

由题意利用对顶角可得∠COB＝∠AOD＝70°，再根据角平分线性质可得∠EOB＝∠EOC＝35°，进而利用邻补角的性质得出∠AOF＝180°-∠EOB-∠FOE即可求得答案.

【详解】

解：∵∠AOD＝70°，

∴∠COB＝∠AOD＝70°，

∵OE平分∠BOC，

∴∠EOB＝∠EOC＝35°，

∵∠FOE＝90°，

∴∠AOF＝180°-∠EOB-∠FOE＝55°.

【点睛】

本题考查角的运算，熟练掌握对顶角、邻补角的性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．

7、∠BOC的补角有两个∠BOD和∠AOC；∠BOC的邻补角为∠AOC；∠BOC没有对顶角.

【分析】

由题意直接根据补角，邻补角及对顶角的定义进行分析即可找出.

【详解】

解：因为∠BOC＋∠AOC=180º(平角定义），

所以∠AOC是∠BOC的补角,

∠AOD=∠BOC（已知），

所以∠BOC＋∠BOD=180º.

所以∠BOD是∠BOC的补角．

所以∠BOC的补角有两个：∠BOD和∠AOC.

因为∠AOC和∠BOC相邻，

所以∠BOC的邻补角为：∠AOC.

∠BOC没有对顶角.

【点睛】

本题考查补角，邻补角及对顶角的定义，熟练掌握补角，邻补角及对顶角的定义是解题的关键.

8、角平分线的定义；；两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行．

【分析】

根据角平分线的定义和平行线的性质与判定即可证明．

【详解】

证明：平分（已知），

（角平分线的定义）．

平分（已知），

（角平分线的定义），

（已知），

（两直线平行，同位角相等）．

（等量代换）．

（同位角相等，两直线平行）．

故答案为：角平分线的定义；；两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

9、（1）图见解析，53，5；（2）图见解析，3．

【分析】

（1）先根据点的移动得到点，再连接点可得线段，然后测量角的度数和线段的长度即可得；

（2）先画出线段，再根据垂线的尺规作图画出垂线，然后测量的长即可得．

【详解】

解：（1）如图，线段即为所求．

此时点在点的北偏东方向上，、两点的距离是，

故答案为：53，5；

（2）如图，线段和垂线即为所求．

测得点到的距离是，

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了测量角的大小、线段的长度、作线段和垂线，熟练掌握尺规作图的方法是解题关键．

10、（1）∠1与∠2是一对同位角；（2）∠3与∠4是一对内错角，∠2与∠4是一对同旁内角

【分析】

同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截直线之间的两角，叫做同旁内角；由以上概念进行判断即可．

【详解】

解：直线AB，EF被直线CD所截，

（1）∠1与∠2是一对同位角；

（2）∠3与∠4是一对内错角，∠2与∠4是一对同旁内角．

【点睛】

本题考查同位角、内错角以及同旁内角的识别，掌握这几种角的基本定义是解题关键．