初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试习题

这是一份初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试习题，共33页。试卷主要包含了定理等内容，欢迎下载使用。
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，∠EAB＝72°，以下四个说法：
①∠CDF＝30°；②∠ADB＝50°；
③∠ABD＝22°；④∠CBN＝108°
其中正确说法的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、已知的三边长分别为a，b，c，则a，b，c的值可能分别是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，7
C．2，3，4 D．4，5，10
3、如图，将的BC边对折，使点B与点C重合，DE为折痕，若，，则（ ）．

A．45° B．60° C．35° D．40°
4、如图，AC＝BC，∠C＝α，DE⊥AC于E，FD⊥AB于D，则∠EDF等于（　　）．

A．α B．90°－α C．90°－α D．180°－2α
5、定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．
证法1：如图，
∵∠A＝70°，∠B＝63°，
且∠ACD＝133°（量角器测量所得）
又∵133°＝70°+63°（计算所得）
∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．
证法2：如图，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），
又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），
∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．
∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．
下列说法正确的是（　　）

A．证法1用特殊到一般法证明了该定理
B．证法1只要测量够100个三角形进行验证，就能证明该定理
C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
6、如图，，点E在线段AB上，，则的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°
7、已知等腰三角形有一个角为50°，则这个等腰三角形的底角度数是（ ）．
A．65° B．65°或80° C．50°或80° D．50°或65°
8、小明把一副含有45°，30°角的直角三角板如图摆放其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠a+∠β等于（ ）

A．180° B．210° C．360° D．270°
9、我们称网格线的交点为格点．如图，在4×4的长方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
10、下列命题是真命题的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度
C．有两个角是60°的三角形是等边三角形
D．在ABC中，，则ABC为直角三角形
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、一个等腰三角形的一边长为2，另一边长为9，则它的周长是________________．
2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点A落在BC边上的点处，若∠B＝35°，则的度数为___________．

3、如图，点，在直线上，且，且，过，，分别作，，，若，，，则的面积是______．

4、如图，点C是线段AB的中点，．请你只添加一个条件，使得≌．

（1）你添加的条件是______；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
（2）依据所添条件，判定与全等的理由是______．
5、如图，△ABC中，∠B＝20°，D是BC延长线上一点，且∠ACD＝60°，则∠A的度数是____________ 度．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．

2、在四边形ABCD中，，点E在直线AB上，且．
（1）如图1，若，，，求AB的长；
（2）如图2，若DE交BC于点F，，求证：．

3、已知：如图，在ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC，AC上，AD＝AE．
（1）若∠BAD＝30°，则∠EDC＝ °；若∠EDC＝20°，则∠BAD＝ °．
（2）设∠BAD＝x，∠EDC＝y，写出y与x之间的关系式，并给出证明．

4、如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F，，．

（1）求证：；
（2）若，求BE的长．
5、如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．求证：OB＝OC．

6、人教版初中数学教科书八年级上册第36、37页告诉我们作一个角等于已知角的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作图：
（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．

请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案写在相应的横线上）．
证明：由作图可知，在△O′C′D′和△OCD中，
，
∴△O′C′D′≌ ，
∴∠A′O′B'＝∠AOB．
（2）这种作一个角等于已知角的方法依据是 ．（填序号）
①AAS；②ASA；③SSS；④SAS
7、如图，在中，AD是BC边上的高，CE平分，若，，求的度数．

8、如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果）

9、已知：
（1）O是∠BAC内部的一点．
①如图1，求证：∠BOC＞∠A；
②如图2，若OA＝OB＝OC，试探究∠BOC与∠BAC的数量关系，给出证明．
（2）如图3，当点O在∠BAC的外部，且OA＝OB＝OC，继续探究∠BOC与∠BAC的数量关系，给出证明．

