初中数学北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试精练

京改版八年级数学下册第十五章四边形专项测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知中，，，CD是斜边AB上的中线，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

2、下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（    ）

A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等

C．测量对角线是否相等 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等

3、如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠AOD＝120°，AC＝16，则AB的长为（　　）

A．16 B．12 C．8 D．4

4、如图，M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P，则∠APN的度数是（   ）

A．120° B．118° C．110° D．108°

5、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ）

A．圆 B．平行四边形 C．直角三角形 D．等边三角形

6、在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

7、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

8、 “垃圾分类，利国利民”，在2019年7月1日起上海开始正式实施垃圾分类，到2020年底先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统．以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A．可回收物 B．有害垃圾 C．厨余垃圾 D．其他垃圾

9、下列图形中，是中心对称图形的是（   ）

A． B． C． D．

10、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）．

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，EF过点O分别交AB，CD于E，F，已知AB＝8cm，AD＝5cm，那么图中阴影部分面积为_____cm2．

2、若一个菱形的两条对角线的长为3和4，则菱形的面积为___________．

3、正方形ABCD的边长是8cm，点M在BC边上，且MC=2cm，P是正方形边上的一个动点，连接PB交AM于点N，当PB=AM时，PN的长是_____ ．

4、如图，在矩形中，，，点是线段上的一点（不与点，重合），将△沿折叠，使得点落在处，当△为等腰三角形时，的长为___________．

5、一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则它是________边形．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，中，对角线AC、BD相交于点O，点 E， F，G，H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连接EFGH．

（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形

（2）若的周长为2（AB+BC）=32，则四边形EFGH的周长为__________

2、（1）如图，在中，，，，求的度数．

（2）已知一个正多边形的内角和比它的外角和的倍多，求这个正多边形每个外角的度数．

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）作AB的垂直平分线l，交AB于点D，连接CD，分别作∠ADC，∠BDC的平分线，交AC，BC于点E，F（尺规作图，不写作法，保作图痕迹）；

（2）求证：四边形CEDF是矩形．

4、如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．

5、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，过点D作DE⊥AB，交BC于点E，连接AE，取AE的中点P，连接DP，CP．

（1）观察猜想：  如图（1），DP与CP之间的数量关系是 　   ，DP与CP之间的位置关系是 　   ．

（2）类比探究： 将图（1）中的△BDE绕点B逆时针旋转45°，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）问题解决： 若BC＝3BD＝3，  将图（1）中的△BDE绕点B在平面内自由旋转，当BE⊥AB时，请直接写出线段CP的长．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

由题意根据三角形的内角和得到∠A=36°，由CD是斜边AB上的中线，得到CD=AD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

【详解】

解：∵∠ACB=90°，∠B=54°，
∴∠A=36°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A=36°.
故选：B．

【点睛】

本题考查直角三角形的性质与三角形的内角和，熟练掌握直角三角形的性质即直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．

2、D

【分析】

由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．

【详解】

解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，

∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，

∴选项A不符合题意；

B、∵两组对边分别相等是平行四边形，

∴选项B不符合题意；

C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，

∴对角线相等的四边形不是矩形，

∴选项C不符合题意；

D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，

∴对角线互相平分且相等，

∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，

∴选项D符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、解题的关键是熟记矩形的判定定理．

3、C

【分析】

由题意可得AO＝BO＝CO＝DO＝8，可证△ABO是等边三角形，可得AB＝8．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD＝16，

∴OA＝OB＝8，

∵∠AOD＝120°，

∴∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB＝AO＝BO＝8，

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．

4、D

【分析】

由五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM=∠CBN，由∠BAM+∠ABP=∠APN，即可得出∠APN=∠ABC，即可得出结果．

【详解】

解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC=
∴∠APN的度数为108°；
故选：D．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、多边形的内角和定理；熟练掌握五边形的形状，证明三角形全等是解决问题的关键．

5、A

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A．圆既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；

B．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．直角三角形既不是中心对称图形，也不一定是轴对称图形，不符合题意；
D．等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

6、A

【分析】

关于原点成中心对称的两个点的坐标规律：横坐标与纵坐标都互为相反数，根据原理直接作答即可.

