北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试练习

京改版八年级数学下册第十五章四边形专项训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（   ）

A． B． 

C． D．

2、一个多边形每个外角都等于36°，则这个多边形是几边形（     ）

A．7 B．8 C．9 D．10

3、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

4、如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（    ）

A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90° B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD

C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC

5、如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．25° B．20° C．15° D．10°

6、如图，在矩形ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O作线段EF交AD于F，交BC于E，OB＝EB，点G为BD上一点，满足EG⊥FG，若∠DBC＝30°，则∠OGE的度数为（　　）

A．30° B．36° C．37.5° D．45°

7、 “垃圾分类，利国利民”，在2019年7月1日起上海开始正式实施垃圾分类，到2020年底先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统．以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A．可回收物 B．有害垃圾 C．厨余垃圾 D．其他垃圾

8、如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（    ）

A．20º B．25º C．30º D．35º

9、如图，四边形ABCD中，∠A=60°，AD=2，AB=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）

A． B． C． D．

10、下列图形中，是中心对称图形的是（   ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，平行四边形ABCD，AD＝5，AB＝8，点A的坐标为（－3，0）点C的坐标为______．

2、一个正多边形的每个外角都等于45°，那么这个正多边形的内角和为______度．

3、如图，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 _____．

4、如图，矩形的对角线、相交于点，分别以点、为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、．若，，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留）

5、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF＝EB，以线段AF为边作正方形AFGH，点H在线段AB上，则的值是 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．请写出∠ECB和∠ACB的数量关系，并说明理由．

2、阅读探究

小明遇到这样一个问题：在中，已知，，的长分别为，，，求的面积．

小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的3个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法，

（1）图1中的面积为________．

实践应用

参考小明解决问题的方法，回答下列问题：

（2）图2是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．

①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为，，的格点．

②的面积为________（写出计算过程）．

拓展延伸

（3）如图3，已知，以，为边向外作正方形和正方形，连接．若，，，则六边形的面积为________（在图4中构图并填空）．

3、（1）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，试说明：∠E∠A；

（拓展应用）

（2）如图2，在四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC．

①若∠ACD＝130°，∠BCD＝50°，∠CBA＝40°，求∠CDA的度数；

②若∠ABD+∠CBD＝180°，∠ACB＝82°，写出∠CBD与∠CAD之间的数量关系．

4、如图是两张10×10的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在方格纸中分别画出符合要求的格点四边形（格点四边形是指四边形的各顶点均在小正方形的顶点上）：

（1）请在图1中，画出一个面积为24，且它是中心对称图形不是轴对称图形．

（2）请在图2中，画出一个周长为24，且既是中心对称图形也是轴对称图形．

5、如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．

（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；

（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

利用中心对称图形的定义：旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故A错误．

B、不是中心对称图形，故B错误．

C、是中心对称图形，故C正确．

D、不是中心对称图形，故D错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．

2、D

【分析】

根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．

【详解】

解：∵360°÷36°=10，

∴这个多边形的边数是10．

故选D．

【点睛】

本题考查了多边形内角与外角，外角和的大小与多边形的边数无关，熟练掌握多边形内角与外角是解题关键．

3、D

【详解】

解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
 

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4、D

【分析】

由矩形的四个角是直角可判断A，由菱形的对角线互相垂直可判断B，由正方形的对角线相等可判断C，由菱形的四条边相等可判断D，从而可得答案.

【详解】

解：当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°，正确，故A不符合题意；

当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD，正确，故B不符合题意；

当▱ABCD是正方形时，AC＝BD，正确，故C不符合题意；

当▱ABCD是菱形时，AB＝BC，故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是矩形，菱形，正方形的性质，熟练的记忆矩形，菱形，正方形的性质是解本题的关键.