10、中，，以点为中心，分别将线段，逆时针旋转得到线段，，连接，延长交于点．
（1）如图1，若，的度数为________；

（2）如图2，当吋，
①依题意补全图2；
②猜想与的数量关系，并加以证明．


-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
根据AD∥BC，∠C＝30°，利用内错角相等得出∠FDC=∠C=30°，可判断①正确；根据邻补角性质可求∠ADC=180°-∠FDC=180°-30°=150°，根据∠ADB：∠BDC＝1：2，得出方程3∠ADB=150°，解方程可判断②正确；根据∠EAB＝72°，可求邻补角∠DAN=180°-∠EAB=180°-72°=108°，利用三角形内角和可求∠ABD=180°-∠NAD-∠ADB=180°-108°-50°=22°可判断③正确，利用AD∥BC，同位角相等的∠CBN=∠DAN=108°可判断④正确即可．
【详解】
解：∵AD∥BC，∠C＝30°，
∴∠FDC=∠C=30°，故①正确；
∴∠ADC=180°-∠FDC=180°-30°=150°，
∵∠ADB：∠BDC＝1：2，
∴∠BDC=2∠ADB，
∵∠ADC=∠ADB+∠BDC=∠ADB+2∠ADB=3∠ADB=150°，
解得∠ADB=50°，故②正确
∵∠EAB＝72°，
∴∠DAN=180°-∠EAB=180°-72°=108°，
∴∠ABD=180°-∠NAD-∠ADB=180°-108°-50°=22°，故③正确
∵AD∥BC，
∴∠CBN=∠DAN=108°，故④正确
其中正确说法的个数是4个．
故选择D．
【点睛】
本题考查平行线性质，角的倍分，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程，掌握平行线性质，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程地解题关键．
2、C
【分析】
三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此求解．
【详解】
解：A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；
B、3+4＝7，不能组成三角形，不符合题意；
C、2+3＞4，能组成三角形，符合题意；
D、4+5＜10，不能组成三角形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，满足两条较小边的和大于最大边即可．
3、A
【分析】
由折叠得到∠B=∠BCD，根据三角形的内角和得∠A+∠B+∠ACB=180°，代入度数计算即可．
【详解】
解：由折叠得∠B=∠BCD，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，，，
∴65°+2∠B+25°=180°，
∴∠B=45°，
故选：A．
【点睛】
此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质是解题的关键．
4、B
【分析】
AC＝BC，∠C＝α，DE⊥AC于E，FD⊥AB于D，有，，，即可求得角度．
【详解】
解：由题意知：，


故选B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，几何图形中角度的计算．解题的关键在于确定各角度之间的数量关系．
5、D
【分析】
利用测量的方法只能是验证，用定理，定义，性质结合严密的逻辑推理推导新的结论才是证明，再逐一分析各选项即可得到答案.
【详解】
解：证法一只是利用特殊值验证三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
证法2才是用严谨的推理证明了该定理，
故A不符合题意，C不符合题意，D符合题意，
证法1测量够100个三角形进行验证，也只是验证，不能证明该定理，故B不符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查的是三角形的外角的性质的验证与证明，理解验证与证明的含义及证明的方法是解本题的关键.
6、C
【分析】
根据全等三角形的性质可证得BC=CE，∠ACB=∠DCE即∠ACD=∠BCE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B=∠BEC和∠BCE即可．
【详解】
解：∵，
∴BC=CE，∠ACB=∠DCE，
∴∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE，
∵，
∴∠ACD=∠BCE=180°－2×75°=30°，
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．
7、D
【分析】
可以是底角，也可以是顶角，分情况讨论即可．
【详解】
当角为底角时，底角就是，
当角为等腰三角形的顶角时，底角为，
因此这个等腰三角形的底角为或．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
8、B
【分析】
已知，得到，根据外角性质，得到，，再将两式相加，等量代换，即可得解；
【详解】
解：如图所示，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了三角形外角定理的应用，准确分析计算是解题的关键．
9、A
【分析】
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】
解：如图：分情况讨论：

①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个．
故共有3个点，
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
10、C
【分析】
分别根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定，直角三角形的判定即可判断．
【详解】
A.等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，即三线合一，故此选项错误；
B.三角形的内角和为180°，故此选项错误；
C.有两个角是60°，则第三个角为，所以三角形是等边三角形，故此选项正确；
D.设，则，故，解得，所以，，此三角形不是直角三角形，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的定义以及三角形内角和，掌握相关概念是解题的关键．
二、填空题
1、20
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为2和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：分两种情况：当腰为2时，2＋2＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，2＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：2＋9＋9＝20．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
2、20°度
【分析】
先根据三角形内角和求出∠A，利用翻折不变性得出，再根据三角形外角的性质即可解决问题．
【详解】
解：，∠B＝35°，
，
是由翻折得到，
，
，
．
故答案为：20°．