【详解】

解：点关于原点对称的点的坐标是：

故选A

【点睛】

本题考查的是关于原点成中心对称的两个点的坐标规律，掌握“关于原点成中心对称的两个点的坐标规律：横坐标与纵坐标都互为相反数”是解题的关键.

7、C

【分析】

根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

8、B

【分析】

由题意根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项进行判断，即可得出答案．

【详解】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

9、B

【分析】

根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【详解】

选项、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

10、C

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

【详解】

解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

二、填空题

1、10

【分析】

利用矩形性质，求证，将阴影部分的面积转为的面积，最后利用中线平分三角形的面积，求出的面积，即可得到阴影部分的面积．

【详解】

解：四边形为矩形，

，，，

，

在与中，

，

阴影部分的面积最后转化为了的面积，

中，，

平分，

阴影部分的面积：，

故答案为：10．

【点睛】

本题主要是考查了矩形的性质以全等三角形的判定与性质以及中线平分三角形面积，熟练利用矩形性质，证明三角形全等，将阴影部分面积转化为其他图形的面积，这是解决本题的关键．
 

2、6

【分析】

由题意直接由菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．

【详解】

解：菱形的面积.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．

3、5cm或5.2cm

【分析】

当点P在BC上，AM＞BP，当点P在AB上，AM＞BP，当点P在CD上，如图，根据PB=AM，可证Rt△ABM≌Rt△BCP（HL），可证BP⊥AM，根据勾股定理可求AM=，根据三角形面积可求，可求PN=BP-BN；当点P在AD上，如图，可证Rt△ABM≌Rt△BAP（HL），再证AN=PN=BN=MN，根据AM=BP=10cm，可求PN=cm，

【详解】

解：当点P在BC上，AM＞BP，当点P在AB上，AM＞BP，不合题意，舍去；

当点P在CD上，如图，

∵PB=AM

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC=AD=CD=8，

在Rt△ABM和Rt△BCP中，

，

∴Rt△ABM≌Rt△BCP（HL），

∴∠MAB=∠PBC，

∵∠MAB+∠AMB=90°，

∴∠PBC+∠AMB=90°，

∴∠BNM=180°-∠PBC-∠AMB=90°，

∴BP⊥AM，

∵MC=2cm，

∴BM=BC-MC=8-2=6cm，

∴AM=，

∴，

∴，

∴PN=BP-BN=AM-BN=10-4.8=5.2cm，

当点P在AD上，如图，

在Rt△ABM和Rt△BAP中，

，

∴Rt△ABM≌Rt△BAP（HL），

∴BM=AP，∠AMB=∠BPA，∠MAB=∠PBA，

∴AN=BN，

∵AD∥BC，

∴∠PAN=∠NMB=∠APN，

∴AN=PN=BN=MN，

∵AM=BP=10cm，

∴PN=cm，

∴PN的长为5cm或5.2cm．

故答案为5cm或5.2cm．

【点睛】

本题考查正方形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，等腰三角形判定与性质，分类讨论思想，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，等腰三角形判定与性质，分类讨论思想是解题关键．

4、或

【分析】

根据题意分，，三种情况讨论，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．

【详解】

解：∵四边形是矩形

∴，

∵将△沿折叠，使得点落在处，

∴

，，

设，则

①当时，如图

过点作，则四边形为矩形

，

在中

在中

即

解得

②当时，如图，设交于点，

设

垂直平分

在中

即

在中，

即

联立，解得

③当时，如图，

又

垂直平分

垂直平分

此时重合，不符合题意

综上所述，或

故答案为：或

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，分类讨论是解题的关键．

5、七

【分析】

根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可求解．

【详解】

解：设多边形的边数为n，则
（n-2）•180°-2×360°=180°，
解得n=7．
故答案为：七．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理列出方程是解题的关键．