5、D

【分析】

根据矩形的性质，可得∠ABD＝40°，∠DBC＝50°，根据折叠可得∠DBC′＝∠DBC＝50°，最后根据∠2＝∠DB C′−∠DBA进行计算即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，CD∥AB，
∴∠ABD=∠1＝40°，

∴∠DBC＝∠ABC-∠ABD=50°，
由折叠可得∠DB C′＝∠DBC＝50°，
∴∠2＝∠DB C′−∠DBA＝50°−40°＝10°，
故选D．

【点睛】

本题考查了长方形性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出∠DBC′和∠DBA的度数．

6、C

【分析】

根据矩形和平行线的性质，得；根据等腰三角形和三角形内角和性质，得；根据全等三角形性质，通过证明，得；根据直角三角形斜边中线、等腰三角形、三角形内角和性质，推导得，再根据余角的性质计算，即可得到答案．

【详解】

∵矩形ABCD

∴

∴

∵OB＝EB，

∴

∴

∵点O为对角线BD的中点，

∴

和中

∴

∴

∵EG⊥FG，即

∴

∴

∴

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形、平行线、全等三角形、等腰三角形、三角形内角和、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、全等三角形、等腰三角形、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．

7、B

【分析】

由题意根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项进行判断，即可得出答案．

【详解】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

8、C

【分析】

依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE，从而求解．

【详解】

∵ADBC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．
故选：C．

【点睛】

考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数．

9、A

【分析】

根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN，从而求得EF的最大值． 连接DB，过点D作DH⊥AB交AB于点H，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可；

【详解】

解：∵ED=EM，MF=FN，

∴EF=DN，

∴DN最大时，EF最大，

 ∴N与B重合时DN=DB最大，

在Rt△ADH中， ∵∠A=60°

∴AH=2×=1，DH=，

∴BH=AB﹣AH=3﹣1=2，

∴DB=，

∴EFmax=DB=，

∴EF的最大值为．

故选A

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用中位线求得EF=DN是解题的关键．

10、B

【分析】

根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【详解】

选项、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

二、填空题

1、（8，4）

【分析】

先根据勾股定理得到OD的长，即可得到点D的坐标，再根据平行四边形的性质和平行x轴两点坐标特征即可得到点C的坐标．

【详解】

解：∵点A的坐标为（－3，0），

在Rt△ADO中，AD＝5， AO=3，，

∴OD==，

∴D(0，4)，

∵平行四边形ABCD，

∴AB=CD=8，AB∥CD，

∵AB在x轴上，

∴CD∥x轴，

∴C、D两点的纵坐标相同，

∴C(8，4) ．

故答案为（8，4）．

【点睛】

本题考查平行四边形性质，勾股定理，平行x轴两点坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．

2、1080

【分析】

利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．

【详解】

解：∵正多边形的每一个外角都等于，

∴正多边形的边数为360°÷45°=8，

所有这个正多边形的内角和为（8-2）×180°=1080°．

故答案为：1080．

【点睛】

本题考查了多边形内角与外角等知识，熟知多边形内角和定理（n﹣2）•180 °（n≥3）和多边形的外角和等于360°是解题关键．

3、

【分析】

由正方形的对称性可知，PB＝PD，当B、P、E共线时PD+PE最小，求出BE即可．

【详解】

解：∵正方形中B与D关于AC对称，

∴PB＝PD，

∴PD+PE＝PB+PE＝BE，此时PD+PE最小，

∵正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，

∴BE＝3，

∴PD+PE最小值是3，

故答案为：3．

【点睛】

本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．

4、##

【分析】

由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO和扇形CFO的面积之和．

【详解】

解：∵四边形是矩形，

∴，，，

∴，，

∴图中阴影部分的面积为：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

5、

【分析】

设，由正方形的性质和勾股定理求出的长，可得的长，再求出的长，得出的长，进而可得结果．

【详解】

解：设，

四边形为正方形，

，，

点为的中点，

，

，

，

，

四边形为正方形，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了正方形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，由勾股定理求出的长．