【点睛】
本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3、15
【分析】
根据AAS证明△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，再根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）∵EF⊥FG，BG⊥FG，
∴∠EFA=∠AGB=90°，
∴∠AEF+∠EAF=90°，
又∵AE⊥AB，即∠EAB=90°，
∴∠BAG+∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠BAG，
在△AEC和△CDB中，
，
∴△EFA≌△AGB（AAS）；
同理可证△BGC≌△CHD（AAS），
∴AG=EF=6，CG=DH=4，
∴S△ABC=ACBG=(AG+GC)BG=(6+4)3=15．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
4、AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B）（答案不唯一） SAS
【分析】
（1）由已知条件可得两个三角形有一组对应边相等，一组对应角相等，根据三角形全等的判定方法添加条件即可；
（2）根据添加的条件，写出判断的理由即可．
【详解】
解：（1）添加的条件是：AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B）
故答案为：AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B）
（2）若添加：AD=CE
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC
∵
∴
∴≌(SAS)
故答案为：SAS
【点睛】
本题主要考查了添加条件判断三角形全等，熟练掌握全等三角形的判断方法是解答本题的关键．
5、40
【分析】
直接根据三角形外角的性质可得结果．
【详解】
解：∵∠B＝20°，∠ACD＝60°，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠B+∠A，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键
三、解答题
1、（1）；（2）．
【分析】
（1）先根据全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可得；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键．
2、（1）5；（2）证明见解析
【分析】
（1）推出∠ADE＝∠BEC，根据AAS证△AED≌△CEB，推出AE＝BC，BE＝AD，代入求出即可；
（2）推出∠A＝∠EBC，∠AED＝∠BCE，根据AAS证△AED≌△BCE，推出AD＝BE，AE＝BC，即可得出结论．
【详解】
（1）解：∵∠DEC＝∠A＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，∠AED+∠BEC＝90°，
∴∠ADE＝∠BEC，
∵，∠A＝90°，
∴∠B+∠A＝180°，
∴∠B＝∠A＝90°，
在△AED和△CEB中
，
∴△AED≌△BCE（AAS），
∴AE＝BC＝3，BE＝AD＝2，
∴AB＝AE+BE＝2+3＝5．
（2）证明：∵，
∴∠A＝∠EBC，
∵∠DFC＝∠AEC，
∠DFC＝∠BCE+∠DEC，∠AEC＝∠AED+∠DEC，
∴∠AED＝∠BCE，
在△AED和△BCE中
，
∴△AED≌△BCE（AAS），
∴AD＝BE，AE＝BC，
∵BC＝AE＝AB+BE＝AB+AD，
即AB+AD＝BC．
【点睛】
本题考查了三角形的外角的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的运用，掌握“利用证明两个三角形全等”是解本题的关键．
3、（1）15，40；（2）y＝x，见解析
【分析】
（1）设∠EDC＝m，则∠B＝∠C＝n，根据∠ADE＝∠AED＝m+n，∠ADC＝∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．
（2）设∠BAD＝x，∠EDC＝y，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED＝∠C+∠EDC＝∠B+y，由∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC即可得∠B+x＝∠B+y+y，从而求解．
【详解】
解：（1）设∠EDC＝m，∠B＝∠C＝n，
∵∠AED＝∠EDC+∠C＝m+n，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝m+n，
则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2m+n，
又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝2m，
∴2m+n＝n+30，解得m＝15°，
∴∠EDC的度数是15°；
若∠EDC＝20°，则∠BAD＝2m＝2×20°＝40°．
故答案是：15；40；
（2）y与x之间的关系式为y＝x，
证明：设∠BAD＝x，∠EDC＝y，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
∵∠AED＝∠C+∠EDC＝∠B+y，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，
∴∠B+x＝∠B+y+y，
∴2y＝x，
∴y＝x．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及一元一次方程的应用，灵活运用等腰三角形的性质成为解答本题的关键．
4、
（1）见解析
（2）
【分析】
(1)利用是的外角,以及证明即可．
(2)证明≌,可知,从而得出答案．
（1）
证明：∵是的外角，
∴．
又∵，∴．
（2）
解：在和中，
，
∴≌．
∴．
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了三角形的外角以及三角形全等的性质和判定,掌握三角形全等的性质和判定是解题的关键．
5、见解析
【分析】
根据SAS证明△AEC与△ADB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】
证明：在△AEC与△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△AEC≌△ADB是本题的关键．
6、
（1）CD，O′D′，△OCD，
（2）③
【分析】
（1）根据SSS证明△D′O′C′≌△DOC，可得结论；
（2）根据SSS证明三角形全等．
（1）
证明：由作图可知，在△D′O′C′和△DOC中，
，
∴△O′C′D′≌△OCD（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB．
故答案为：CD，O′D′，△OCD，
（2）
解：上述证明过程中利用三角形全等的方法依据是SSS，
故答案为：③
【点睛】
本题考查三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
7、85°
【分析】
由高的定义可得出∠ADB＝∠ADC＝90，在△ACD中利用三角形内角和定理可求出∠ACB的度数，结合CE平分∠ACB可求出∠ECB的度数．由三角形外角的性质可求出∠AEC的度数，
【详解】
解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90．
在△ACD中，∠ACB＝180°﹣∠ADC﹣∠CAD＝180°﹣90°﹣20°＝70°．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝∠ACB＝35°．
∵∠AEC是△BEC的外角，，
∴∠AEC＝∠B+∠ECB＝50°+35°＝85°．
答：∠AEC的度数是85°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，利用三角形内角和定理及角平分线的性质，求出∠ECB的度数是解题的关键．
8、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或
【分析】
（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论；
（2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可．
【详解】
（1）证明：∵FD⊥AC，
∴∠FDA=90°，
∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE，
在△AFD和△EAC中，
，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴DF=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC；
（2）作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，
∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E点为BC中点；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5，
∴AG=CG+AC=5.5，
∴，
同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5，
∴，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9、（1）①见解析；②∠BOC＝2∠A，见解析；（2）∠BOC＝2∠BAC，见解析
【分析】
（1）①连接AO并延长AO至点E，根据三角形外角性质解答即可；
②延长AO至点E，根据三角形外角性质解答即可；
（2）根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答即可．
【详解】
证明：（1）①如图所示：连接AO并延长AO至点E，则∠BOE＞∠BAO，∠COE＞∠CAO，
∴∠BOC＞∠A；