三、解答题

1、（1）见解析；（2）16

【分析】

（1）根据平行四边形的性质，可得OA=OC，OB=OD，从而得到OE=OG，OF=OH，即可求证；

（2）根据三角形中位线定理，可得，从而得到 ，再由（1）四边形EFGH是平行四边形，即可求解．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵点 E、 F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，

∴，

∴OE=OG，OF=OH，

∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）∵点 E、 F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，

∴，

∴ ，

∵的周长为2（AB+BC）=32，

∴ ，

∴ ，

由（1）知：四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH的周长为 ．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，三角形的中位线定理是解题的关键．

2、（1）；（2）每一个外角的度数是

【分析】

（1）根据平行线的性质可得∠B的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠A的度数；
（2）根据n边形的内角和等于外角和的3倍多180°，可得方程180（n-2）=360×3+180，再解方程即可．

【详解】

解：（1）∵，

，

，

，

；

设这个多边形的边数为，根据题意得：

，

解得，

即它的边数是，

所以每一个外角的度数是．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质以及多边形内角和与外角和．解题的关键是掌握多边形内角和公式，明确外角和是360°．

3、（1）见解析（2）见解析

【分析】

（1）利用垂直平分线和角平分线的尺规作图法，进行作图即可．

（2）利用直角三角形斜边中线性质，以及角平分线的性质直接证明与都是，最后加上，即可证明结论．

【详解】

（1）答案如下图所示：

分别以A、B两点为圆心，以大于长为半径画弧，连接弧的交点的直线即为垂直平分线l，其与AB的交点为D，以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA于点M，交CD于点N，交BD于点T，然后分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，连接两弧交点与D点的连线交AC于点E，同理分别以点T，N为圆心，大于为半径画弧，连接两弧交点与D点的连线交BC于点F．

（2）证明：点是AB与其垂直平分线l的交点，

点是AB的中点，

是Rt△ABC上的斜边的中线，

，

DE、DF分别是ADC，∠BDC的角平分线，

，，

，

，

，

，

，

在四边形CEDF中，，

四边形CEDF是矩形．

【点睛】

本题主要是考查了尺规作图、直角三角形斜边中线性质以及矩形的判定，熟练利用直角三角形斜边中线性质，找到三角形全等的判定条件，并且选择合适的矩形判定条件，是解决本题的关键．

4、见解析

【分析】

根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，再由BE=BF，可推出AE=CF，即可利用SAS证明△ADE≌△CDF得到DE=DF，则∠DEF=∠DFE．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，

∵BE=BF，

∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴DE=DF，

∴∠DEF=∠DFE．

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．

5、（1）PD＝PC，PD⊥PC；（2）成立，见解析；（3）2或4

【分析】

（1）根据直角三角形斜边中线的性质，可得，根据角之间的关系即可，即可求解；

（2）过点P作PT⊥AB交BC的延长线于T，交AC于点O，根据全等三角形的判定与性质求解即可；

（3）分两种情况，当点E在BC的上方时和当点E在BC的下方时，过点P作PQ⊥BC于Q，利用等腰直角三角形的性质求得，即可求解．

【详解】

解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴，

∵，

∴，

∵点P为AE的中点，

∴，

∴，，

∴，

∴

故答案为：，．

（2）结论成立．理由如下：

过点P作PT⊥AB交BC的延长线于T，交AC于点O．

则

∴，

∴，，

由勾股定理可得：

∴

∴

∴

∵点P为AE的中点，

∴

∴

在中，，

∴，

∴

∴

∴，

∴

∴，

∴．

（3）如图3﹣1中，当点E在BC的上方时，过点P作PQ⊥BC于Q．

则，

∴

∵

∴

由（2）可得，，，∴为等腰直角三角形

∴

∴

由勾股定理得，

如图3﹣2中，当点E在BC的下方时，同法可得PC＝PD＝2．

综上所述，PC的长为4或2．

【点睛】

此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，做辅助线，构造出全等三角形．