三、解答题

1、∠ACB＝3∠ECB，见解析．

【分析】

由矩形的对边平行可得∠F=∠ECB，由外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=2∠F，那么∠ECB＝∠F，所以∠ACB=3∠ECB．

【详解】

解：∠ACB=3∠ECB．

理由如下：在△AGF中，∠AGC＝∠F+∠GAF＝2∠F．

∵∠ACG＝∠AGC，

∴∠ACG＝2∠F．

∵AD//BC，

∴∠ECB＝∠F．

∴∠ACB＝∠ACG+∠BCE＝3∠F．

故∠ACB＝3∠ECB．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

2、（1）；（2）①作图见详解；②8；（3）在网格中作图见详解；31．

【分析】

（1）根据网格可直接用割补法求解三角形的面积；

（2）①利用勾股定理画出三边长分别为、、，然后依次连接即可；②根据①中图形，可直接利用割补法进行求解三角形的面积；

（3）根据题意在网格中画出图形，然后在网格中作出，，进而可得，得出，进而利用割补法在网格中求解六边形的面积即可．

【详解】

解：（1）△ABC的面积为：，

故答案为：；

（2）①作图如下（答案不唯一）：

②的面积为：，

故答案为：8；

（3）在网格中作出，，

在与中，

，

∴，

∴，

，

六边形AQRDEF的面积=正方形PQAF的面积+正方形PRDE的面积+的面积

，

故答案为：31．

【点睛】

本题主要考查勾股定理、正方形的性质、割补法求解面积及二次根式的运算，熟练掌握勾股定理、正方形的性质、割补法求解面积及二次根式的运算是解题的关键．

3、（1）见解析；（2）①∠CDA＝20°；②∠CAD+41°＝∠CBD．

【分析】

（1）由三角形外角的性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD＝∠E+∠EBC；由角平分线的性质可得，，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系；

（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答；②设∠CBD=a，根据已知条件得到∠ABC=180°-2a，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答．

【详解】

（1）证明：∵∠ACD是△ABC的外角

∴∠ACD＝∠A+∠ABC

∵CE平分∠ACD

∴

又∵∠ECD＝∠E+∠EBC

∴

∵BE平分∠ABC

∴

∴

∴；

（2）①∵∠ACD＝130°，∠BCD＝50°

∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝130°﹣50°＝80°

∵∠CBA＝40°

∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°

∵AD平分∠BAC

∴

∴∠CDA＝180°﹣∠CAD﹣∠ACD＝20°；

②∠CAD+41°＝∠CBD

设∠CBD＝α

∵∠ABD+∠CBD＝180°

∴∠ABC＝180°﹣2α

∵∠ACB＝82°

∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣2α）﹣82°＝2α﹣82°

∵AD平分∠BAC

∴∠CAD＝∠CAB＝α﹣41°

∴∠CAD+41°＝∠CBD．

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角与外角、三角形内角和定理、角平分线等知识点，掌握三角形内角和是180°是解答本题的关键．

4、（1）画图见解析；（2）画图见解析

【分析】

（1）利用平行四边形的性质结合其面积求法得出答案，答案不唯一；

（2）利用矩形的性质结合其周长得出答案，答案不唯一．

【详解】

解：（1）如图1所示：

（2）如图2所示：

答案不唯一．

【点睛】

本题主要考查了画轴对称图形和中心对称图形，解决本题的关键是要熟练正确把握中心对称图形和轴对称图形的性质．

5、（1）见解析；（2）平行四边形DEFB的周长＝

【分析】

（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；

（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．

【详解】

（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE//BC，BC＝2DE，

∵CF＝3BF，

∴BC＝2BF，

∴DE＝BF，

∴四边形DEFB是平行四边形；

（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，

∴BD＝EF，

∵D是AC的中点，AC＝12cm，

∴CD＝AC＝6（cm），

∵∠ACB＝90°，

∴BD＝＝10（cm），

∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．