②∠BOC与∠BAC的数量关系：∠BOC＝2∠A；
证明：如图所示，延长AO至点E，则∠BOE＝∠BAO+∠B，∠COE＝∠CAO+∠C，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠B，∠CAO＝∠C，
∴∠BOC＝∠COE+∠COE＝∠BAO+∠B+∠CAO+∠C＝2（∠BAO+∠CAO）＝2∠BAC；

（2）∠BOC与∠BAC的数量关系：∠BOC＝2∠BAC；
证明：如图所示，设∠B＝x，

∵OA＝OB＝OC，
∴∠B＝∠BAO＝x，∠C＝∠OAC＝∠BAC+x；
在△BEO和△AEC中，有：∠B+∠BOC＝∠C+∠CAE；
即x+∠BOC＝∠CAE+x+∠CAE＝2∠BAC+x；
即∠BOC＝2∠BAC．
【点睛】
此题考查三角形综合题，关键是根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答．
10、
（1）120°
（2）①图形见解析；②
【分析】
（1）根据进而判断出点E在边AB上，得出△ADE≌△ABC（SAS），进而得出∠AED=∠ACB=90°最后用三角形的外角的性质即可得出结论；
（2）①依题意补全图形即可；②先判断出△ADE≌△ABC（SAS），进而得出∠AEF=90°，即可判断出Rt△AEF≌Rt△ACF，进而求出∠CAF=∠CAE=30°，即可得出结论．
（1）
（1）如图1，

在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
由旋转知，∠CAE=60°=∠CAB，
∴点E在边AB上，
∵AD=AB，AE=AC，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠CFE=∠B+∠BEF=30°+90°=120°，
故答案为120°；
（2）
（2）①依题意补全图形如图2所示，

②如图2，连接AF，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠EAD=∠CAB，
∵AD=AB，AE=AC，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠AED=∠C=90°，
∴∠AEF=90°，
∴Rt△AEF≌Rt△ACF(HL)，
∴∠EAF=∠CAF，
∴∠CAF=∠CAE=30°，
在Rt△ACF中，CF=AF，且AC2+CF2=AF2，
∴
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，判断出△ADE≌△ABC是解本题的关键．